#03 Hareket Grafikleri: Eğim ve Alan

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen derste: a(t), a(v), a(s) → integral ile hız ve konum

   Bugün: hareketi grafiklerle okumak — s–t, v–t, a–t

   İki anahtar kelime: eğim ve alan

   Sesli anlatım metni

   Merhaba, Dinamik dersinin üçüncü videosuna hoş geldiniz. Geçen derste ivme zamana, hıza ya da konuma bağlıyken integral alarak hızı ve konumu bulduk. Bugün hareketi grafiklerle okuyacağız: konum zaman, hız zaman ve ivme zaman grafikleri. İki anahtar kelimemiz var: eğim ve alan.

2. 2. İki İstasyon Arası Kaç Metre?

   

   Elimizde yalnızca hız göstergesinin kaydı var (v–t)

   Kilometre sayacı yok.

   İki istasyon arası kaç metre? → v–t grafiğinin altındaki alan

   Sesli anlatım metni

   Bir soruyla başlayalım. Bir metro treni iki istasyon arasında gidiyor. Elimizde yalnızca hız göstergesinin kaydı var: tren 20 saniyede saniyede 20 metreye çıkıyor, 40 saniye bu hızda gidiyor, sonra 20 saniyede duruyor. Kilometre sayacı yok. İki istasyon arası kaç metre? Cevap grafiğin içinde saklı: hız zaman grafiğinin altındaki alanda.

3. 3. Eğim: Grafikten Hız ve İvme Okumak

   

   v = ds/dt → s–t grafiğinin eğimi = hız

   eğim: teğetin Δs / Δt oranı

   kalkış: eğri dikleşir → v artar

   t = 10 s: teğet 10 s'de 100 m yükselir → v = 100 / 10 = 10 m/s

   sabit hız: düz çizgi · (1000 − 200) / (60 − 20) = 800 / 40 = 20 m/s

   fren: eğri yatıklaşır → durunca eğim 0

   a = dv/dt → v–t grafiğinin eğimi = ivme

   kalkış:

   $\displaystyle \frac{20 }{ 20 }= +1 m/s²$

   sabit hız: eğim 0 → a = 0

   fren:

   $\displaystyle -\frac{20 }{ 20 }= -1 m/s²$

   Sesli anlatım metni

   Önce eğim. Konumun zamana göre türevi hızdır; grafikte türev, eğrinin eğimi demektir. Yani konum zaman grafiğinin bir noktadaki eğimi, o andaki hızı verir. Metroya bakalım. Kalkışta eğri giderek dikleşiyor: hız artıyor. Örneğin onuncu saniyede teğet çizgisinin eğimi saniyede 10 metre; bu, tam o anki hız. Sabit hızda eğri düz bir çizgi: eğim sabit, 800 metre bölü 40 saniye, saniyede 20 metre. Frende eğri yatıklaşıyor ve tren durunca eğim sıfır oluyor. Aynı fikir bir basamak aşağıda da geçerli: hız zaman grafiğinin eğimi ivmedir. Kalkışta eğim 20 bölü 20, artı 1 metre bölü saniye kare; sabit hızda eğim sıfır; frende eksi 1.

4. 4. Alan: Grafikten Yol ve Hız Değişimi

   

   sabit v: yol = v · Δt = dikdörtgenin alanı

   v değişirse: ince şeritler, alanlar toplanır

   kalkış (üçgen):

   $\displaystyle ½ \cdot 20 \cdot 20 = 200 m$

   sabit hız (dikdörtgen):

   $\displaystyle 40 \cdot 20 = 800 m$

   fren (üçgen):

   $\displaystyle ½ \cdot 20 \cdot 20 = 200 m$

   toplam:

   $\displaystyle 200 + 800 + 200 = 1200 m$

   ortalama hız = 1200 / 80 = 15 m/s

   (+1) · 20 = +20 · (−1) · 20 = −20 → Δv = 0: durur

   Sesli anlatım metni

   Şimdi alan. Eğimin tersi integraldir; integral de grafiğin altındaki alandır. Hız zaman grafiğinin altındaki alan, yer değiştirmeyi verir. Neden? Sabit hızla giderken yol, hız çarpı süredir; grafikte bu, yüksekliği hız, genişliği süre olan dikdörtgenin alanıdır. Hız değişse de grafiği ince şeritlere bölüp alanları toplarız. Metroda üç parça var. Kalkış bir üçgen: yarım çarpı 20 saniye çarpı saniyede 20 metre, 200 metre. Sabit hız bir dikdörtgen: 40 çarpı 20, 800 metre. Fren yine bir üçgen: 200 metre. Toplam: 200 artı 800 artı 200, 1200 metre. İki istasyon arası 1200 metreymiş; ortalama hız da 1200 bölü 80, saniyede 15 metre. Aynı şekilde, ivme zaman grafiğinin altındaki alan hız değişimini verir: kalkışta artı 20, frende eksi 20; toplam sıfır, yani tren duruyor.

