Kalkülüs #06 | Kapalı Türev ve Logaritmik Türev: Teğet, Yatay Teğet, ln x ve xˣ

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda şöyle gelir: x² + xy + y² = 12. dy/dx'i bulun; (2, 2) noktasındaki teğeti yazın; teğet hangi noktalarda yatay? Kalkülüs serisinin altıncı dersinde y'yi yalnız bırakmadan, iki tarafın türevini alarak eğimi buluyoruz: y'li her terime y' çarpanı, xy'de çarpım kuralı. Ardından ln x'in türevini kapalı türevle çıkarıyor ve xˣ'i logaritmik türevle çözüyoruz. Bu derste: - Zihinsel model: y, x'in gizli bir fonksiyonu — (y²)' = 2y · y' - Çember x² + y² = 13: (2, 3)'te y' = −x/y = −2/3, açık yoldan da aynı - Terim tablosu: (xy)' = y + x · y', (y³)' = 3y² · y', (eʸ)' = eʸ · y' - Soru 1 (a): y' = −(2x + y)/(x + 2y) - Soru 1 (b): (2, 2)'de eğim −1, teğet y = −x + 4 - Soru 1 (c): pay = 0 → y = −2x → 3x² = 12 → (2, −4) ve (−2, 4); payda = 0 → dikey teğet (4, −2), (−4, 2) - Soru 2: eʸ = x → (ln x)' = 1/x; (ln(x² + 9))' = 2x/(x² + 9), x = 4'te 8/25 = 0.32 - Soru 3: y = xˣ → ln y = x ln x → y' = xˣ(ln x + 1); y'(1) = 1, y'(2) ≈ 6.77 Bölümler: 0:00 Giriş ve Sınav Sorusu 0:33 Mantık: y Gizli Bir Fonksiyon 1:19 Terim Terim Kapalı Türev 1:54 Seri Haritası 2:09 Soru 1: x² + xy + y² = 12 2:35 Soru 1 (a): Kapalı Türev 3:22 Soru 1 (b): (2, 2)'de Teğet 4:03 Soru 1 (c): Yatay Teğet 5:00 Soru 2: ln x'in Türevi 5:44 Soru 3: Logaritmik Türev xˣ 6:30 Ne Yaptık? 6:49 Akılda Kalan Kural ve Sıradaki Ders Sıradaki derste kapalı türevi zamana göre alacağız: ilişkili oranlar. Kaynak kitap: James Stewart, Daniel Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9. baskı (Metric) — Bölüm 3.5–3.6 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Kalkülüs serisinin altıncı dersi.

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.