MATLAB ile Mühendislik #11 | Kök Yer Eğrisi: Kopma Noktası, Routh Sınırı ve Kazanç Seçimi

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Bir anteni döndüren motorun konum döngüsünde kazancı artırınca kol önce hızlanıyor, sonra salınıyor, sonunda sönmeyen bir salınıma giriyor. Bu derste kök yer eğrisiyle (root locus) doğru kazancı seçiyoruz: kopma noktası, Routh ile kararlılık sınırı ve ζ = 0.5 için K, her adım elle ve MATLAB ile. Sistem DC motorun konum döngüsü: G(s) = 0.05 / (0.008 s³ + 0.05 s² + 0.0775 s), kutuplar 0, −2.8455 ve −3.4045. Karakteristik denklem moniğe çevrilince s³ + 6.25 s² + 9.6875 s + 6.25 K = 0. (a) dK/ds = 0 → 3 s² + 12.5 s + 9.6875 = 0, kökler −1.0292 ve −3.1374; reel eksen kuralıyla kopma noktası −1.0292, orada K = 0.7104. (b) Routh tablosunda s¹ satırı 9.6875 − K: kararlılık için K, 0 ile 9.6875 arasında; sınırda kök yeri sanal ekseni ω = 3.1125 rad/s'de keser (MATLAB margin: kazanç payı 9.6875, faz kesim frekansı 3.1125). (c) ζ = 0.5 için katsayı eşleme: ωn = 1.55, üçüncü kutup −4.7, K = 1.8067; kutuplar −0.775 ± j1.3423 (MATLAB fzero ve rlocfind aynı). Klasik MATLAB hatası: feedback(Kz*G) → 'Not enough input arguments', doğrusu feedback(Kz*G, 1). Örnek 2: ikinci mertebe formülü %OS ≈ 16.30 ve Ts ≈ 5.16 s; stepinfo %15.27 ve 5.39 s, fark üçüncü kutuptan. Kazanç taraması: K = 0.5 aşımsız ama ağır, K = 5 yüzde 56 aşım, K = 10 kararsız (isstable 0). Ekrandaki her komut, sayı ve eğri MATLAB R2026b'de gerçekten çalıştırıldı; 3B yüzey log10 |G(s)| ızgarasıdır. Bu derste: 1. Kök yeri: 1 + K G(s) = 0, açı ve genlik koşulu, reel eksen kuralı, asimptotlar (3B |G(s)| yüzeyi) 2. Kopma noktası: dK/ds = 0 ve doğru kökün seçimi 3. Routh tablosuyla kararlılık sınırı ve sanal eksen kesişimi; margin ile sağlama 4. ζ = 0.5 için kazanç: katsayı eşleme, fzero ve rlocfind 5. feedback tuzağı, damp ve stepinfo; formül ile benzetim farkı 6. Kazanç taraması ve kararsızlık (isstable) Bölümler: 0:00 Problem: kazanç artınca ne olur? 0:39 Kaynak kitap ve kapsam 1:03 Model: motorun konum döngüsü 1:32 Kök yeri mantığı (3B yüzey) 2:29 Sınav sorusu ve karakteristik denklem 3:16 (a) Kopma noktası 4:58 (b) Routh ile kararlılık sınırı 6:20 (c) ζ = 0.5 için kazanç 8:21 MATLAB tuzağı: feedback 8:52 Örnek 2: aşım ve oturma süresi 10:03 Kazanç taraması ve kararsızlık 10:50 Ne yaptık? 11:14 Kural ve sıradaki konu Gerekli MATLAB eklentileri: Control System Toolbox 26.2 (MATLAB R2026b): tf, pole, rlocus, tfdata, margin, evalfr, rlocfind, feedback, damp, stepinfo, isstable. Elle hesabın sağlaması (roots, polyder, polyval, fzero) temel MATLAB ile de yapılabilir. Not: baskın kutup formülü ile gerçek aşım farkı ζ = 0.5'te üçüncü kutup 5 katta ≈ 1.5 puan, 6 katta ≈ 1.0 puandır; ζ küçüldükçe artar (ζ = 0.3'te ≈ 8 puan). Kaynak kitap: Norman S. Nise, Control Systems Engineering, 8. baskı (Wiley), Bölüm 8 Root Locus Techniques (kök yeri kuralları, kopma noktası, sanal eksen kesişimi, ζ doğrusunda kazanç tasarımı) ve Bölüm 6 (Routh tablosu); tamamlayıcı Ogata, Modern Control Engineering, 5. baskı, Bölüm 6. Konu sırası ve notasyon kitaplardan; sistem, sayılar, animasyonlar ve örnekler özgündür. Her sonuç MATLAB'dan bağımsız bir Python denetimiyle doğrulandı (95/95). Anlatım yapay zekâ sesiyle (Gemini) seslendirildi; ders kurgusu, örnekler ve MATLAB çalıştırmaları özgündür. Hedef kitle: elektrik-elektronik, mekatronik, makine ve kontrol mühendisliği öğrencileri. Ön koşul: transfer fonksiyonu, kutup ve Routh ölçütü; MATLAB'da tf ve step komutları.