5. 5. Drone: İşaretli Alan, Yer Değiştirme ve Yol

   

   Δs = v–t alanlarının işaretli toplamı

   0–2 s:

   $\displaystyle ½ \cdot 2 \cdot 4 = +4 m$

   2–5 s:

   $\displaystyle 3 \cdot 4 = +12 m$

   5–7 s:

   $\displaystyle ½ \cdot 2 \cdot 4 = +4 m$

   en yüksek:

   $\displaystyle 4 + 12 + 4 = 20 m \left(t = 7 s, v = 0\right)$

   7–8 s:

   $\displaystyle ½ \cdot 1 \cdot \left(-2\right) = -1 m$

   8–10 s:

   $\displaystyle ½ \cdot 2 \cdot \left(-2\right) = -2 m$

   yer değiştirme = 20 − 3 = 17 m

   alınan yol = 20 + 3 = 23 m

   Sesli anlatım metni

   Hız işaret değiştirince ne olur? Bir drone ile görelim. Drone yerden kalkıyor: 2 saniye boyunca 2 metre bölü saniye kare ivmeyle hızlanıyor ve saniyede 4 metreye çıkıyor; 3 saniye bu hızla yükseliyor; sonra 3 saniye eksi 2 ivmeyle yavaşlıyor, hızı sıfırdan geçip aşağı yönde saniyede 2 metreye ulaşıyor; son 2 saniyede artı 1 ivmeyle inişi yavaşlıyor ve havada duruyor. Hız zaman grafiğinde alanları toplayalım. İlk üçgen: yarım çarpı 2 çarpı 4, 4 metre. Dikdörtgen: 3 çarpı 4, 12 metre. Hız yedinci saniyede sıfır oluyor; oraya kadarki üçgen: yarım çarpı 2 çarpı 4, yine 4 metre. Drone 4 artı 12 artı 4, 20 metre yükseldi; en yüksek nokta, hızın sıfır olduğu an. Çünkü o ana kadar hız artı, drone yükseliyor; sonra eksi, alçalıyor. Sonraki alanlar eksenin altında: yarım çarpı 1 çarpı 2, eksi 1 metre; yarım çarpı 2 çarpı 2, eksi 2 metre. Yer değiştirme 20 eksi 3, 17 metre: drone sonunda 17 metre yükseklikte. Alınan yol ise 20 artı 3, 23 metre.

6. 6. İvme–Konum Grafiği: Uçak Gemisi Mancınığı

   

   a = 30 m/s² (0–60 m) → 90 m'de 0'a iner

   zaman yok → ③ a ds = v dv

   alan:

   $\displaystyle 30 \cdot 60 = 1800$

   $\displaystyle + ½ \cdot 30 \cdot 30 = 450$

   toplam = 2250 (m²/s²) = ½ v²

   $\displaystyle v² = 2 \cdot 2250 = 4500$

   v = √4500 ≈ 67.1 m/s ≈ 241.5 km/h

   sağlama (0–60 m, a sabit):

   $\displaystyle v² = 2 a s = 2 \cdot 30 \cdot 60 = 3600 \to v =\frac{ 60 m}{s}$

   alan ile:

   $\displaystyle v² = 2 \cdot 1800 = 3600 ✓$

   alan = ½ Δ(v²), hızın kendisi değil!

   zamanı bilmeden hızı bulduk

   Sesli anlatım metni

   Son grafik türü: ivme konum grafiği. Bir uçak gemisindeki mancınık, jeti 90 metrelik pistte fırlatıyor. İvme ilk 60 metrede sabit, 30 metre bölü saniye kare; sonra düzgünce azalıp 90 metrede sıfıra iniyor. Burada zaman yok, o yüzden zamansız bağıntı: ivme çarpı yol değişimi, hız çarpı hız değişimine eşit. İntegral alınca: ivme konum grafiğinin altındaki alan, hızın karesinin yarısındaki değişime eşit. Alan: 30 çarpı 60, 1800; artı üçgen, yarım çarpı 30 çarpı 30, 450; toplam 2250. Hızın karesi bunun iki katı, 4500; hız 4500'ün karekökü, yaklaşık 67.1 metre bölü saniye, yani saatte yaklaşık 241.5 kilometre. Sağlama: ilk 60 metrede ivme sabit olduğu için geçen dersin formülü de çalışır: hızın karesi 2 çarpı 30 çarpı 60, 3600; hız saniyede 60 metre. Alan yöntemi de aynısını verir: 1800'ün iki katı 3600. Dikkat: alan hızı değil, hızın karesinin yarısını veriyor. Ve zamanı hiç bilmeden hızı bulduk.

7. 7. Üç Klasik Tuzak

   

   ① Değer ile eğimi karıştırmak → drone tepede v = 0 ama a = −2 m/s²

   ② Eksen altındaki alanı artı saymak → Δs = 17 m, yol = 23 m

   ③ a–s alanını hız sanmak → alan = ½ Δ(v²)

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: grafiğin değerini eğimiyle karıştırmak; drone tepede hızı sıfırken bile ivmesi eksi 2'ydi. İki: eksenin altındaki alanı artı saymak; yer değiştirme 17, alınan yol 23 metreydi. Üç: ivme konum grafiğinin alanını doğrudan hız sanmak; o alan, hızın karesinin yarısındaki değişimdir.

8. 8. Özet ve Sıradaki Ders

   

   Eğim = türev: s–t → v, v–t → a

   Alan = integral: v–t → Δs, a–t → Δv, a–s → ½ Δ(v²)

   Sıradaki ders: eğrisel hareket ve eğik atış

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Eğim türevdir: konum grafiğinin eğimi hızı, hız grafiğinin eğimi ivmeyi verir. Alan integraldir: hız grafiğinin altı yer değiştirmeyi, ivme grafiğinin altı hız değişimini, ivme konum grafiğinin altı hızın karesinin yarısındaki değişimi verir. Bir sonraki derste düz çizgiden çıkıyoruz: eğrisel hareket ve eğik atış. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Hareket Grafikleri: Eğim ve Alan (5:33)