MATLAB ile Mühendislik #26 | Nyquist Kararlılık Ölçütü ve Zaman Gecikmesi

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Uzaktan sürülen bir antende kazanç ve model aynıyken yalnız ağ gecikmesi 0.4 saniyeden 0.9 saniyeye çıkınca sistem kararsız oluyor. Gecikme kutup eklemiyorsa kararlılığı nasıl bozuyor? Bu derste Nyquist eğrisini ve Z = N + P ölçütünü kuruyor, açık çevrimde kararsız bir sistemi elle çözüyor, sonra faz payını ve dayanılabilecek en büyük gecikmeyi hesaplayıp MATLAB ile doğruluyoruz. Motor döngüsü G(s) = 6.25 / (s (s² + 6.25 s + 9.6875)): ω² = 9.6875'te (ω = 3.1125 rad/s) parantezin reel kısmı sıfırlanır, G = −1/9.6875 = −0.1032; kazanç payı 9.6875, faz payı 67.38°. Örnek 1: G2(s) = (s + 2)/((s − 1)(s + 4)), P = 1, G2(0) = −0.5. K = 1: eğri −1'e ulaşmaz, N = 0, Z = 1, kapalı çevrim kökleri −2 ± √6 = 0.4495 ve −4.4495 (kararsız). K = 4: eğri −2'den başlar ve −1'i saat yönünün tersine bir kez dolanır, N = −1, Z = 0, kökler −0.6277 ve −6.3723 (kararlı). Karakteristik denklem s² + (3 + K) s + (2K − 4): kararlı aralık K büyüktür 2. margin(4*G2) kazanç payını 0.5 verir: kazancı azaltmak sistemi bozar. Örnek 2: L = 2G, Gm 4.8438, Pm 49.7667°, ωc 1.1365 rad/s. Gecikme genliği değiştirmez, fazı ωT kadar yer: T = 0.4 s'de 1.1365 × 0.4 = 0.4546 rad = 26.05°, faz payı 49.77 − 26.05 = 23.72° (MATLAB 23.7192°, Gm 1.5397). Sınır: 49.7667° = 0.8686 rad, Tmax ≈ 0.8686 / 1.1365 ≈ 0.764 s (allmargin DelayMargin 0.7642 s). T = 0.9 s'de faz payı yaklaşık −8.8°: kararsız. Padé: e^(−0.4 s) ≈ (s² − 15 s + 75)/(s² + 15 s + 75). Klasik hata: tf(Tcl) iç gecikmeli modeli çeviremez; pole(Tcl) yalnız uyarır ve gecikmeyi sıfır sayar (−0.7410 ± 1.4396j). Doğrusu pole(pade(Tcl, 3)): baskın çift −0.2276 ± 1.3333j. Basamak cevabı: gecikmesiz %OS 18.55, Ts 5.34 s; T = 0.4 s'de %OS 58.53, Ts 17.56 s. Ekrandaki her komut, sayı ve eğri MATLAB R2026b'de gerçekten çalıştırıldı; 3B sahnede Nyquist eğrisi frekans ekseni boyunca bir sarmal olarak görünür. Bu derste: 1. Nyquist eğrisi: s = jω, eksen kesişimi ve kazanç payı (nyquist, margin) 2. Z = N + P ölçütü: −1 noktası, çevrelenme yönü ve klasik yanlış 3. Açık çevrimde kararsız sistem: K = 1 kararsız, K = 4 kararlı; köklerle sağlama 4. 1'den küçük kazanç payı: margin(4*G2) = 0.5 ne demek? 5. Gecikme: genlik 1, faz −ωT; faz payı, Tmax ve allmargin DelayMargin 6. Padé yaklaşımı, tf(Tcl) hatası, pole(Tcl) uyarısı, baskın kutuplar ve basamak cevabı (3B sarmal) Bölümler: 0:00 Problem: gecikme kararlılığı nasıl bozar? Gerekli eklenti 0:48 Kaynak kitap ve kapsam 1:12 Nyquist eğrisi ve eksen kesişimi 2:22 Z = N + P ölçütü ve klasik yanlış 3:14 Örnek 1: açık çevrimde kararsız sistem 3:53 (a) K = 1: N = 0, Z = 1 5:03 (b) K = 4: N = −1, Z = 0 6:12 (c) Kararlı aralık ve 0.5 kazanç payı 6:55 Örnek 2: gecikme Nyquist'i nasıl döndürür? 7:50 Faz payı ve en büyük gecikme Tmax 9:03 Padé, tf hatası ve pole tuzağı 10:07 Basamak cevabı: gecikmenin bedeli 10:40 Ne yaptık? 11:05 Kural ve sıradaki konu Gerekli MATLAB eklentileri: Control System Toolbox 26.2 (MATLAB R2026b): tf, nyquist, margin, allmargin, pole, evalfr, feedback, freqresp, isstable, pade, stepinfo ve InputDelay özelliği. angle, unwrap, diff, sum, round, conj, flipud, squeeze ve logspace temel MATLAB. Kaynak kitap: Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, 5. baskı (Pearson), Bölüm 7 (frekans cevabı): Nyquist kararlılık ölçütü (Z = N + P), açık çevrimde kararsız sistemler, ölü zaman ve bağıl kararlılık. Tamamlayıcı: MathWorks R2026b belgeleri (nyquist, margin, allmargin, InputDelay, pade, Time Delays in Linear Systems). Konu sırası ve notasyon kitaptan; sistemler, sayılar, animasyonlar ve örnekler özgündür. Her sonuç MATLAB'dan bağımsız bir Python denetimiyle doğrulandı (149/149). Anlatım yapay zekâ sesiyle (Gemini) seslendirildi; ders kurgusu, örnekler ve MATLAB çalıştırmaları özgündür. Hedef kitle: elektrik-elektronik, mekatronik, makine ve kontrol mühendisliği öğrencileri. Ön koşul: transfer fonksiyonu, kutuplar, kazanç ve faz payı; kapalı çevrim ve kararlılık kavramları.

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.