Deprem Mühendisliği #19 | Modal Analiz: Katılım Çarpanı, Modal Etkin Kütle ve Deprem Tepkisi

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Açılıştaki 3D animasyonda aynı zemine konmuş üç özdeş iki katlı çerçeve aynı depremle sallanıyor. Soldaki gerçek çerçeve; ortadaki yalnız birinci modunda, sağdaki yalnız ikinci modunda titreşecek biçimde hesaplandı. Ortadaki soldakiyle neredeyse aynı hareket ediyor, sağdaki zar zor kıpırdıyor ve soldakinin her anı ikisinin toplamı. Bu derste deprem tepkisini modlara ayırıyor, her modun payını katılım çarpanı ve modal etkin kütleyle buluyoruz. Bu derste: - Modal denklemler: u = Σ φn qn yazıp soldan φnᵀ ile çarpınca diklik sayesinde her mod için Mn q̈n + Cn q̇n + Kn qn = Pn kalır; N bağlı denklem N bağımsız tek serbestlikli denkleme dönüşür. Şart: Φᵀ C Φ köşegen olmalı. - Rayleigh sönümü: C = a0 M + a1 K, ζn = a0/(2ωn) + a1 ωn/2. Örnekte iki modda yüzde 5 için a0 ≈ 0.95 1/s, a1 ≈ 2.1 · 10⁻³ s; aradaki modlarda sönüm biraz azalır, yüksek modlarda artar. - Depremde p_eff = −M ι ü_g; M ι = Σ sn, sn = Γn M φn. Modal katılım çarpanı Γn = Ln/Mn, Ln = φnᵀ M ι. Modal denklem q̈n + 2ζnωn q̇n + ωn² qn = −Γn ü_g, yani qn = Γn Dn. - Örnek (iki katlı kayma binası, 80 t, 35825 kN/m): Γ1 ≈ 1.17, Γ2 ≈ −0.17; s1 = (57.9, 93.7) t, s2 = (22.1, −13.7) t, toplamları her katta 80 t. - Modal etkin kütle Mn* = Ln²/Mn: M1* ≈ 151.6 t, M2* ≈ 8.4 t, toplam 160 t; kütlenin yüzde 95'i birinci modda. Γ ölçeğe bağlıdır, Mn* değildir. Birinci modun etkin yüksekliği 5.66 m. - Yapay kayıt (en büyük yer ivmesi 0.30 g): birinci mod D1 27.1 mm, A1 0.47 g; ikinci mod D2 4.7 mm, A2 0.56 g. - Çatı ötelemesi: birinci mod 31.7 mm, ikinci mod 0.8 mm, her an toplanınca en büyük ≈ 31.7 mm. - Taban kesmesi: birinci mod 702 kN, ikinci mod 47 kN; tepeleri toplamak 749 kN verirdi, gerçek en büyük 704 kN çünkü tepeler aynı anda gelmez. V_b ≈ bina ağırlığının yüzde 45'i. - Kat kuvvetleri: birinci modun taban kesmesinin tepesinde (8.88 s) 268 ve 434 kN; kuvvetler mod şekli gibi yukarı doğru büyür, devrilme momenti taban kesmesi çarpı etkin yükseklik. - Üç yanılgı: büyük katılım çarpanını önemli mod sanmak, mod tepelerini toplayıp en büyük tepkiyi bulduğunu sanmak, yüksek modları her zaman önemsiz sanmak. Bölümler: 0:00 Geçen Ders ve Bugün 0:24 Bir Bakış: Deprem Tepkisini Modlara Ayırmak 0:55 Modal Denklemler 1:39 Klasik Sönüm: Rayleigh 2:21 Deprem: Katılım Çarpanı 3:04 Örnek: Γ ve Kuvvet Dağılımları 3:47 Modal Etkin Kütle 4:27 Örnek: Her Modun Deprem Tepkisi 4:59 Çatı Ötelemesi 5:27 Taban Kesmesi 5:57 Kat Kuvvetleri 6:29 Üç Yanılgı 7:00 Özet Bir sonraki derste geçmişi hesaplamadan tasarım spektrumundan her modun en büyük tepkisini bulup modları birleştiriyoruz: tepki spektrumu analizi. Kaynak kitap: A. K. Chopra, Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 5. baskı SI (Pearson, 2020), Bölüm 11.4, 12.3–12.7, 13.1–13.2. Konu sırası, tanımlar ve bağıntılar kitaptan alındı; 3D sahne, örnekler ve sayılar özgündür. İnşaat Mühendisliği öğrencileri için Deprem Mühendisliği serisinin on dokuzuncu dersi. Ön koşul: bu serinin on sekizinci dersi (serbest titreşim, doğal frekanslar ve modlar).

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.