Lineer Cebir #03 | Vektör Denklemleri, Span ve Matris Denklemi Ax = b

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda şöyle gelir: a₁ = (1, 2, −1), a₂ = (2, 5, 1) ve y = (5, 11, h). Vektör denklemini ve artırılmış matrisi yaz; h'nin hangi değerinde y, Span{a₁, a₂} içindedir? O değerde katsayıları bul ve sağla. Lineer Cebir serisinin üçüncü dersinde doğrusal bileşimi bir "tarif" olarak düşünüyor, bu soruyu her işlemi ayrı söyleyerek çözüyoruz; ardından Ax'i iki yoldan hesaplıyor ve sütunların R³'ü gerip germediğine karar veriyoruz. Bu derste: - Zihinsel model: tarif — x₁ ölçü a₁ + x₂ ölçü a₂; Span, bu tariflerle ulaşılabilen bütün noktalar - Düzlemde 3a₁ + 2a₂ = (6 − 2, 3 + 2) = (4, 5); iki vektör aynı doğrultudaysa Span yalnız bir doğru - Matris denklemi: Ax = x₁·(1. sütun) + x₂·(2. sütun); sistem = vektör denklemi = Ax = b - Ax = b çözümlü ⇔ b sütunların doğrusal bileşimi; sütunlar bütün uzayı gerer ⇔ her satırda pivot - Soru 1 (a): vektör denklemi → artırılmış matris [a₁ a₂ | y] (vektörler sütun olur) - Soru 1 (b): R₂ − 2R₁, R₃ + R₁, R₃ − 3R₂ → son satır h + 2 → h = −2 - Soru 1 (c): x₂ = 1, x₁ = 3; sağlama 3a₁ + a₂ = (5, 11, −2); Span{a₁, a₂} R³'te bir düzlem - Soru 2: A (2 × 3) çarpı x = (2, 1, 3): sütun yolu ve satır kuralı → (1, 9) - Soru 3: 3 × 3 matrisin 2 pivotu var → sütunlar R³'ü germez; b = (0, 0, 1) için 0 = 1 Bölümler: 0:00 Giriş ve Sınav Sorusu 0:47 Mantık: Tarif — Doğrusal Bileşim ve Span 1:37 Matris Denklemi Ax = b 2:18 Seri Haritası 2:36 Soru 1: y, a₁ ve a₂'nin Bileşimi mi? 2:59 Soru 1 (a): Vektör Denklemi ve Artırılmış Matris 3:39 Soru 1 (b): İndirgeme ve h Şartı 4:33 Soru 1 (c): Katsayılar, Sağlama ve Düzlem 5:27 Soru 2: Ax'i İki Yoldan Hesaplamak 6:22 Soru 3: Sütunlar R³'ü Gerer mi? 7:17 Ne Yaptık? 7:37 Akılda Kalan Kural ve Sıradaki Ders Sıradaki derste doğrusal bağımsızlık: hangi vektör fazladan? Kaynak kitap: David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 5. baskı — Bölüm 1.3–1.4 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Lineer Cebir serisinin üçüncü dersi.