Diferansiyel Denklemler #04 | Tam Diferansiyel Denklemler: Tamlık Testi ve Gizli Fonksiyon

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda şöyle gelir: (2xy + 3) dx + (x² + 2y) dy = 0, y(0) = 2. Denklemin tam olduğunu göster, genel çözümü bul, başlangıç koşulunu sağlayan çözümü yaz. Bu derste gizli fonksiyonu adım adım kuruyoruz; ardından üstel terimli kısa bir varyant ve tam olmayan bir denklem. Bu derste: - Zihinsel model: yükseklik haritası — çözümler, gizli ψ(x, y) fonksiyonunun seviye eğrileridir: ψ = C - Tamlık testi: M'nin y'ye göre türevi = N'nin x'e göre türevi (karışık türevler eşit) - Klasik yanlış: türevleri ters almak — M y'ye, N x'e göre türetilir - Soru 1 (a): M_y = 2x, N_x = 2x → tam - Soru 1 (b): ψ = ∫M dx + h(y) = x²y + 3x + h(y); ψ_y = N → h′ = 2y → h = y² - Soru 1 (c): x²y + 3x + y² = C; y(0) = 2 → C = 4; sağlama ve seviye eğrisi - En sık hatalar: h(y)'yi unutmak; ∫M dx ile ∫N dy'yi düşünmeden toplamak - Soru 2: (y·eˣ + 2x) dx + (eˣ + 3y²) dy = 0, y(0) = 1 → y·eˣ + x² + y³ = 2 - Soru 3: (x + 3y) dx + x dy = 0 → 3 ≠ 1, tam değil (integrasyon çarpanı yalnız adıyla) Bölümler: 0:00 Sınav Sorusu ve Gizli Harita 0:49 Mantık: Yükseklik Haritası ve Test 2:09 Harita: Bugün Tam Diferansiyel 2:35 Soru 1: Test, Gizli Fonksiyon, Çözüm 3:20 Soru 1 (a): Test ve Gizli Fonksiyon 4:57 Soru 1 (b), (c): Seviye Eğrisi ve Sağlama 5:58 Soru 2: Kısa Varyant, Üstel Terim 7:17 Soru 3: Tam mıdır? Önce Test 7:52 Ne Yaptık? 8:14 Akılda Kalan Kural ve Sıradaki Ders Sıradaki derste bu yöntemleri gerçek problemlere uygulayacağız: karışım, soğuma, devre ve nüfus — modelleme. Kaynak kitap: William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11. baskı — Bölüm 2.6 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Diferansiyel Denklemler serisi.