Deprem Mühendisliği #18 | Çok Serbestlik Dereceli Sistemler II: Doğal Frekanslar ve Modlar

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Açılıştaki 3D animasyonda geçen dersin iki katlı kayma binası serbestçe titreşiyor. Önce yalnız birinci katı itip bırakıyoruz: katlar salınıyor ama iki katın oranı sürekli değişiyor, şekil her an başka. Sonra iki katı aynı yöne belli bir oranda itiyoruz: şekil hiç bozulmuyor, çerçeve tek bir frekansla salınıyor. Ters yönlere itince de şekil korunuyor, ama çok daha hızlı. Şeklini koruyan bu salınımlar doğal modlardır. Bu derste onları özdeğer problemiyle buluyor, diklik ve normalleştirmeyi, her şekli modlara ayırmayı görüyoruz. Bu derste: - Serbest titreşim: dış kuvvet yok, hareket başlangıç yer değiştirmesi ya da hızından doğar. Doğal modda u(t) = φn qn(t): bütün katlar aynı fazda, sıfırdan, en büyük ve en küçük değerden birlikte geçer. - Özdeğer problemi: harmonik harekette ü = −ω² u olduğundan K φ = ω² M φ. Sıfırdan farklı çözüm için det[K − ω² M] = 0 (frekans denklemi); N serbestlikte ω² için N gerçek, pozitif kök. - Örnek (geçen dersin kayma binası, 80 t, 35825 kN/m): k/m ≈ 447.8; ω² = (k/m)(3 ∓ √5)/2 → ω1 ≈ 13.1 rad/s, T1 = 0.48 s; ω2 ≈ 34.2 rad/s, T2 = 0.18 s. - Mod şekilleri (çatı = 1): φ1 = (0.62, 1), iki kat aynı yönde; φ2 = (−1.62, 1), katlar ters yönde ve ikinci katta bir düğüm noktası var. Özdeğer problemi yalnız oranları verir. - Modal matris Φ (modlar sütun sütun) ve spektral matris Ω²: K Φ = M Φ Ω². Frekanslar ve modlar yalnız kütle ve rijitliğe bağlıdır, depreme bağlı değildir. - Diklik: φ1ᵀ M φ2 = 0 ve φ1ᵀ K φ2 = 0. Örnekte 80 [0.62 · (−1.62) + 1 · 1] = 80 (−1 + 1) = 0. Bir modun eylemsizlik kuvvetleri başka modun yer değiştirmesinde iş yapmaz. - Genelleştirilmiş kütle Mn = φnᵀ M φn: M1 ≈ 110.6 t, M2 ≈ 289.4 t; Kn = ωn² Mn. Kütleye göre normalleştirmede Mn = 1 ve Φᵀ M Φ = I. - Mod açılımı: u = Σ φn qn, qn = φnᵀ M u / Mn. Geçen dersin itme şekli (2.79, 5.58) mm için q1 ≈ 5.28, q2 ≈ 0.29 mm; çatıda yüzde 95 birinci mod. Yalnız birinci kat itilirse iki modun katkısı eşit ve ters işaretli. - Serbest titreşim tepkisi: her mod kendi frekansıyla bağımsız salınır; kat hareketi iki salınımın toplamı olduğu için şekil zamanla değişir. Klasik sönümde her mod kendi sönüm oranıyla azalır. - Üç yanılgı: modları depremin özelliği sanmak, mod şeklindeki sayıları gerçek yer değiştirme sanmak, çok serbestlik dereceli yapının hep tek frekansla titreştiğini sanmak. Bölümler: 0:00 Geçen Ders ve Bugün 0:26 Bir Bakış: Şeklini Koruyan Salınım 1:02 Serbest Titreşim ve Doğal Mod 1:33 Özdeğer Problemi 2:11 Örnek: Doğal Frekanslar 2:54 Örnek: Mod Şekilleri 3:25 Modal ve Spektral Matris 3:53 Modların Dikliği 4:25 Genelleştirilmiş Kütle ve Normalleştirme 5:01 Mod Açılımı 5:42 Serbest Titreşim Tepkisi 6:17 Üç Yanılgı 6:50 Özet Bir sonraki derste bu araçla hareket denklemlerini birbirinden ayırıyoruz: modal analiz, katılım çarpanı ve etkin kütle. Kaynak kitap: A. K. Chopra, Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 5. baskı SI (Pearson, 2020), Bölüm 10.1–10.8. Konu sırası, tanımlar ve bağıntılar kitaptan alındı; 3D sahne, örnekler ve sayılar özgündür. İnşaat Mühendisliği öğrencileri için Deprem Mühendisliği serisinin on sekizinci dersi. Ön koşul: bu serinin on yedinci dersi (kütle ve rijitlik matrisleri, statik yoğunlaştırma).

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.