#05 Normal ve Teğetsel Bileşenler

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen derste: sabit x–y eksenleri, eğik atış

   Bugün: eksenler parçacığa bağlı — teğet (t) ve normal (n)

   İvme iki parça: aₜ büyüklüğü, aₙ yönü değiştirir

   Sesli anlatım metni

   Merhaba, Dinamik dersinin beşinci videosuna hoş geldiniz. Geçen derste eğrisel hareketi sabit yatay ve düşey eksenlerle inceledik: her eksende ayrı bir doğrusal hareket, sonra eğik atış. Bugün eksenleri parçacığın kendisine bağlıyoruz: biri yola teğet, öteki eğriliğin merkezine doğru. Böylece ivmeyi iki anlamlı parçaya ayıracağız: hızın büyüklüğünü değiştiren teğetsel ivme ve hızın yönünü değiştiren normal ivme.

2. 2. Sürat Sabit: İvme Sıfır mı?

   

   İvme sıfır mı? Tahmin: “evet, sürat sabit” ✗

   Virajda yana itilme hissi: bu ivme

   Sesli anlatım metni

   Bir soruyla başlayalım. Bir araba, yarıçapı 80 metre olan bir virajı saatte 72 kilometre sabit süratle alıyor; bu, saniyede 20 metre. Hız göstergesi hiç kıpırdamıyor. Arabanın ivmesi sıfır mı? Çoğumuz evet deriz: hız değişmiyorsa ivme de yoktur. Ama cevap hayır. Hız bir vektördür; göstergedeki sayı yalnız büyüklüğünü söyler. Virajda hızın yönü sürekli döner ve yön değiştirmek için de ivme gerekir: virajın merkezine doğru, 5 metre bölü saniye kare, yerçekimi ivmesinin yaklaşık yarısı. Virajda yana doğru itildiğinizi hissetmenizin sebebi bu.

3. 3. n–t Eksenleri ve Eğrilik Yarıçapı

   

   yol belli → eksenler parçacığın üstünde

   eksenler parçacıkla birlikte hareket eder

   t: yola teğet, hareket yönünde (uₜ)

   n: t'ye dik, eğrilik merkezine (uₙ)

   n her zaman çukur (iç) tarafta

   S virajı: dönüm noktasında n taraf değiştirir

   her küçük parça ≈ bir çember yayı

   o çemberin yarıçapı: eğrilik yarıçapı ρ

   keskin viraj: küçük ρ · geniş viraj: büyük ρ

   düz yol: ρ → ∞

   hız hep t yönünde; sürat v = ds/dt

   Sesli anlatım metni

   Önce eksenler. Yol belli olduğunda eksenleri parçacığın bulunduğu noktaya koyarız ve parçacıkla birlikte taşırız. Teğet ekseni yola teğettir ve hareket yönünü gösterir. Normal ekseni ona diktir ve her zaman eğriliğin merkezine, yani eğrinin iç, çukur tarafına bakar. Bir S virajında bu yüzden normal ekseni dönüm noktasında taraf değiştirir: önce bir yana, sonra öbür yana bakar. Eğrinin her küçük parçası bir çember yayı gibidir; bu çemberin yarıçapına eğrilik yarıçapı deriz. Keskin virajda eğrilik yarıçapı küçüktür, geniş virajda büyüktür, düz yolda sonsuzdur. Hız her zaman teğet eksenindedir; büyüklüğü, yol boyunca alınan mesafenin zamana göre türevidir.

4. 4. İvmenin İki Parçası: Teğetsel ve Normal

   

   hız iki şekilde değişir: büyüklüğü ya da yönü

   teğetsel: aₜ = dv/dt → büyüklük değişir

   normal: aₙ = v²/ρ → yön değişir, merkeze

   0.1 s'de yol:

   $\displaystyle 20 \cdot 0.1 = 2 m$

   dönüş: Δθ = 2 / 80 = 0.025 rad ≈ 1.43°

   hız oku da Δθ döner; boyu aynı: 20 m/s

   $\displaystyle |\Delta v| \approx v \cdot \Delta \theta = 20 \cdot 0.025 =\frac{ 0.5 m}{s}$

