#07 Bağımlı ve Bağıl Hareket

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen derste: sabit bir noktadan izledik — uzaklık r ve açı θ

   Bugün: iki cisim birlikte

   ① İple bağlı cisimler → biri hareket edince öteki de: bağımlı hareket

   ② Hareket eden gözlemci → bağıl hareket

   makaralı vinçler · yağmur · kavşaktaki arabalar

   Sesli anlatım metni

   Merhaba, Dinamik dersinin yedinci videosuna hoş geldiniz. Geçen derste hareketi sabit bir noktadan izledik: uzaklık ve açı. Bugün iki cismi birlikte ele alıyoruz. Önce bir iple birbirine bağlı cisimler: biri hareket edince öteki de hareket etmek zorunda; buna bağımlı hareket denir. Sonra hareketi, kendisi de hareket eden bir gözlemcinin gözünden izleyeceğiz: bağıl hareket. Örneklerimiz makaralı vinçler, yağmur ve kavşaktaki arabalar.

2. 2. Halatı 1 m/s Çekersek Yük Ne Hızla Kalkar?

   

   Uç 1 m/s ile aşağı çekiliyor → yük kaç m/s kalkar? İlk tahmin: 1 m/s ✗ · Gerçek: 0.5 m/s ✓

   İşaretler: bağlı parça duruyor; ortadaki ↑ 1 m/s, uç ↓ 1 m/s

   Makara, duran halatta yuvarlanan tekerlek: merkezi, kenarın yarı hızıyla gider

   Yükü iki parça taşır: yük 1 m kalkınca ikisi de 1 m kısalır → 2 m halat çekilir

   Karşılığı: kuvvet yarıya iner (palanga) Her düzende bu oranı nasıl buluruz?

   Sesli anlatım metni

   Bir soruyla başlayalım. Bir yük, hareketli bir makaraya asılı. Halatın bir ucu tavana bağlı; halat makaranın altından dolanıp yukarıdaki sabit makaranın üstünden geçiyor ve öteki ucu sizin elinizde. Halatı saniyede 1 metre hızla aşağı çekiyorsunuz. Yük saniyede kaç metre yükselir? İlk akla gelen cevap: 1 metre. Gerçekte yalnız 0.5 metre. Halattaki renkli işaretlere bakın. Tavana bağlı parça hiç kıpırdamıyor. Ortadaki parça yukarı, sizin çektiğiniz parça aşağı, saniyede 1 metreyle akıyor. Hareketli makara, duran halatın üstünde yuvarlanan bir tekerlek gibi: merkezi, öbür kenarının yarı hızıyla gider. Yükü iki halat parçası taşıyor; yük 1 metre kalkınca ikisi de 1'er metre kısalıyor ve o 2 metreyi siz çekiyorsunuz. Karşılığında gereken kuvvet yarıya iner; palangaların var olma sebebi budur. Peki her makara düzeninde bu oranı nasıl buluruz?

3. 3. Yöntem: Sabit Referans → Halat Boyu → Türev

   

   ① Konumları sabit referanstan ölç

   referans: sabit makaranın ekseni · aşağı +

   s_B: makaranın merkezine · s_A: halatın ucuna

   ② Halat boyunu konumlarla yaz

   makaraların üstündeki parçalar: sabit

   değişen: iki parça s_B kadar + bir parça s_A

   2 s_B + s_A = l (sabit)

   ③ Zamana göre türev al

   2 v_B + v_A = 0 (sabitin türevi 0)

   uç aşağı iniyor:

   $\displaystyle v_{A} = +\frac{1 m}{s}$

   $\displaystyle 2 v_{B} + 1 = 0 \to 2 v_{B} = -1 \to v_{B} = -\frac{0.5 m}{s}$

   eksi = yön bilgisi → yük 0.5 m/s ile yukarı ✓

   ivme:

   $\displaystyle 2 a_{B} + a_{A} = 0$

   Sesli anlatım metni

   Yöntem üç adımdan oluşur. Bir: her konumu sabit bir referans çizgisinden ölçün. Referansı sabit makaranın ekseninden geçirelim ve aşağıyı artı alalım. Yükün konumunu makaranın merkezine, ucun konumunu halatın ucuna kadar ölçeriz. İki: halatın boyunu bu konumlarla yazın. Makaraların üstünde dönen parçalar hiç değişmez; onları sabit sayarız. Değişen parçalar: hareketli makaranın iki yanındaki iki parça, her biri yükün konumu kadar; bir de ucun konumu. Yani 2 çarpı yükün konumu, artı ucun konumu, sabit bir uzunluğa eşit. Üç: zamana göre türev alın. Sabitin türevi sıfırdır: 2 çarpı yükün hızı artı ucun hızı sıfır. Uç saniyede 1 metre aşağı iniyor; aşağı artı olduğu için ucun hızı artı 1. O halde 2 çarpı yükün hızı eksi 1; yükün hızı eksi 0.5 metre bölü saniye. Eksi işaret bir hata değil, yön bilgisidir: aşağıyı artı seçtik, eksi yukarı demek. Bir kez daha türev alınca ivmeler için de aynı bağıntı çıkar: 2 çarpı yükün ivmesi artı ucun ivmesi sıfır.

