Lineer Cebir #07 | Matrisin Tersi: [A | I] Algoritması ve Tersinir Matris Teoremi

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda şöyle gelir: A = [1 2 1; 0 1 1; 1 2 2]. A'nın tersini satır indirgemesiyle bul, A·A⁻¹ = I olduğunu sağla, Ax = (2, 1, 3) sistemini A⁻¹ ile çöz. Lineer Cebir serisinin yedinci dersinde tersi bir geri alma tuşu olarak görüyor, [A | I] algoritmasını her hücreyi ayrı söyleyerek uyguluyoruz; ardından 2 × 2 formülü ve tersinir matris teoremi. Bu derste: - Zihinsel model: ters = geri alma tuşu; A⁻¹A = I (birim matris) - Tuzak: hücrelerin tersini almak A⁻¹ vermez; yalnız kare matrisin tersi olur - Tersinir matris teoremi: n pivot ⇔ Ax = 0 yalnız 0 ⇔ sütunlar bağımsız ⇔ gerer ⇔ tersinir - Soru 1 (a): [A | I] → R₃ − R₁, R₂ − R₃, R₁ − R₃, R₁ − 2R₂ → A⁻¹ = [0 −2 1; 1 1 −1; −1 0 1] - Soru 1 (b): A·A⁻¹'in 1. satırı = 1, 0, 0 - Soru 1 (c): x = A⁻¹b = (1, 0, 1); sağlama A·x = (2, 1, 3) - Soru 2: [2 1; 5 3]⁻¹ = [3 −1; −5 2] (ad − bc = 1); [2 4; 1 2] tekil - Soru 3: [1 2 3; 0 1 4; 2 4 6] — sıfır satır, 2 pivot → tersinir değil Bölümler: 0:00 Giriş ve Sınav Sorusu 0:42 Mantık: Ters = Geri Alma 1:26 Tersinir Matris Teoremi 2:03 Seri Haritası 2:13 Soru 1: [A | I] 2:49 Soru 1 (a): Altı Sıfırla 3:31 Soru 1 (a, b): Üstü Sıfırla, A⁻¹ 4:51 Soru 1 (c): x = A⁻¹b 5:39 Soru 2: 2 × 2 Formülü 6:36 Soru 3: Tersinir mi? 7:18 Ne Yaptık? 7:35 Akılda Kalan Kural ve Sıradaki Ders Sıradaki derste matrisi iki kolay parçaya ayıracağız: LU ayrışımı. Kaynak kitap: David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 5. baskı — Bölüm 2.2–2.3 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Lineer Cebir serisinin yedinci dersi.