Diferansiyel Denklemler #05 | Modelleme: Karışım, Soğuma, Devre ve Nüfus (Giren − Çıkan)

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda şöyle gelir: 100 litre su dolu tankta başta tuz yok; dakikada 5 litre, litresinde 0.2 kg tuz olan su giriyor, karışım dakikada 5 litre çıkıyor. Denklemi kur, çöz; tuz ne zaman 10 kg olur, uzun vadede ne olur? Bu derste denklemi kendimiz yazıyor, çözüyor ve yorumluyoruz; ardından aynı defteri soğumaya, bir RL devresine ve nüfusa uyguluyoruz. Bu derste: - Zihinsel model: kumbara defteri — değişim hızı = giren − çıkan - Giren hız = debi × derişim (L/dk × kg/L = kg/dk) - Klasik yanlış: çıkan hızda giren suyun derişimini kullanmak; çıkan su tanktaki karışımdır: derişim Q/100 - Soru 1 (a): dQ/dt = 1 − Q/20, Q(0) = 0 - Soru 1 (b): integrasyon çarpanı e^(t/20) → Q = 20(1 − e^(−t/20)) - Soru 1 (c), (d): Q = 10 → t = 20 ln 2 ≈ 14 dk; uzun vadede Q → 20 kg; akıl sağlaması 100 · 0.2 = 20 - Soru 2: Newton soğuma yasası, dT/dt = −k(T − 20): fark her 10 dakikada yarıya → 30 °C'ye 30 dakikada - Soru 3: RL devresi, 2i′ + 10i = 20 → i = 2(1 − e^(−5t)) → 2 A; tank denkleminin aynısı - Soru 4: üstel nüfus, 3 saatte ikiye katlanma → 9 saatte 500 · 2³ = 4000 (500 · 3 değil) Bölümler: 0:00 Sınav Sorusu: Tuz Tankı 0:38 Mantık: Kumbara Defteri 1:39 Harita: Bugün Modelleme 2:04 Soru 1: Tuz Tankı — Kur, Çöz, Yorumla 2:39 Soru 1 (a): Modeli Kur 3:40 Soru 1 (b), (c), (d): Çöz ve Yorumla 5:21 Soru 2: Soğuma 6:34 Soru 3: RL Devresi 7:20 Soru 4: Nüfus 7:55 Ne Yaptık? 8:16 Akılda Kalan Kural Bu ders serinin ilk bloğunu kapatıyor; diferansiyel denklemlere ikinci mertebe denklemlerle döneceğiz. Kaynak kitap: William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11. baskı — Bölüm 2.3 ve 2.5 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Diferansiyel Denklemler serisi.