#02 Değişken İvme: a(t), a(v), a(s)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen derste: konum, hız, ivme · a sabitken üç formül · fren mesafesi

   Bugün: a sabit değilse — ivme zamana, hıza ya da konuma bağlıysa → integral

   Gerçek hayatta çoğu hareket böyle: su ve hava direnci, yaylar

   Sesli anlatım metni

   Merhaba, Dinamik dersinin ikinci videosuna hoş geldiniz. Geçen derste konum, hız ve ivmeyi tanımladık; ivme sabitken üç hazır formülle fren mesafesini hesapladık. Bugün ivmenin sabit olmadığı durumlara bakacağız: ivme zamana, hıza ya da konuma bağlıysa ne yaparız? Gerçek hayattaki hareketlerin çoğu tam da böyledir.

2. 2. Motoru Kapatılan Tekne Nerede Durur?

   

   Tekne 10 m/s ile giderken motor kapatılıyor

   Su direnci: yavaşlama ∝ v² → a = −0.02 v² · başta a = −0.02 · 10² = −2 m/s²

   Ne zaman, nerede durur? Sabit a ile: 5 s, 25 m ✗ Gerçekte v hiç sıfır olmaz!

   Sesli anlatım metni

   Bir soruyla başlayalım. Bir sürat teknesi saniyede 10 metreyle giderken motoru kapatılıyor. Suyun direnci tekneyi yavaşlatıyor ve bu yavaşlama hızın karesiyle orantılı: hız ne kadar büyükse fren o kadar güçlü. Başlangıçta ivme eksi 2 metre bölü saniye kare. Tekne ne zaman ve nerede durur? Sabit ivme formülünü kullanırsak cevap kolay: 5 saniyede, 25 metrede. Ama bu yanlış. Gerçekte 5 saniye sonra tekne hâlâ saniyede 5 metreyle gidiyor ve 34.7 metre yol almış. Üstelik hızı hiçbir zaman tam sıfır olmuyor. Bugün bunun nedenini hesapla göreceğiz.

3. 3. Yöntem: Hangi Bağıntı, Ne Zaman?

   

   Her integralde alt sınır = başlangıç koşulu (t₀, s₀, v₀)

   Sesli anlatım metni

   Önce genel yöntem. Elimizde üç temel bağıntı var: ivme, hızın zamana göre türevidir; hız, konumun zamana göre türevidir; ve zamanı içermeyen üçüncü bağıntı: ivme çarpı yol değişimi, hız çarpı hız değişimine eşittir. İvme sabit değilse bu bağıntılardan uygun olanı seçer, değişkenleri ayırır ve integral alırız. Seçim kuralı basit. İvme zamana bağlıysa, birinci bağıntıyla hızı zamanın fonksiyonu olarak bulur, bir kez daha integral alarak konumu buluruz. İvme hıza bağlıysa, zaman soruluyorsa yine birinci bağıntıyı, yol soruluyorsa zamansız bağıntıyı kullanırız. İvme konuma bağlıysa doğrudan zamansız bağıntıyı kullanırız. Ve her integralde başlangıç koşullarını, yani başlangıçtaki zaman, konum ve hızı alt sınır olarak yazarız.

4. 4. Örnek 1 — a(t): Yumuşak Kalkan Asansör

   

   a = 1.2 − 0.3t (m/s²) · başta v = 0, s = 0

   t = 4 s: a = 1.2 − 0.3 · 4 = 0 → sabit hız

   soru: t = 4 s'de v = ? s = ?

   a(t) → ① a = dv/dt → dv = a dt

   $\displaystyle v = 1.2t - 0.3 \cdot \frac{ t²}{2 }= 1.2t - 0.15t²$

   t = 4:

   $\displaystyle 1.2 \cdot 4 = 4.8 \cdot 0.15 \cdot 4² = 0.15 \cdot 16 = 2.4$

   $\displaystyle v = 4.8 - 2.4 =\frac{ 2.4 m}{s}$

   $\displaystyle s = 1.2 \cdot \frac{ t²}{2 }- 0.15 \cdot \frac{ t³}{3 }= 0.6t² - 0.05t³$

   t = 4:

