#14 Devre Teorisi-2 #14 | Laplace Dönüşümü Özellikleri - Kayma, Türev, İntegral

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. İşlem kuralları

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   Temel Laplace çiftlerini zaman kaydırma, s kaydırma, türev ve integral özellikleriyle birleştir.

   Tek taraflı başlangıç anı kabulünü ve yakınsama koşullarını tutarlı kullan.

   Sesli anlatım metni

   Önceki derste Laplace dönüşümünü tanımladık ve üç temel çift kurduk: u(t) bir bölü s'e gidiyor, delta t bir'e, e üstü eksi a t ise bir bölü s artı a'ya. Bugün manipülasyon araçlarını ekliyoruz: zamanda kayma, frekansta kayma, türev ve integral. Bu araçlarla, tablodan kurabileceğiniz her sinyali bakarak dönüştürebilirsiniz.

2. 2. Gecikme genliğinin düzeltilmesi

   a≥0 gecikmesi için f(t−a)u(t−a), exp(−as)F(s)'ye dönüşür.

   s=σ+jω yazıldığında gecikme çarpanının büyüklüğü exp(−aσ), fazı −aω'dır.

   Genlik yalnız σ=0 sanal ekseninde değişmez; genel karmaşık s için bu iddia geçerli değildir.

   Sesli anlatım metni

   İlk olarak, zaman kayması teoremi. Diyelim elimizde dönüşümü büyük F s olan bir f(t) sinyali var ve onu a saniye geciktiriyoruz: f, t eksi a; çarpı u, t eksi a; nedensel kalsın diye. Laplace integralini kuruyoruz. Birim basamak, t eşittir a'nın altındaki her şeyi sıfırlıyor; alt sınır a oluyor. Tau eşittir t eksi a değişken değişimi yapıyoruz, integral ikiye ayrılıyor: e üstü eksi a s, çarpı f'in olağan Laplace integrali. Sonuç: zamanda a saniyelik gecikme, s bölgesinde e üstü eksi a s ile çarpıma karşılık geliyor. Büyüklük değişmiyor, sadece faz kayıyor.

3. 3. Üstel ağırlıklandırma

   f(t)'yi exp(−at) ile çarpmak F(s)'yi F(s+a) yapar.

   Yakınsama bölgesi de kayar; bu işlem zaman gecikmesiyle aynı değildir.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi frekans kayması teoremi; s kayması olarak da bilinir. f(t)'yi zaman bölgesinde e üstü eksi a t ile çarparsak s bölgesinde ne olur? İntegrale yerleştirip iki üsteli birleştiriyoruz: e üstü eksi a t, çarpı e üstü eksi s t, eşittir e üstü eksi s artı a, çarpı t. Yani integral orijinal dönüşümle aynı şekilde; sadece s yerine s artı a. Sonuç: zamanda üstel ile çarpma, s değişkenini a kadar kaydırıyor. Bu, zaman kayması teoreminin simetrik aynası.

4. 4. Türevde başlangıç koşulları

   Başlangıç impulsunu tam içeren tek taraflı kabulde birinci türev sF(s)−f(0−) verir.

   İkinci türev s²F(s)−s f(0−)−f′(0−) olur. Başlangıç impulsu olmayan sıradan türev probleminde uygun 0+ kabulü tutarlı kullanılabilir.

   Sesli anlatım metni

   Zamanda türev. Diferansiyel denklemleri cebire çeviren özellik. f prim, t'nin Laplace integralini alıp kısmi integrasyon uyguluyoruz: u eşittir e üstü eksi s t, dv eşittir f prim, t dt. O zaman du eşittir eksi s, e üstü eksi s t, dt; v eşittir f, t. Sınır terimi sonsuzda sıfıra gidiyor; sıfırda eksi f, sıfır veriyor. Geri kalan integral, s çarpı büyük F s. Birleştirdiğimizde: f prim'in Laplace dönüşümü eşittir s F s eksi f sıfır. İkinci türev için kuralı iki kez uygula: s kare F s, eksi s çarpı f sıfır, eksi f prim sıfır. Her türev s'in bir kuvvetine, artı başlangıç koşullarına dönüşür.

5. 5. İntegral

   Sıfır integral sabitiyle sıfırdan t'ye birikim, uygun yakınsama bölgesinde F(s)/s verir.

   Sıfır dışı integral sabiti ayrıca sabit/s terimini ekler.