4. 4. İki Halat: Art Arda İki Hareketli Makara

   

   iki hareketli makara art arda: C ve B

   halat 1: tavan → C'nin altı → sabit makara → A ucu

   halat 2: tavan → B'nin altı → C'nin kancası

   iki halat → iki denklem, arada 3. konum s_C

   halat 1:

   $\displaystyle 2 s_{C} + s_{A} = l₁$

   halat 2:

   $\displaystyle s_{B} + \left(s_{B} - s_{C}\right) = l₂$

   türev:

   $\displaystyle 2 v_{C} + v_{A} = 0$

   $\displaystyle v_{A} = 0.8 \to v_{C} = -\frac{0.8 }{ 2 }= -0.4 m/s \left(C ↑ 0.4\right)$

   türev:

   $\displaystyle 2 v_{B} - v_{C} = 0$

   $\displaystyle v_{B} =\frac{ v_{C} }{ 2 }= -\frac{0.4 }{ 2 }= -\frac{0.2 m}{s}$

   yük 0.2 m/s ile yukarı ✓

   her hareketli makara yarıya böler: 0.8 → 0.4 → 0.2

   Sesli anlatım metni

   Bazen tek halat yetmez. Bu düzende iki hareketli makara art arda bağlı. Birinci halat tavandan iner, C makarasının altından dolanır, sabit makaranın üstünden geçer ve A ucuna gelir. İkinci halat tavandan iner, yükün asılı olduğu B makarasının altından dolanır ve C makarasına bağlanır. İki halat varsa iki denklem yazarız; aradaki bağı üçüncü bir konum kurar: C makarasının konumu. Birinci halat: 2 çarpı C'nin konumu, artı A'nın konumu, sabit. İkinci halat: B'nin konumu, artı B'nin konumu eksi C'nin konumu, sabit. Türev alalım. Birinci: 2 çarpı C'nin hızı artı A'nın hızı sıfır. A ucunu saniyede 0.8 metre aşağı çekersek C'nin hızı eksi 0.4: C makarası saniyede 0.4 metreyle yükselir. İkinci: 2 çarpı B'nin hızı eksi C'nin hızı sıfır; B'nin hızı, C'ninkinin yarısı, eksi 0.2. Yük saniyede 0.2 metre yükselir. Her hareketli makara hızı yarıya böler: 0.8, 0.4, 0.2.

5. 5. Halat Yön Değiştirirse: Yürüyen İşçi

   

   makara ellerin 8 m üstünde · işçi 1 m/s sabit yürüyor

   eğik parça:

   $\displaystyle L = \sqrt{8² + x²} = \sqrt{64 + x²}$

   halat boyu sabit → L uzadıkça yük yükselir

   zincir kuralı: dL/dt = 2x·ẋ / (2√(64 + x²))

   $\displaystyle v_{yük} = \left(\frac{x }{ L}\right) \cdot v$

   x = 6 m:

   $\displaystyle L = \sqrt{64 + 36} = \surd 100 = 10 m$

   $\displaystyle v_{yük} =\frac{ 6 }{ 10 }\cdot 1 =\frac{ 0.6 m}{s}$

   = yürüme hızının halat yönündeki bileşeni

   x = 0: v_yük = 0 · x → ∞: v_yük → 1 m/s

   işçi sabit hızda, yük ivmelenir!