   $\displaystyle aₙ \approx |\Delta v| / \Delta t =\frac{ 0.5 }{ 0.1 }= 5 m/s² = 20² / 80 ✓$

   v iki kez: dönüş hızı v/ρ × ok boyu v → v²/ρ

   $\displaystyle aₜ ⟂ aₙ \to a = \sqrt{aₜ² + aₙ²}$

   düz yol:

   $\displaystyle \rho \to \infty \to aₙ = 0, a = aₜ$

   sabit sürat:

   $\displaystyle aₜ = 0 \to a = aₙ =\frac{ v²}{\rho }$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ivme. İvme, hız vektörünün değişme hızıdır ve hız iki şekilde değişebilir: büyüklüğü ya da yönü. Büyüklüğün değişimi teğetsel ivmedir: süratin zamana göre türevi. Yönün değişimi normal ivmedir; büyüklüğü sürat karesi bölü eğrilik yarıçapıdır. Neden sürat karesi? Virajdaki arabaya dönelim. Saniyenin onda birinde araba 20 çarpı 0.1, yani 2 metre yol alır. 80 metrelik yarıçapta bu, 2 bölü 80, 0.025 radyanlık bir dönüştür, yaklaşık 1.43 derece. Hız oku da aynı açıyla döner; iki ok arasındaki fark 20 çarpı 0.025, yani saniyede 0.5 metre. Bunu 0.1 saniyeye bölersek 5 metre bölü saniye kare. Sürat iki kez girer: bir kez ne kadar hızlı döndüğümüzü, bir kez de okun uzunluğunu belirler; bu yüzden karesi. İki bileşen birbirine diktir; toplam ivme, karelerinin toplamının karekökü. İki özel durum: düz yolda eğrilik yarıçapı sonsuz, normal ivme sıfır; bu, önceki derslerin doğrusal hareketi. Sabit süratle virajda ise teğetsel ivme sıfır; ivmenin tamamı merkeze doğru.

5. 5. Virajda Fren: İki Bileşen Birlikte

   

   fren: 3 m/s² ile yavaşlıyor

   o an:

   $\displaystyle v =\frac{ 20 m}{s}, \rho = 80 m$

   aₜ = −3 m/s² (hareketin tersine)

   $\displaystyle aₙ =\frac{ 20² }{ 80 }=\frac{ 400 }{ 80 }= 5 m/s²$

   $\displaystyle a = \sqrt{aₜ² + aₙ²} = \sqrt{9 + 25} = \surd 34 \approx 5.83 m/s²$

   yön:

   $\displaystyle \tan \varphi =\frac{ 3 }{ 5 }\to \varphi \approx 31^{\circ}$

   (n'den arkaya)

   2 s sonra:

   $\displaystyle v = 20 - 3 \cdot 2 =\frac{ 14 m}{s}$

   $\displaystyle aₙ =\frac{ 14² }{ 80 }=\frac{ 196 }{ 80 }= 2.45 m/s²$

   $\displaystyle a = \sqrt{9 + 6.0025} = \surd 15.0025 \approx 3.87 m/s²$

   v azalınca aₙ, v² ile hızla düşer

   Sesli anlatım metni

   Şimdi aynı virajda sürücü frene basıyor ve 3 metre bölü saniye kare ile yavaşlıyor. Tam o anda sürat hâlâ saniyede 20 metre. Teğetsel ivme eksi 3: hareketin tersine. Normal ivme değişmedi: 400 bölü 80, yani 5. İki bileşen dik olduğu için toplam ivme, 9 artı 25, 34'ün karekökü; yaklaşık 5.83 metre bölü saniye kare. Yönü: normal eksenden arkaya doğru, 3 bölü 5'in arktanjantı, yaklaşık 31 derece. 2 saniye sonra sürat 20 eksi 3 çarpı 2, yani 14 olur. Normal ivme 196 bölü 80, 2.45'e iner; toplam ivme, 9 artı 6.0025, yani 15.0025'in karekökü, yaklaşık 3.87. Sürat azaldıkça normal ivme karesiyle, hızla düşer.

