#13 Devre Teorisi-2 #13 | Laplace Dönüşümü - Tanım, Birim Basamak, Darbe

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Fazörden geçici rejime

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   Tek frekanslı fazörler sinüzoidal kararlı durumu açıklar. Laplace, uygun doğrusal modellerde anahtarlama geçicilerini ve başlangıç enerjisinin katkısını da içerir.

   Sesli anlatım metni

   On iki ders boyunca AC kararlı durumda çalıştık: tek frekans, sinüsoidal kaynaklar, dengeli fazörler. Devreleri empedans kullanarak cebirsel olarak çözdük; ama yalnızca hiçbir şey anahtarlanmadığında, geçici olaylar sönümlendiğinde. Bugün, geçici durum ile kararlı durumu aynı anda ele alabilen daha güçlü bir araca geçiyoruz. Laplace dönüşümü.

2. 2. Diferansiyel denklemi dönüştür

   Türevler s çarpanlarına ve başlangıç koşulu terimlerine dönüşür.

   Dönüşmüş denklemi çöz ve ters dönüştür; problem sıfır başlangıç durumu vermedikçe enerji terimlerini atma.

   Sesli anlatım metni

   Diferansiyel denklemler zordur. Cebirsel denklemler kolaydır. Laplace dönüşümü, zamanın bir fonksiyonunu alıp, kompleks bir değişken s'in fonksiyonuna çevirir. Öyle bir şekilde ki, zaman bölgesindeki türev, yeni bölgede s ile çarpıma dönüşür. Re Le Ce devresinin ikinci dereceden diferansiyel denklemini, karakteristik kökler ve integrasyon çarpanlarıyla çözeceğiniz yerde, s cinsinden polinom denklem hâline gelir. Cebirle çözer, sonra geri dönersiniz. Tüm zor problem cebire indirgenir.

3. 3. Tek taraflı tanım

   Sıradan nedensel fonksiyon için f(t)exp(−st), sıfırdan sonsuza integre edilir.

   Başlangıçtaki impulsun tam ağırlığını ve anahtarlama öncesi değerleri içermek için 0− alt sınır kabulü açıkça kullanılır.

   Sesli anlatım metni

   İşte tanım. f(t) fonksiyonunun tek-taraflı Laplace dönüşümü, sıfırdan sonsuza, f(t) çarpı e üstü eksi s t, dt integralidir. Üç şeye dikkat edin. Alt sınır sıfırdır; yani t eşittir sıfırda başlayan sinyallere bakıyoruz. Çekirdek e üstü eksi s t, üstel bir prob'dur. Ve s'in kendisi kompleks bir sayıdır; Laplace'ı Fourier'den kesin olarak daha güçlü kılan tam olarak budur.

4. 4. Karmaşık değişken ve yakınsama

   s=σ+jω; çekirdek exp(−σt)exp(−jωt) olur.

   Pozitif σ sönüm, negatif σ büyüme ekler. σ=0'ın Fourier dönüşümü vermesi için sanal eksen uygun yakınsama bölgesinde olmalı veya dağılımsal yorum belirtilmelidir.

   Sesli anlatım metni

   s'i ayıralım. s eşittir sigma artı je omega yazıyoruz. O zaman e üstü eksi s t eşittir e üstü eksi sigma t çarpı kompleks üstel e üstü eksi je omega t; yani kosinüs omega t eksi je sinüs omega t. Yani Laplace çekirdeği, sönümlü bir sinüs eğrisidir. Sigma ne kadar hızlı söndüğünü kontrol eder, omega ne kadar hızlı salındığını kontrol eder. Sigma sıfır olduğunda, e üstü eksi s t Fourier çekirdeğine indirgenir. Yani Fourier, sigma eşittir sıfır özel halidir. Laplace, Fourier'i kapsar ve daha öteye gider.

5. 5. Birim basamak

   Nedensel basamağın dönüşümü Re(s)>0 bölgesinde 1/s'dir.

   Sonsuzdaki sınır yalnız yakınsama bölgesinde sıfıra götürülebilir.

   Sesli anlatım metni

   İlk dönüşüm çiftimizin zamanı. f(t) eşittir u(t), birim basamak alalım. İntegral, sıfırdan sonsuza bir çarpı e üstü eksi s t, dt olur. Anti türev, eksi bir bölü s, çarpı e üstü eksi s t. Sıfırdan sonsuza değerlendirildiğinde: sonsuzda, s'in gerçel kısmı sıfırdan büyük olduğunda terim sıfıra gider. Sıfırda ise eksi bir bölü s'e eşittir. Sonuç: u(t), bir bölü s'e dönüşür. S'in gerçel kısmı sıfırdan büyük koşuluna yakınsama bölgesi denir; integralin gerçekten var olduğu s değerleri.

6. 6. İmpuls

   Başlangıç impulsunun tamamını içeren tanımda δ(t)'nin dönüşümü birdir.

   Böylece LTI sistemin sıfır durumlu impuls çıktısının dönüşümü, transfer fonksiyonudur.