   $\displaystyle 0.6 \cdot 16 = 9.6 \cdot 0.05 \cdot 4³ = 0.05 \cdot 64 = 3.2$

   $\displaystyle s = 9.6 - 3.2 = 6.4 m$

   a = 1.2 sabit sanılsaydı: v = 1.2 · 4 = 4.8 m/s → 2 kat ✗

   Sesli anlatım metni

   Birinci örnek: ivme zamana bağlı. Bir asansör, yolcuları sarsmamak için yumuşak kalkıyor. İvmesi 1.2 metre bölü saniye kareden başlıyor ve her saniye 0.3 azalıyor; 4 saniyede sıfıra iniyor ve asansör sabit hıza geçiyor. 4 saniye sonunda hız ve yükseklik ne olur? İvme zamana bağlı, o yüzden birinci bağıntıdan başlıyoruz: hız, ivmenin sıfırdan o ana kadarki integrali. 1.2'nin integrali 1.2 çarpı zaman; eksi 0.3 çarpı zamanın integrali eksi 0.15 çarpı zamanın karesi. Zaman yerine 4 koyalım: 1.2 çarpı 4, 4.8; 0.15 çarpı 16, 2.4; hız 4.8 eksi 2.4, saniyede 2.4 metre. Yükseklik için hızı bir kez daha integre ediyoruz: 0.6 çarpı zamanın karesi, eksi 0.05 çarpı zamanın küpü. 4 saniyede: 0.6 çarpı 16, 9.6; 0.05 çarpı 64, 3.2; yükseklik 9.6 eksi 3.2, 6.4 metre. Karşılaştıralım: ivmeyi başlangıç değerinde sabit sansaydık hız 4.8 çıkardı, gerçeğin iki katı.

5. 5. Örnek 2 — a(v): Suyun Yavaşlattığı Tekne

   

   $\displaystyle a = -0.02 v² \left(m/s²\right) \cdot v₀ =\frac{ 10 m}{s}, s₀ = 0$

   önce zaman: ① a = dv/dt

   dv / v² = −0.02 dt

   $\displaystyle -\frac{1}{v }+\frac{ 1}{10 }= -0.02t \to \frac{ 1}{v }-\frac{ 1}{10 }= 0.02t$

   v = 5:

   $\displaystyle \frac{1}{5 }= 0.2 \cdot \frac{ 1}{10 }= 0.1$

   $\displaystyle 0.2 - 0.1 = 0.1 \to t =\frac{ 0.1 }{ 0.02 }= 5 s$

   şimdi yol: ③ v dv = a ds

   v dv = −0.02 v² ds

   bir v sadeleşir: dv / v = −0.02 ds

   $\displaystyle \ln v - \ln 10 = -0.02 s \to \ln \left(\frac{10 }{ v}\right) = 0.02 s$

   v = 5:

   $\displaystyle \frac{10 }{ 5 }= 2 \cdot \ln 2 \approx 0.693$

   $\displaystyle s =\frac{ 0.693 }{ 0.02 }\approx 34.7 m$

   $\displaystyle \frac{1}{v }= 0.1 + 0.02t \to v =\frac{ 10 }{1 + 0.2t}$

   $\displaystyle t = 5 s \to \frac{ 5 m}{s }\cdot t = 20 s \to \frac{ 2 m}{s}$

   1 + 0.2t hep büyür → v hiç 0 olmaz

   sabit a varsayımı: 25 m'de durur ✗

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnek: ivme hıza bağlı. Tekneye dönelim: ivme, eksi 0.02 çarpı hızın karesi. Önce zaman soruluyor, o yüzden birinci bağıntı: hız değişimini hızın karesine bölüp zamanla eşleştiriyoruz. Hızın karesinin tersinin integrali kolay: 1 bölü son hız, eksi 1 bölü ilk hız, 0.02 çarpı zamana eşit. Hız 5'e indiğinde: 1 bölü 5, 0.2; 1 bölü 10, 0.1; fark 0.1; bölü 0.02, 5 saniye. Şimdi yol soruluyor, o yüzden zamansız bağıntı: hız çarpı hız değişimi, ivme çarpı yol değişimine eşit. Hızlardan biri sadeleşiyor: hız değişimi bölü hız, eksi 0.02 çarpı yol değişimi. Bunun integrali doğal logaritma: ilk hızın son hıza oranının logaritması, 0.02 çarpı yola eşit. 10 bölü 5, 2; 2'nin doğal logaritması yaklaşık 0.693; bölü 0.02, yaklaşık 34.7 metre. Hız zamanla nasıl azalıyor? 10 bölü, 1 artı 0.2 çarpı zaman: 5 saniyede 5, 20 saniyede 2 metre bölü saniye. Bu kesir hiçbir zaman sıfır olmaz; başka etkiler olmasa tekne tam durmazdı. Sabit ivme varsayımı ise durmayı 25 metrede söylüyordu.

