Deprem Mühendisliği #17 | Çok Serbestlik Dereceli Sistemler I: Kütle ve Rijitlik Matrisleri

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Açılıştaki 3D animasyonda aynı zeminde iki katlı iki betonarme çerçeve var: kolonları, kat yükseklikleri ve kütleleri aynı, tek fark kirişlerde. Soldakinin kirişleri hiç eğilmeyecek kadar rijit, sağdakinin kirişleri gerçek bir betonarme kiriş gibi esnek. İkisinin de çatısını 100 kilonewtonla yana itince soldaki 5.6, sağdaki 9.9 milimetre ötelenir; sağdakinin düğümleri döner, kirişleri eğilir. Bu derste her katın yer değiştirmesini ayrı bir bilinmeyen yapıp hareket denklemlerini matrislerle kuruyor, deprem etkisini ve dönmeleri hesaba katan statik yoğunlaştırmayı görüyoruz. Bu derste: - İki katlı kayma binası: kat kütleleri döşemede, her katın kolonları bir yay; kat kesme kuvveti = kat rijitliği × kat ötelemesi. Her kütle için Newton'un ikinci yasası iki denklem verir. - Matris biçimi: M ü + C u̇ + K u = p. Kütle matrisi köşegendir; rijitlik matrisinin köşegen dışındaki −k2 terimleri denklemleri birbirine bağlar. - Etki katsayıları: k_ij, j serbestliğine birim yer değiştirme verilip ötekiler tutulduğunda i'de gereken kuvvettir; her birim yer değiştirme matrisin bir sütununu verir; matris simetriktir. Toplu kütlede M köşegen, dönme serbestliklerinin kütlesi pratikte sıfırdır. - Örnek çerçeve (kat 3.5 m, açıklık 6 m, kolon 40×40, E 30 GPa, kat 80 t): kolon EI = 64000 kN·m², 12EI/h³ ≈ 17913, kat rijitliği ≈ 35825 kN/m; K = [71650, −35825; −35825, 35825], M = diag(80, 80) t. - Deprem: toplam yer değiştirme u + ι u_g; etkin kuvvetler −M ι ü_g. Yatay katlarda etki vektörü 1'lerden oluşur; 0.30 g'de her kata yaklaşık 235 kN. - Esnek kirişler: her düğüm döner; iki katlı tek açıklıklı çerçevede 2 yanal + 4 dönme = 6 serbestlik. Dönmelerde kütle ve deprem kuvveti yoktur, bu denklemler statik dengedir. - Statik yoğunlaştırma: u_0 = −K_00⁻¹ K_0t u_t, K̂ = K_tt − K_t0 K_00⁻¹ K_0t (yanal rijitlik matrisi). Dinamik çözüm iki serbestlikle yapılır, dönmeler gerektiğinde geri hesaplanır. - 30×60 kirişle K̂ ≈ [63100, −28300; −28300, 22800]; çatıya 100 kN: kayma binası 5.6 mm, çerçeve 9.9 mm (yüzde 77 fazla). Maxwell karşıtlığı: iki durumda da karşı kat 4.4 mm ötelenir. - Neden önemli: birinci periyot kayma binasında yaklaşık 0.48 s, esnek kirişli çerçevede 0.62 s; kirişi rijit saymak yapıyı olduğundan rijit ve kısa periyotlu gösterir. - Üç yanılgı: kayma binası modelini her zaman yeterli sanmak, dönme serbestliklerini atmayı sıfır kabul etmek sanmak, etki vektörünün her zaman birlerden oluştuğunu sanmak. Bölümler: 0:00 Geçen Ders ve Bugün 0:28 Bir Bakış: Rijit ve Esnek Kirişler 0:59 İki Katlı Kayma Binası 1:43 Matrisle Hareket Denklemi 2:14 Etki Katsayıları 2:55 Örnek: İki Katlı Çerçeve 3:41 Deprem Etkisi ve Etki Vektörü 4:16 Esnek Kirişler: Altı Serbestlik 4:42 Statik Yoğunlaştırma 5:18 Örnek: Yanal Rijitlik Matrisi 6:03 Neden Önemli? 6:28 Üç Yanılgı 7:00 Özet Bir sonraki derste serbest titreşimi, doğal frekansları ve modları görüyoruz. Kaynak kitap: A. K. Chopra, Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 5. baskı SI (Pearson, 2020), Bölüm 9.1–9.4. Konu sırası, tanımlar ve bağıntılar kitaptan alındı; 3D sahne, örnekler ve sayılar özgündür. İnşaat Mühendisliği öğrencileri için Deprem Mühendisliği serisinin on yedinci dersi. Ön koşul: bu serinin on altıncı dersi (genelleştirilmiş sistemler ve Rayleigh yöntemi).

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.