Yapı Statiği #38 | Rijitlik Yöntemi: Eleman ve Dönüşüm Matrisleri

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Beş metrelik çelik bir kafes çubuğunun ucunu 2 milimetre çekince iki uçta 200 kilonewton doğuyor, tıpkı bir yayda olduğu gibi. Peki aynı çubuğu eğip ucunu 2 milimetre sağa ve 1 milimetre yukarı itersek çubukta kaç kilonewton doğar? Açılıştaki 3D animasyonda çubuk önce yatay kurulup çekiliyor, sonra 3-4-5 eğimine dönüyor ve itilen uçtaki hareket eksen boyunca uzama ile eksene dik bileşene ayrışıyor; cevap yine 200 kilonewton. Bu sezgiyi matrise çeviriyoruz: yapıyı kodlarla adlandırıyor, yerel eleman matrisi k′ ile dönüşüm matrisi T'yi kuruyor ve global matrisi k = Tᵀ k′ T olarak elde edip iki sınav sorusunu hiçbir işlemi atlamadan çözüyoruz. Bu derste: - Rijitlik yöntemi bir yer değiştirme yöntemidir: belirli ve hiperstatik yapılar aynı yolla çözülür, bilgisayara çok uygundur. Düğümler daire, elemanlar kare içinde numaralanır; her elemanın yakın ve uzak ucu vardır, ok uzağa bakar. Bir global x, y ekseni ve her elemanın kendi yerel x′ ekseni vardır. - Serbestlik dereceleri ve kodlar: kafeste her düğümün iki yönde hareketi vardır. Her harekete bir kod numarası verilir; bilinmeyen (serbest) yer değiştirmeler en küçük, bilinen (tutulu) yer değiştirmeler en büyük kodları alır. Kod numarası, hareketin matristeki satır adıdır. - Yerel eleman matrisi: kafes çubuğu eksenel bir yaydır ve rijitliği AE / L olur. Yalnız yakın uç, sonra yalnız uzak uç itilip toplanınca k′ = (AE / L) × [[1, −1], [−1, 1]] çıkar. - Dönüşüm: λx = (x uzak − x yakın) / L ve λy = (y uzak − y yakın) / L. Global hareketten eksen boyu hareket d = T D, eksenel kuvvetten global uç kuvvetleri Q = Tᵀ q olur. Global eleman matrisi k = Tᵀ k′ T, yalnız λx², λxλy ve λy² kalıbıyla kurulur; simetriktir ve her satırının toplamı sıfırdır. - Üç klasik yanlış: λ'ları yakın uçtan uzak uca tutarlı hesaplamamak (λxλy işaret değiştirir ama köşegen karelerde fark görünmez), kod sırasını karıştırmak ve simetri ile satır toplamı sağlamasını yapmamak. - Soru 1 (yakın uç düğüm 1 (0, 0) mafsallı, uzak uç düğüm 2 (3 m, 4 m); A = 2500 mm², E = 200 GPa; düğüm 2, 2 mm sağa ve 1 mm yukarı gidiyor): L = 5 m, AE / L = 500 000 / 5000 = 100 kN/mm, λx = 0.6, λy = 0.8, kalıp 0.36 / 0.48 / 0.64. k = 100 × [[0.36, 0.48, −0.36, −0.48], [0.48, 0.64, −0.48, −0.64], [−0.36, −0.48, 0.36, 0.48], [−0.48, −0.64, 0.48, 0.64]] kN/mm; simetri, köşegen toplamı 1 ve satır toplamı 0 sağlanır. Uç kuvvetleri Q = k D: uzak uçta 120 ve 160 kN, yakın uçta −120 ve −160 kN; denge sağlanır. Çubuk kuvveti: d = T D = 0.6 × 2 + 0.8 × 1 = 2 mm uzama, q = 100 × 2 = 200 kN çekme (Denk. 14–23); ters yol Q = Tᵀ q aynı 120 ve 160 kN değerlerini verir. - Soru 2 (aynı kesit, 4 m'lik yatay çubuk, aynı uç hareketi): AE / L = 125 kN/mm, λx = 1 ve λy = 0 olduğundan yalnız x terimleri kalır; yatay kuvvet 125 × 2 = 250 kN, düşey kuvvet 0, çünkü küçük bir dik hareket çubuğu uzatmaz, yalnız döndürür. Çubuk düşey olsaydı yalnız y terimleri kalır ve 125 × 1 = 125 kN doğardı. Bölümler: 0:00 Bugünün Sorusu: Eğik Çubukta Kaç kN? 0:30 Çubuk Bir Yaydır: Yerel Matris k′ 1:19 Düğüm, Eleman ve Kod Numaraları 1:54 λx, λy ve Dönüşüm Matrisi T 2:52 Kitap ve Kapsam Haritası 3:08 Üç Klasik Yanlış 3:51 Soru 1: Eğik Kafes Çubuğu 4:39 (a) Uzunluk, AE / L ve λ'lar 5:21 (b) Global Matris k = Tᵀ k′ T 6:46 (b) Matrisin Sağlaması 7:36 (c) Uç Kuvvetleri 8:37 (d) Çubuk Kuvveti 9:36 Soru 2: Yatay ve Düşey Çubuk 10:29 Ne Yaptık? 10:50 Akılda Kalan Kural Serinin devamında bu eleman matrislerini birleştirip bütün bir kafesi çözmeye geçeceğiz: yapı rijitlik matrisi. Kaynak kitap: R. C. Hibbeler, Structural Analysis, 9. baskı, §14.1–14.4 (+ Denk. 14–23). Konu sırası ve problem tipleri kitaptan alındı; yapılar, animasyon ve sayılar özgündür. İnşaat Mühendisliği öğrencileri için Yapı Statiği serisi.

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.