6. 6. Eğik Atışta Eğrilik Yarıçapı

   

   geçen ders:

   $\displaystyle v₀ =\frac{ 20 m}{s}, \theta = 60^{\circ}$

   her yerde a = g = 9.81 m/s² ↓

   atış anı: v = 20 m/s, 60° yukarı

   aₜ = −g sin60° ≈ −8.5 m/s² (yavaşlıyor)

   $\displaystyle aₙ = g \cos 60^{\circ} = 4.905 m/s²$

   $\displaystyle \rho = v² / aₙ =\frac{ 400 }{ 4.905 }\approx 81.5 m$

   tepe: v yatay = 20 · cos60° = 10 m/s · aₙ = g

   $\displaystyle \rho =\frac{ 10² }{ 9.81 }\approx 10.2 m$

   en keskin kıvrım tepede: 81.5 / 10.2 ≈ 8 kat

   sağlama:

   $\displaystyle y = 1.732 x - 0.04905 x²$

   $\displaystyle \rho = \left[1 + \left(y′\right)²\right]^{(}3/2) / |y″|$

   $\displaystyle y″ = -0.0981$

   atış:

   $\displaystyle y′ = \surd 3 \to \left(1 + 3\right)^{(}1.5) = 8 \to \rho =\frac{ 8 }{ 0.0981 }\approx 81.5 m ✓$

   tepe:

   $\displaystyle y′ = 0 \to \rho =\frac{ 1 }{ 0.0981 }\approx 10.2 m ✓$

   Sesli anlatım metni

   Bu araç eğik atışta da çok işe yarar. Geçen dersteki topu hatırlayın: saniyede 20 metre, 60 derece. İvme her yerde aynı: g, dik aşağı. Ama yolun hangi noktasında olduğumuza göre bu ivme farklı biçimde bölünür. Atış anında hız yukarı, 60 derece açıyla gider. g'nin teğet bileşeni 9.81 çarpı sinüs 60, yaklaşık 8.5, hızın tersine: top yavaşlıyor. Normal bileşeni 9.81 çarpı kosinüs 60, yani 4.905. Eğrilik yarıçapı, sürat karesi bölü normal ivme: 400 bölü 4.905, yaklaşık 81.5 metre. Tepede ise hız yatay: 20 çarpı kosinüs 60, saniyede 10 metre; g'nin tamamı normal. Eğrilik yarıçapı 100 bölü 9.81, yaklaşık 10.2 metre. Yol en keskin tepede kıvrılıyor, atış anından 8 kat keskin. Sağlama için yolun denklemini kullanalım: yol, x'e bağlı bir y fonksiyonu olarak verildiğinde eğrilik yarıçapı birinci ve ikinci türevlerden hesaplanır. Bu yolda ikinci türev eksi 0.0981. Atış anında eğim kök 3; 1 artı 3'ün 1.5'inci kuvveti 8, ve 8 bölü 0.0981, yine 81.5 metre. Tepede eğim sıfır: 1 bölü 0.0981, yine 10.2 metre. İki yol da aynı sonucu veriyor.

7. 7. Üç Klasik Tuzak

   

   ① “Sürat sabit → ivme sıfır” → virajda aₙ = v²/ρ var

   ② aₙ = v/ρ yazmak (kare yok) → birim:

   $\displaystyle \frac{\left(\frac{m}{s}\right)² }{ m }= m/s²$

   ③ a = aₜ + aₙ diye toplamak → dik: 5.83, 8 değil

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: sürat sabitse ivme sıfır sanmak; virajda normal ivme vardır. İki: normal ivmede sürati karesiz almak; birim kontrolü yapın: sürat karesi bölü metre, metre bölü saniye kare verir. Üç: iki bileşeni düz toplamak; 3 ile 5 dik oldukları için toplam 8 değil, 5.83.

8. 8. Özet ve Sıradaki Ders

   

   t yola teğet · n eğrilik merkezine (çukur taraf)

   aₜ = dv/dt: süratin değişimi

   aₙ = v²/ρ: yönün değişimi, hep merkeze

   Toplam:

   $\displaystyle a = \sqrt{aₜ² + aₙ²}$

   Sıradaki ders: silindirik (r–θ) bileşenler

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Teğet ve normal eksenler parçacıkla birlikte hareket eder. Teğetsel ivme süratin değişimidir; normal ivme sürat karesi bölü eğrilik yarıçapıdır ve her zaman eğriliğin merkezine bakar. Toplam ivme, bu iki dik bileşenin bileşkesidir. Bir sonraki derste dönen hareketler için başka bir eksen takımı göreceğiz: silindirik bileşenler, yani radyal ve enine doğrultular. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Normal ve Teğetsel Bileşenler (6:01)