Deprem Mühendisliği #12 | Sayısal Çözüm I: Zaman Adımlı Yöntemler ve Merkezi Fark

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Açılıştaki 3D animasyonda aynı su deposundan üç tane var ve üçünü aynı kısa kuvvet darbesi itiyor. Soldakinin hareketi tam çözüm. Ortadakini bilgisayar saniyenin onda biri kadar adımlarla hesaplıyor: kesik kesik ilerliyor ama tam çözüme çok yakın. Sağdakinde adım yaklaşık 0.45 saniye ve çözüm birkaç adımda büyüyerek patlıyor. Aynı denklem, aynı yöntem; tek fark zaman adımı. Bu derste bilgisayarın hareket denklemini adım adım nasıl çözdüğünü, hangi adımın neden doğru, hangisinin neden yanlış olduğunu görüyoruz. Bu derste: - Zaman adımlı yöntemler: zaman eşit Δt aralıklarına bölünür; bir andaki yer değiştirme ve hızdan bir sonraki an hesaplanır. Bir yöntemden üç şey istenir: yakınsama, kararlılık, doğruluk. - Uyarmanın doğrusal interpolasyonu: adım içinde kuvvet basamak + rampa; serbest titreşimle birlikte tam çözüm. u(i+1) = A u(i) + B u̇(i) + C p(i) + D p(i+1); A, B, C, D yalnız ωn, ζ, k ve Δt'ye bağlı, adım sabitse bir kez hesaplanır. - Örnek su deposu: 60 t, 1500 kN/m, ωn = 5 rad/s, Tn ≈ 1.26 s, ζ = %5 → c = 30 kN·s/m. Üçgen darbe 0.4 saniyede 30 kN, 0.8 saniyede sıfır; statik yer değiştirme 20 mm. - Δt = 0.1 s ile interpolasyon: u(0.1) ≈ 0.2 mm, u(0.3) ≈ 4.85 mm; en büyük 26.4 mm (0.70 s), statiğin 1.32 katı. Kırılma noktaları adım noktalarına denk geldiği için sonuçlar adım noktalarında tam. - Merkezi fark: hız ve ivme fark ifadeleriyle yazılır, k̂ u(i+1) = p̂(i); k̂ = m/Δt² + c/2Δt. Açık yöntemdir. Başlamak için u(−1) gerekir. - Elle üç adım: k̂ = 6150, a = 5850, b = −10500 kN/m; u1 = 0, u2 ≈ 1.22 mm, p̂2 ≈ 27.8 kN, u3 ≈ 4.52 mm (tam 4.85 mm, %7 geride). - Doğruluk ve yakınsama: merkezi fark en büyük değeri 27.5 mm buluyor (+%4); Δt = 0.05 s ile 26.7 mm (+%1). Doğruluk için Δt/T en fazla 0.1. - Kararlılık: merkezi fark koşullu kararlıdır, Δt/T küçük 1/π. Su deposunda sınır 0.40 s; Δt = 0.45 s ile 80, −219, 540 mm, her adımda yaklaşık 2.4 kat. - Deprem: kuvvet yerine −m üg; yer değiştirme zemine göre. Kayıt adımı 0.01 s; su deposunun bir periyodu ≈ 126, betonarme çerçevenin ≈ 34 adım. - Üç yanılgı: sayısal sonucu her zaman doğru sanmak, her adımın çalışacağını sanmak, merkezi farkta ilk adımı (u−1) unutmak. Bölümler: 0:00 Geçen Ders ve Bugün 0:24 Bir Bakış: Aynı Denklem, Üç Zaman Adımı 0:55 Zaman Adımlı Yöntemler 1:30 Uyarmanın Doğrusal İnterpolasyonu 2:12 Örnek: Su Deposu ve Üçgen Darbe 3:04 Merkezi Fark Yöntemi 3:43 Merkezi Fark: Başlangıç ve Sabitler 4:21 Merkezi Fark: Adım Adım 5:03 Doğruluk ve Yakınsama 5:32 Kararlılık Sınırı 6:09 Deprem Kaydında Zaman Adımı 6:37 Üç Yanılgı 7:05 Özet Bir sonraki derste Newmark yöntemini görüyoruz: daha kararlı ve elastik olmayan sistemlere de uygulanabilen bir yöntem. Kaynak kitap: A. K. Chopra, Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 5. baskı SI (Pearson, 2020), Bölüm 5.1–5.3. Konu sırası, tanımlar ve bağıntılar kitaptan alındı; 3D sahne, örnekler ve sayılar özgündür. İnşaat Mühendisliği öğrencileri için Deprem Mühendisliği serisinin on ikinci dersi. Ön koşul: bu serinin beşinci dersi (sönümlü serbest titreşim) ve sekizinci dersi (darbe ve kısa süreli yükler).

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.