   Sesli anlatım metni

   Darbe çifti daha da basittir. f(t) eşittir delta t, orijindeki birim darbeyi alalım. Eleme özelliği gereği, delta t çarpı herhangi bir fonksiyonun integrali, o fonksiyonu t eşittir sıfırda değerlendirir. Yani Laplace integrali, e üstü eksi s çarpı sıfıra çöker; bu da bire eşittir. Darbenin dönüşümü yalnızca sabit bir sayı, bir. Bu, darbe yanıtlarının neden bu kadar önemli olduğunu açıklar: s bölgesinde, transfer fonksiyonunun ta kendisidirler.

7. 7. Azalma parametresinin düzeltilmesi

   Gerçek a için exp(−at)u(t), Re(s)>−a bölgesinde 1/(s+a)'ya dönüşür.

   a>0 ise a birimi saniyenin tersi olan azalma hızıdır. Zaman sabiti τ=1/a'dır; a değildir.

   Sesli anlatım metni

   Bir yapı taşı daha. f(t) eşittir e üstü eksi a t, çarpı u(t); sönümlü bir üstel. İntegrale yerleştirin. Sıfırdan sonsuza, e üstü eksi s artı a, çarpı t, dt elde ederiz. Bu, birim basamak integraliyle aynı şekildedir; yalnızca s yerine s artı a. Sonuç: bir bölü s artı a. Zaman bölgesindeki a zaman sabitinin, s bölgesinde s değişkeninin kayması olarak nasıl ortaya çıktığına dikkat edin. Yakınsama bölgesi: s'in gerçel kısmı eksi a'dan büyük.

8. 8. Sinüzoidal çiftler

   cos(ωt)u(t), s/(s²+ω²)'ye; sin(ωt)u(t), ω/(s²+ω²)'ye dönüşür.

   Sıfır dışı gerçek frekansta nedensel integralin yakınsama bölgesi Re(s)>0'dır.

   Sesli anlatım metni

   Sürekli kullanacağımız iki çift daha; Euler formülüyle tek adımda türetilir. Kosinüs omega t eşittir, e üstü je omega t artı e üstü eksi je omega t'nin yarısı. Her parça yalnızca bir üsteldir, yani her biri önceki kuralla dönüşür. Topladığımızda: kosinüs omega t çarpı u(t), s bölü s kare artı omega kareye dönüşür. Sinüs omega t ise omega bölü s kare artı omega kareye dönüşür. Bu kalıbı ezberleyin; her yerde karşınıza çıkacak.

9. 9. Temel tablo

   İmpuls bir; basamak 1/s; rampa 1/s²; nedensel üstel 1/(s+a) verir.

   Sinüs ve kosinüs çiftlerinde de nedensellik kabulünü ve yakınsama bölgesini koru.

   Sesli anlatım metni

   İşte güncel tablomuz. Delta t, bir'e gider. u(t), bir bölü s'e gider. e üstü eksi a t, bir bölü s artı a'ya gider. t çarpı u(t), bir bölü s kareye gider. Kosinüs omega t, s bölü s kare artı omega kareye gider. Sinüs omega t, omega bölü s kare artı omega kareye gider. Altı çift. Sonraki derslerin kayma, ölçekleme ve türev kuralları ile birleştiğinde, devre analizinde karşılaşacağınız sinyallerin neredeyse tamamını kapsar.

10. 10. Çekirdek örneği

    f(t)=exp(−0.3t)u(t), s=0.5+j2 için integrand exp(−0.8t)exp(−j2t)'dir.

    İntegral 1/(0.8+j2) olur. Bu tek karmaşık değer dönüşümün bir noktasını verir; tek başına bütün sinyali belirlemez.

    Sesli anlatım metni

    Şuna bakın. Burada f(t) eşittir e üstü eksi sıfır nokta üç t. Çekirdek e üstü eksi s t ile, s eşittir sıfır nokta beş artı je iki olarak çarptıkça, eğri sayfadan dışarı doğru üç boyutlu bir sarmala açılıyor. x ekseni zaman. y ekseni integrandın gerçel kısmı. z ekseni sanal kısmı. Birleşik sönüm, sigma artı sıfır nokta üç, sarmalı sıfıra doğru çekiyor; omega ise eksen etrafında büküyor. Laplace dönüşümü F(s), bu sarmalın integralinden ibaret; tek bir kompleks sayıya çöküyor. O sayı, tüm sinyali s düzlemindeki bu tek noktada yakalıyor.

11. 11. Özet

    Başlangıç koşulunu, yakınsama bölgesini ve başlangıç anı kabulünü belirt.

    Pozitif a azalma hızının zaman sabiti 1/a'dır. Laplace fiziksel varsayımları değiştirmeden belirtilen problemi cebire dönüştürür.

    Sesli anlatım metni

    Üç çıkarım. Laplace dönüşümü, zaman bölgesindeki fonksiyonları kompleks bir s değişkeninin fonksiyonlarına eşleyerek diferansiyel denklemleri cebire çevirir. Çekirdek e üstü eksi s t, sönümlü bir sinüs eğrisidir; sönüm ekleyerek Fourier çekirdeğini genelleştirir. İhtiyacımız olan temel çiftler: u(t) bir bölü s'e gider, delta t bir'e gider, e üstü eksi a t bir bölü s artı a'ya gider. Sonraki derste, zaman kayması, türev ve integral özelliklerini ekliyoruz.

Kaynak video: Devre Teorisi-2 #13 | Laplace Dönüşümü - Tanım, Birim Basamak, Darbe (6:25)