6. 6. Örnek 3 — a(s): Yayla Fırlatılan Araba

   

   $\displaystyle a = 60 - 150 s \left(m/s²\right) \cdot s₀ = 0, v₀ = 0$

   s = 0.4: a = 60 − 150 · 0.4 = 0 → ayrılır

   soru: ayrılırken v = ?

   a(s), zaman yok → ③ v dv = a ds

   v dv = (60 − 150 s) ds

   $\displaystyle \frac{v²}{2 }= 60 s - 150 \cdot \frac{ s²}{2 }= 60 s - 75 s²$

   s = 0.4:

   $\displaystyle 60 \cdot 0.4 = 24 \cdot 75 \cdot 0.4² = 75 \cdot 0.16 = 12$

   $\displaystyle \frac{v²}{2 }= 24 - 12 = 12$

   $\displaystyle v² = 2 \cdot 12 = 24$

   $\displaystyle v = \surd 24 \approx \frac{ 4.90 m}{s}$

   sabit a = 60 sanılsa:

   $\displaystyle v² = 2 \cdot 60 \cdot 0.4 = 48 \to v \approx 6.93 ✗$

   a > 0 sürdükçe hızlanır → en büyük v ayrılmada

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü örnek: ivme konuma bağlı. Oyuncak bir araba, sıkıştırılmış bir yayla fırlatılıyor. Yay itmeye başladığında ivme 60 metre bölü saniye kare; araba ilerledikçe her metrede 150 azalıyor ve 0.4 metrede sıfır oluyor: yay serbest boyuna geliyor, araba yaydan ayrılıyor. Ayrılırken hızı ne? İvme konuma bağlı ve zaman sorulmuyor: zamansız bağıntı. Hız çarpı hız değişimi, 60 eksi 150 çarpı konum, çarpı yol değişimine eşit. İntegral alınca sol taraf hızın karesinin yarısı; sağ taraf 60 çarpı konum, eksi 75 çarpı konumun karesi. 0.4 metrede: 60 çarpı 0.4, 24; 75 çarpı 0.16, 12; fark 12. Hızın karesi bunun iki katı, 24; hız 24'ün karekökü, yaklaşık 4.90 metre bölü saniye. Sabit 60 ivmesiyle hesaplasaydık 6.93 çıkardı, çok fazla. İvme sıfıra inene kadar araba hızlanmaya devam ettiği için en büyük hız tam ayrılma anındadır.

7. 7. Üç Klasik Tuzak

   

   ① İvme değişirken sabit ivme formülleri → tekne 25 m'de durmuyordu

   ② Yanlış bağıntı → yol soruluyorsa ③, zaman soruluyorsa ①

   ③ İntegral sınırlarını unutmak → alt sınır = başlangıçtaki hız ve konum

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: ivme değişirken sabit ivme formüllerini kullanmak; tekne 25 metrede durmuyordu. İki: yanlış bağıntıyı seçmek; yol soruluyorsa zamansız bağıntıyla, zaman soruluyorsa birinci bağıntıyla başlayın. Üç: integral sınırlarını, yani başlangıç koşullarını unutmak; başlangıçta hız ve konum neyse alt sınır odur.

8. 8. Özet ve Sıradaki Ders

   

   a(t): iki kez integral — önce v(t), sonra s(t)

   a(v): zaman soruluyorsa ①, yol soruluyorsa ③

   a(s): ③ zamansız bağıntı → doğrudan v(s)

   a'yı sabit sanmak büyük hata: tekne 25 m'de durmaz

   Sıradaki ders: hareket grafikleri — s–t, v–t, a–t; eğim ve alan

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. İvme zamana bağlıysa iki kez integral alırız; hıza bağlıysa, sorulana göre zaman ya da yol bağıntısını seçeriz; konuma bağlıysa zamansız bağıntı doğrudan hızı verir. Tekne örneğinde gördüğünüz gibi, ivmeyi sabit sanmak büyük hatalara yol açabilir. Bir sonraki derste hareketi grafiklerle inceleyeceğiz: konum, hız ve ivme grafikleri arasındaki eğim ve alan ilişkileri. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Değişken İvme: a(t), a(v), a(s) (6:18)