Diferansiyel Denklemler #01 | Diferansiyel Denklem Nedir? Çözüm mü, Mertebe ve Doğrusallık

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavın ilk sorusu neredeyse hep şöyledir: "y = 3 + C·e^(−2t), y′ + 2y = 6 denkleminin çözümüdür, gösteriniz; y(0) = 7 ise C kaçtır?" Bu derste tam bu soruyu hiçbir adımı atlamadan çözüyoruz; ardından ikinci mertebede "çözüm mü?" sorusunu ve mertebe–doğrusallık sınıflandırmasını işliyoruz. Her türev, her çarpma ve her çıkarma ayrı satırda. Bu derste: - Zihinsel model: diferansiyel denklem bir yol tarifidir — her noktada "şu eğimle ilerle" der; okları izleyen yol bir çözümdür (yön alanı) - Klasik yanlış: cevabı bir sayı sanmak; cevap bir fonksiyon, hatta bir fonksiyon ailesidir - y′ = 6 − 2y tarifini dört yükseklikte okumak: eğimler +4, 0, −4, −8; y = 3 denge çözümü - Harita: adi ve kısmi diferansiyel denklem, mertebe, doğrusallık; bu blokta neler var - Soru 1 (a): türev (zincir kuralı, −2 öne iner) → yerine koy → sadeleştir: 6 = 6, her t ve her C için - Soru 1 (b): e⁰ = 1 (sıfır değil) → 3 + C = 7 → C = 4; sağlama: başlangıç değeri ve eğim −8 iki yoldan - Soru 1 (c): t büyüdükçe e^(−2t) sıfıra gider, çözüm 3'e yaklaşır - En sık hata: zincir kuralındaki −2'yi unutmak ve yanlışlıkla "çözüm değil" demek - Soru 2: y″ − y′ − 6y = 0 için e^(3t) çözüm (9 − 3 − 6 = 0), e^(2t) değil (4 − 2 − 6 = −4); e üzeri hiçbir şey sıfır olmaz - Soru 3: mertebe = en yüksek türev; doğrusallık t'ye değil y'ye bakar (t²y″ + ty′ + 2y = sin t doğrusal; y′ + y² = t ve y‴ + y·y′ = 0 doğrusal değil); derece notu Bölümler: 0:00 Sınavın İlk Sorusu ve Yön Alanı 0:47 Mantık: Denklem Bir Yol Tarifidir 2:12 Harita: Neyi Ayırıyoruz, Bugün Ne Var? 3:08 Soru 1: Göster, Sabiti Bul, Yorumla 3:59 Soru 1 (a): Türev, Yerine Koy, Sadeleştir 5:40 Soru 1 (b), (c): Sabiti Bul, Sağla, Yorumla 7:00 Soru 2: İkinci Mertebe — Çözüm mü? 8:31 Soru 3: Mertebe ve Doğrusallık 10:02 Ne Yaptık? 10:27 Akılda Kalan Kural ve Sıradaki Ders Sıradaki derste y′ + 2y = 6 denkleminin bu çözümünü kendimiz bulacağız: ayrılabilir denklemler. Kaynak kitap: William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11. baskı — Bölüm 1.1–1.3 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Diferansiyel Denklemler serisinin ilk dersi.