   $\displaystyle a_{yük} = v² \left(L² - x²\right) / L³ = v² \cdot 64 / L³$

   x = 6 m:

   $\displaystyle 1 \cdot \frac{ 64 }{ 1000 }= 0.064 m/s²$

   Sesli anlatım metni

   Halat yön değiştiriyorsa ne olur? Bir işçi, ellerinin 8 metre yukarısındaki bir makaradan geçen halatı tutuyor ve saniyede 1 metre sabit hızla uzaklaşıyor; halatın öteki ucunda bir yük asılı. Eğik halat parçasının boyu Pisagor ile bulunur: 64 artı yatay uzaklığın karesi, bunun karekökü. Halat boyu sabit olduğu için eğik parça ne kadar uzarsa düşey parça o kadar kısalır; yük de o hızla yükselir. Zincir kuralıyla türev alınca yükün hızı: yatay uzaklık bölü eğik boy, çarpı yürüme hızı. Yatay uzaklık 6 metreyken eğik boy, 64 artı 36, 100'ün karekökü, 10 metre. Yükün hızı, 6 bölü 10 çarpı 1, saniyede 0.6 metre. Bu, yürüme hızının halat doğrultusundaki bileşenidir. İşçi makaranın tam altındayken yük hiç kıpırdamaz; işçi uzaklaştıkça yükün hızı 1'e yaklaşır. Yani işçi sabit hızla yürüse de yük ivmelenir. Bir kez daha türev alıp sadeleştirince yükün ivmesi: yürüme hızının karesi çarpı 64, bölü eğik boyun küpü. 6 metrede, 64 bölü 1000, 0.064 metre bölü saniye kare.

6. 6. Bağıl Hareket: Yağmur Kime Göre Dik?

   

   Rüzgar yok · yağmur dimdik düşer: 8 m/s

   Yoldaki gözlemci: damlalar dik çizgi

   Araba 54 km/h = 15 m/s: yolcu damlaları eğik görür, sanki önden geliyor

   Hangisi doğru? İkisi de!

   Hız, kime göre ölçüldüğüne bağlıdır

   yoldaki: sabit eksenler · yolcu: arabayla ilerleyen (öteleyen) eksenler

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ikinci konu: bağıl hareket. Rüzgarsız bir günde yağmur dimdik yağıyor; damlalar saniyede 8 metreyle düşüyor. Yolun kenarında duran biri damlaları dik çizgiler olarak görür. Aynı yağmurda saatte 54, yani saniyede 15 metre giden bir arabanın yolcusu ise yan camdan bakınca damlaları eğik çizgiler olarak görür; sanki yağmur önden geliyor. Hangisi doğru? İkisi de. Hız, kime göre ölçüldüğüne bağlıdır. Yoldaki gözlemci yere sabit eksenlerle ölçer; yolcu ise arabayla birlikte ilerleyen eksenlerle.

7. 7. Öteleyen Eksenler ve Yağmurun Arabaya Göre Hızı

   

   $\displaystyle r_{B} = r_{A} + r_{B/A}$

   $\displaystyle v_{B} = v_{A} + v_{B/A}$

   $\displaystyle a_{B} = a_{A} + a_{B/A}$

   şart: A'daki eksenler öteler, dönmez (sabit eksenlere paralel)

   A = araba, B = yağmur

   $\displaystyle v_{B/A} = v_{B} - v_{A}$

   yatay:

   $\displaystyle 0 - 15 = -\frac{15 m}{s}$

   düşey:

   $\displaystyle -8 - 0 = -\frac{8 m}{s}$

   $\displaystyle |v_{B/A}| = \sqrt{225 + 64} = \surd 289 =\frac{ 17 m}{s}$

   φ = arctan(8 / 15) ≈ 28.1° (yataydan)

   damlalar önden, 17 m/s ile çarpar

   yürürken şemsiye öne eğilir ☂

   Sesli anlatım metni

   Bağıntı basit bir vektör toplamıdır. A'nın konumuna B'nin A'ya göre konumunu eklerseniz B'nin konumunu bulursunuz. Türev alınca: B'nin hızı, A'nın hızı artı B'nin A'ya göre hızı. Bir kez daha türev: ivmeler için de aynısı. Tek şart: A'ya bağlı eksenler yalnız öteler, dönmez; hep sabit eksenlere paralel kalır. Yağmura uygulayalım. Yağmurun arabaya göre hızı, yağmurun hızı eksi arabanın hızı. Yatayda: sıfır eksi 15, eksi 15. Düşeyde: eksi 8 eksi sıfır, eksi 8. Büyüklüğü, 225 artı 64, 289'un karekökü, saniyede 17 metre. Yataydan açısı, 8 bölü 15'in arktanjantı, yaklaşık 28 derece. Damlalar yolcuya önden, saniyede 17 metreyle çarpar. Yürürken şemsiyeyi biraz öne eğmemizin sebebi de bu.

