MATLAB ile Mühendislik #18 | Sembolik ODE ve Laplace: dsolve, Kısmi Kesir ve Ters Dönüşüm

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Kütle–yay–sönümleyici denklemini önce kâğıtta, sonra MATLAB'ın sembolik araçlarıyla çözüyoruz: sonuç bir eğri değil formül. Aynı soruyu Laplace dönüşümü ve kısmi kesirle de çözüp iki yolun aynı cevabı verdiğini gösteriyoruz. Sistem: m = 2 kg, c = 8 N s/m, k = 40 N/m, F = 4 N, x(0) = 0.05 m, durağan. 2x″ + 8x′ + 40x = 4; kökler −2 ± 4j, kritik sönüm 2√80 ≈ 17.89, ζ ≈ 0.447. (a) Elle: özel çözüm 0.1, A = −0.05, B = −0.025; x(t) = 1/10 − e^(−2t)(cos 4t/20 + sin 4t/40). (b) dsolve aynı ifadeyi verir. (c) limit → 1/10; v = e^(−2t) sin(4t)/4; ilk tepe t = π/4 = 0.7854 s (vpasolve), tepe 0.1104 m. (d) Sönümleyicide harcanan enerji int → 1/20 J; enerji dengesi 0.2 − 0.15 = 0.05. Klasik MATLAB hatası: syms y + y(0) → 'Array indices must be positive integers or logical values.', doğrusu syms x(t). Örnek 2: X(s) = (s² + 4s + 40) / (20 s (s² + 4s + 20)); partfrac: 1/(10s) − (s/20 + 1/5)/(s² + 4s + 20); tamamlanmış kare (s + 2)² + 16; ilaplace ve simplify(xl − xs) = 0. Örnek 3: x(t, c) yüzeyi; c² − 320 = 0 → 17.89; ±1 mm bandına son giriş c = 8: 1.87 s, c = 14: 0.81 s, c = 30: 2.72 s. Kısayollar (b/(a² + b²), x∞ = F/k, t = π/ωd, Ed = (k/2)(Δx)², son değer) taramayla ve geçerlilik sınırıyla doğrulandı. Ekrandaki her komut, sayı ve eğri MATLAB R2026b'de gerçekten çalıştırıldı. Bu derste: 1. syms, diff, int: sayı değil sembol; integral kalıbı ve sınırı 2. syms y tuzağı: y(0) neden dizi indeksi sanılır 3. dsolve: elle çözümle karşılaştırma, başlangıç koşulları 4. Çözümü sorgulama: limit, simplify, vpasolve, subs, sönümleyici enerjisi 5. Laplace, partfrac, ilaplace: aynı soru, ikinci yol, fark 0; latex 6. c değişince x(t, c): kritik sönüm, tepe ve oturma süresi (3B yüzey) Bölümler: 0:00 Problem: hareketin formülü 0:39 Kaynak kitap ve kapsam 1:06 Sembol, türev, integral 1:52 MATLAB tuzağı: syms y ve y(0) 2:24 Sınav sorusu ve karakteristik kökler 3:36 (a) Özel çözüm, A ve B 4:34 (b) dsolve ile doğrulama 5:13 (c) Kalıcı konum ve tepe 6:20 (d) Sönümleyicide harcanan enerji 7:22 Örnek 2: Laplace ile X(s) 8:44 Kısmi kesir ve son değer 9:37 Ters dönüşüm, ilaplace, latex 10:33 Örnek 3: c değişince (3B yüzey) 11:36 Ne yaptık? 11:59 Kural ve sıradaki konu Gerekli MATLAB eklentileri: Symbolic Math Toolbox 26.2 (MATLAB R2026b): syms, diff (sembolik), int, limit, dsolve, simplify, vpasolve, subs, laplace, ilaplace, partfrac, solve, latex. Temel MATLAB'da ode45 eğriyi sayısal çizer, formül vermez. Kaynak kitap: Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10. baskı: ikinci mertebe doğrusal denklemler ve Laplace dönüşümü bölümleri. Konu sırası ve notasyon kitaptan; sistem, sayılar, animasyonlar ve örnekler özgündür. Her sonuç MATLAB'dan bağımsız bir Python denetimiyle doğrulandı (104/104). Anlatım yapay zekâ sesiyle (Gemini) seslendirildi; ders kurgusu, örnekler ve MATLAB çalıştırmaları özgündür. Hedef kitle: makine, elektrik-elektronik, mekatronik ve inşaat mühendisliği öğrencileri; diferansiyel denklem dersi alanlar. Ön koşul: ikinci mertebe doğrusal denklem, Laplace dönüşümü tablosu; temel MATLAB komutları.

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.