Deprem Mühendisliği #16 | Genelleştirilmiş Tek Serbestlik Dereceli Sistemler ve Rayleigh Yöntemi

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Açılıştaki 3D animasyonda aynı zeminde 40 metrelik betonarme bir minare ve dört katlı bir bina var. Minare sonsuz sayıda noktadan oluşur, her noktası farklı miktarda yer değiştirir; binanın her katında ayrı bir kütle vardır. İkisi de birinci titreşim biçiminde salınıyor: tabanlar neredeyse kıpırdamıyor, tepeler en çok gidiyor. Bu derste bütün bu hareketi tek bir koordinat ve sabit bir şekille anlatmayı, yani genelleştirilmiş tek serbestlik dereceli sistemleri ve Rayleigh yöntemini görüyoruz. Bu derste: - Fikir: yer değiştirme, zamandan bağımsız bir şekil fonksiyonu ψ(x) ile zamana bağlı tek bir koordinatın z(t) çarpımıdır. Rijit parçalardan oluşan sistemde şekil kesindir; dağılmış kütleli yapıda şekli biz varsayarız ve sonuç yaklaşıktır. Şekil tabandaki yer değiştirme sınır koşullarını sağlamalıdır. - Hareket denklemi (sanal yer değiştirmeler ilkesi): m̃ z̈ + k̃ z = −L̃ ü_g; m̃ = ∫ m ψ² dx, k̃ = ∫ EI (ψ″)² dx, L̃ = ∫ m ψ dx, Γ̃ = L̃ / m̃. Önceki derslerdeki bütün yöntemler, spektrum dahil, aynen kullanılır. - Örnek minare (40 m, dış çap 3 m, et 0.3 m): birim boy kütlesi ≈ 6.36 t/m, toplam 254 t, eğilme rijitliği ≈ 70.4 milyon kN·m². - Tepe yükü sehim şekli ψ = (3ξ² − ξ³)/2 ile: k̃ = 3EI/L³ ≈ 3300 kN/m, m̃ ≈ 60 t, ω ≈ 7.42 rad/s, T ≈ 0.85 s (kesin 0.86 s). - Deprem tepkisi (EqkD11 sahasının TBDY spektrumu): L̃ ≈ 95.4 t, Γ̃ ≈ 1.59, A ≈ 0.71 g, spektral yer değiştirme ≈ 126 mm, tepe ≈ 201 mm, taban kesme kuvveti ≈ 1054 kN (ağırlığın yüzde 42'si), etkin kütle ≈ 152 t (yüzde 60). - Rayleigh yöntemi: en büyük şekil değiştirme enerjisi = en büyük kinetik enerji → ω² = k̃ / m̃. Tahmin gerçek frekansın altına inmez ve orta karar bir şekille bile iyi sonuç verir. - Üç şekil: tepe yükü 0.85 s (+%1.5), kosinüs 0.82 s (+%4.2), ξ² 0.68 s (+%27). ξ² serbest uçta moment varsayar; şekil kuvvet sınır koşulunu da sağlamalıdır. - Dört katlı kayma binası (kat 80 t, kat rijitliği ≈ 27300 kN/m): doğrusal şekil T ≈ 0.93 s (frekans +%5.1); kat ağırlıklarının yatay sehimi ψ = 0.4, 0.7, 0.9, 1 ile T ≈ 0.97 s (+%0.55; kesin 0.98 s); Γ̃ ≈ 1.22, etkin kütle yüzde 91. - Üç yanılgı: Rayleigh frekansı aşağıdan yaklaşır sanmak, şeklin yalnız tabanda sıfır olmasını yeterli sanmak, iç kuvvetleri şeklin türevlerinden yer değiştirmeler kadar doğru sanmak. Bölümler: 0:00 Geçen Ders ve Bugün 0:30 Bir Bakış: Minare ve Dört Katlı Bina 1:01 Şekil Fonksiyonu ve Tek Koordinat 1:37 Hareket Denklemi 2:20 Örnek: 40 m Minare 2:54 Şekil Seçimi ve Doğal Frekans 3:33 Minarenin Deprem Tepkisi 4:26 Rayleigh Yöntemi 5:03 Üç Şekil, Üç Tahmin 5:45 Kayma Binası: Doğrusal Şekil 6:31 Ağırlık Sehimi Şekli 7:07 Üç Yanılgı 7:40 Özet Bir sonraki derste gerçek çok serbestlik dereceli sistemlere geçiyoruz: kütle ve rijitlik matrisleri. Kaynak kitap: A. K. Chopra, Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 5. baskı SI (Pearson, 2020), Bölüm 8.1–8.6. Konu sırası, tanımlar ve bağıntılar kitaptan alındı; 3D sahne, örnekler ve sayılar özgündür. İnşaat Mühendisliği öğrencileri için Deprem Mühendisliği serisinin on altıncı dersi. Ön koşul: bu serinin on birinci dersi (elastik tasarım spektrumu) ve on beşinci dersi.

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.