8. 8. Kavşakta Bağıl Hız ve Bağıl İvme

   

   A: v_A = 20 j m/s · fren: a_A = −2 j m/s²

   B: v_B = 15 i m/s · ρ = 75 m (sola) · hızlanma 4 m/s²

   $\displaystyle v_{B/A} = ? \cdot a_{B/A} = ?$

   a_B: teğetsel 4 i · normal 15² / 75 = 225 / 75 = 3 j

   $\displaystyle v_{B/A} = v_{B} - v_{A}$

   i: 15 − 0 = 15 · j: 0 − 20 = −20

   |v_B/A| = √(225 + 400) = √625 = 25 m/s (90 km/h)

   yön:

   $\displaystyle \arctan \left(\frac{20 }{ 15}\right) \approx 53.1^{\circ}$

   (doğudan güneye)

   $\displaystyle a_{B/A} = a_{B} - a_{A}$

   i: 4 − 0 = 4 · j: 3 − (−2) = 5

   $\displaystyle |a_{B/A}| = \sqrt{16 + 25} = \surd 41 \approx 6.40 m/s²$

   A'nın freni → A'dan bakınca B daha çok ivmelenir (5 → 6.40)

   Sesli anlatım metni

   Bir kavşak örneği. A arabası kuzeye saniyede 20 metreyle gidiyor ve 2 metre bölü saniye kare ile fren yapıyor. B arabası bu anda doğuya saniyede 15 metreyle gidiyor; 75 metre yarıçaplı, sola dönen bir virajda ve 4 metre bölü saniye kare ile hızlanıyor. A'daki sürücü B'yi hangi hızla ve hangi ivmeyle görür? Önce B'nin ivmesi; iki ders önceki gibi iki bileşen: teğetsel 4, doğuya; normal, 15'in karesi bölü 75, 225 bölü 75, yani 3: virajın merkezine, kuzeye. Bağıl hız: B'nin hızı eksi A'nın hızı. Doğu yönünde 15 eksi sıfır, 15; kuzey yönünde sıfır eksi 20, eksi 20. Büyüklüğü, 225 artı 400, 625'in karekökü, 25 metre bölü saniye; saatte 90 kilometre. Doğrultusu, 20 bölü 15'in arktanjantı: doğudan güneye yaklaşık 53 derece. Bağıl ivme: B'nin ivmesi eksi A'nın ivmesi. Doğu yönünde 4 eksi sıfır, 4; kuzey yönünde 3 eksi eksi 2, yani 5. Büyüklüğü, 16 artı 25, 41'in karekökü, yaklaşık 6.40 metre bölü saniye kare. A fren yaptığı için, A'daki sürücü B'yi olduğundan daha hızlı ivmeleniyor görür.

9. 9. Üç Klasik Tuzak

   

   ① Konumu hareketli bir noktadan ölçmek → referans hep sabit; eksi hız hata değil, ters yön

   ② Sabit çekiş = sabit kalkış sanmak → halat dönerse oran değişir: 0 → 0.6 m/s

   ③ Bağıl hızda sırayı karıştırmak → v_B/A = v_B − v_A, tersi değil; eksenler dönmemeli

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: konumları hareket eden bir noktadan ölçmek. Referans hep sabit olmalı; yoksa türevler gerçek hızı vermez. Eksi çıkan bir hız da hata değildir; seçtiğiniz artı yönün tersidir. İki: halatı sabit hızla çekmenin yükü sabit hızla kaldıracağını sanmak. Halat yön değiştiriyorsa oran değişir: işçi saniyede 1 metre yürürken yükün hızı önce sıfır, 6 metrede 0.6. Üç: bağıl hızda sırayı karıştırmak. B'nin A'ya göre hızı, B'nin hızı eksi A'nın hızıdır; tersi değil. Bir de eksenler dönmemeli; dönen bir gözlemci için bu bağıntılar eksik kalır.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Bağımlı: sabit referans → halat boyu denklemi → türev (her halat bir denklem)

    Bağıl:

    $\displaystyle v_{B} = v_{A} + v_{B/A} \cdot a_{B} = a_{A} + a_{B/A}$

    (eksenler dönmez)

    Parçacık kinematiği tamam: hareketi tarif etmeyi öğrendik

    Sıradaki ders: kuvvetler ve Newton'un ikinci yasası

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Bağımlı harekette konumları sabit bir referanstan ölçer, halat boyunu bu konumlarla yazar ve türev alırız; her halat için bir denklem. Bağıl harekette B'nin hızı, A'nın hızı artı B'nin A'ya göre hızıdır; ivmeler için de aynısı, yeter ki eksenler dönmesin. Böylece parçacık kinematiğini tamamladık: hareketi tarif etmeyi öğrendik. Bir sonraki derste hareketin nedenine geçiyoruz: kuvvetler ve Newton'un ikinci yasası. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Bağımlı ve Bağıl Hareket (8:37)