   Sesli anlatım metni

   Zamanda integral. f'i sıfırdan t'ye integre edersek s bölgesinde ne olur? Türevin aynası: s ile çarpmak yerine, s'e bölmek. Sıfırdan t'ye f integralinin Laplace dönüşümü, F s bölü s'e eşittir. Kanıt iki değişkenli integralde sıralamayı değiştirip doğal şekilde ikiye ayrılıyor. Çıkarım simetrik: türevler s ile çarpmaya, integraller s'e bölmeye karşılık geliyor. Tam olarak bu yüzden, kapasitör ve indüktör içeren devreler s bölgesinde cebirsel ağa indirgeniyor.

6. 6. Zamanla çarpma

   İntegral altında türevin geçerli olduğu yerde t ile çarpma −dF/ds verir.

   1/s'ye uygulanınca rampa dönüşümü 1/s² bulunur.

   Sesli anlatım metni

   Bir faydalı özellik daha. Zaman bölgesinde f(t)'yi t ile çarpmak, s bölgesinde büyük F'in s'e göre türevinin negatifine karşılık geliyor. Hızlı bir uygulama: t çarpı u, t için bir bölü s'in türevinin negatifini alıyoruz, sonuç bir bölü s kare. Bir integral bile yapmadan yeni bir dönüşüm çiftini türettik.

7. 7. Özellik özeti

   Gecikme exp(−as)F(s), üstel ağırlık F(s+a), türev başlangıç değerli s çarpanları, integral s'ye bölme getirir.

   a>0 için f(at), F(s/a)/a'ya dönüşür. Her işlemde kendi koşullarını koru.

   Sesli anlatım metni

   İşte hızlı başvuru için güncel özellikler tablosu. Zaman kayması e üstü eksi a s ekliyor. Frekans kayması s'i s artı a ile değiştiriyor. Birinci türev s F s eksi f sıfır oluyor. İkinci türev s f sıfır ve f prim sıfır düzeltmelerini ekliyor. İntegral s'e bölüyor. t ile çarpım s'e göre türev alıyor. Zaman ölçeklemesi f, a t ifadesini bir bölü a, çarpı F, s bölü a şekline götürüyor. Bu sekiz kural ve önceki dersten gelen altı çift, doğrusal devre analizinde karşılaşacağınız neredeyse her sinyali kapsıyor.

8. 8. Başlangıç değerli örnek

   y′+2y=0 ve y(0)=1 için (s+2)Y=1 olur.

   Y=1/(s+2), dolayısıyla t≥0 için y(t)=exp(−2t). Başlangıç değeri ve denklem doğrudan doğrulanır.

   Sesli anlatım metni

   Bunun neden değerli olduğunu gösteren küçük ama tam bir örnek yapalım. y prim, t artı iki y, t eşittir sıfır; y sıfır eşittir bir başlangıç koşuluyla çözelim. Her iki tarafın Laplace dönüşümünü alıyoruz. Türev kuralı y prim için s büyük Y s eksi bir veriyor, artı iki Y s. Toparla: s artı iki, çarpı Y s, eşittir bir. Cebir: Y s eşittir bir bölü s artı iki. Bunu önceki dersin üstel çiftinden tanıyoruz; yani y, t eşittir e üstü eksi iki t. Bir diferansiyel denklemi s bölgesinde saf cebir ile çözdük. Sonraki derste daha karmaşık sağ tarafları kısmi kesirler ile ele alacağız.

9. 9. Özet

   Gecikme, sanal eksen dışında Laplace genliğini değiştirir.

   Başlangıç terimlerinin eksi işaretlerini koru; gecikme, üstel ağırlıklandırma ve zaman ölçeklemeyi ayır.

   Sesli anlatım metni

   Üç çıkarım. Zaman kayması e üstü eksi a s'ye, frekans kayması ise s'in s artı a ile değiştirilmesine karşılık geliyor — simetrik çift. Zamanda türev s ile çarpıyor ve başlangıç koşullarını içeri çekiyor; zamanda integral s'e bölüyor. Bu manipülasyon kuralları ve altı temel çift ile, neredeyse her sinyali kafanızda dönüştürebilirsiniz. Sonraki derste ters yöne geçiyoruz: ters Laplace ve kısmi kesirler.

Kaynak video: Devre Teorisi-2 #14 | Laplace Dönüşümü Özellikleri - Kayma, Türev, İntegral (5:50)