#09 Eğrisel Harekette Hareket Denklemi: n–t ve r–θ

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen derste: ΣF = m a yatay ve düşeyde — asansör, sandık, römork

   Bugün: aynı yasa eğri bir yolda

   Yol eğriyse ivmenin merkeze doğru bir bileşeni var

   Onu mutlaka bir kuvvet sağlamalı

   Önce n–t, sonra r–θ bileşenleri

   Sesli anlatım metni

   Merhaba, Dinamik dersinin dokuzuncu videosuna hoş geldiniz. Geçen derste Newton'un ikinci yasasını yatay ve düşey doğrultularda kullandık: asansör, sandık ve römork. Bugün aynı yasayı eğri bir yol üzerinde kullanacağız. Yol eğriyse ivmenin merkeze doğru bir bileşeni vardır ve onu mutlaka bir kuvvet sağlamalıdır. Önce normal ve teğetsel bileşenlerde, sonra silindirik bileşenlerde çalışacağız.

2. 2. Aynı Viraj, Aynı Hız: Neden Biri Kayıyor?

   

   İvme merkeze doğru: 5 m/s²

   Aynı viraj, aynı hız: kuru ve ıslak yol

   Kuru yol: araba şeridinde döner ✓

   Islak yol: araba dışarı kayar ✗

   Arabayı döndüren kuvvet: sürtünme

   Islak yol gereken sürtünmeyi veremiyor

   Sesli anlatım metni

   Bir soruyla başlayalım. Beşinci derste 80 metre yarıçaplı bir virajı saatte 72 kilometreyle, yani saniyede 20 metreyle dönen bir araba incelemiştik; ivmesi merkeze doğru 5 metre bölü saniye kareydi. Şimdi aynı viraj, aynı hız, ama iki farklı yol: kuru ve ıslak. Kuru yoldaki araba virajı rahatça dönüyor. Islak yoldaki araba ise virajın dışına doğru kayıyor ve şeridini terk ediyor. Hız aynı, viraj aynı; fark nerede? Arabayı virajda döndüren kuvvet, lastiklerle yol arasındaki sürtünmedir. Islak yol, gereken sürtünmeyi veremiyor.

3. 3. n–t Bileşenlerinde Hareket Denklemi

   

   yol belli → teğet (t) ve normal (n) doğrultu

   $\displaystyle ΣFₜ = m aₜ$

   aₜ = dv/dt → süratı değiştirir

   $\displaystyle ΣFₙ =\frac{ m v²}{\rho }$

   yönü değiştirir; hep eğrilik merkezine doğru

   ΣF_b = 0 (yolun düzlemine dik ivme yok)

   merkezcil kuvvet = ΣFₙ

   yeni bir kuvvet değil: gerçek kuvvetlerin toplamı

   virajdaki arabada: sürtünme

   yanılgı: dışarı iten merkezkaç kuvveti ✗

   araba döner, siz düz gitmek istersiniz

   kapı sizi içeri iter ✓ · hissedilen: eylemsizlik

   Sesli anlatım metni

   Yol belli olduğunda kuvvetleri iki doğrultuda yazarız: yola teğet ve yola dik, yani eğrilik merkezine doğru. Teğet doğrultuda kuvvetlerin toplamı, kütle çarpı teğetsel ivmedir; bu kısım süratı değiştirir. Normal doğrultuda kuvvetlerin toplamı, kütle çarpı hızın karesi bölü eğrilik yarıçapıdır; bu kısım hızın yönünü değiştirir ve her zaman eğrilik merkezine doğrudur. Yolun düzlemine dik üçüncü doğrultuda ivme yoktur. Merkeze doğru olan bu toplama merkezcil kuvvet denir. Ama dikkat: bu yeni bir kuvvet değildir; gerçek kuvvetlerin merkeze doğru olan toplamıdır. Virajdaki arabada bu kuvvet sürtünmedir. Klasik bir yanılgı: virajda sizi dışarı iten bir merkezkaç kuvveti yoktur. Araba merkeze doğru döner; siz ise, geçen dersteki koltuk örneğindeki gibi, düz gitmeye devam etmek istersiniz. Kapı sizi içeri iter; dışarı atılıyormuş gibi hissetmeniz eylemsizliktir.

4. 4. Düz Virajda Sürtünme ve Sınır Hız

   

   m = 1200 kg · ρ = 80 m · v = 20 m/s

   SCD: W ↓ · N ↑ · f → merkez

   düşey:

   $\displaystyle N = W = 1200 \cdot 9.81 = 11772 N$

   normal:

   $\displaystyle f =\frac{ m v²}{\rho }= 1200 \cdot \frac{ 400 }{ 80 }= 1200 \cdot 5 = 6000 N$

   sınır:

   $\displaystyle f \le \mu ₛ N$

   kuru, μₛ = 0.8:

   $\displaystyle 0.8 \cdot 11772 = 9417.6 N \ge 6000 ✓$

   ıslak, μₛ = 0.4:

   $\displaystyle 4708.8 N < 6000 ✗$

   gereken μ = 6000 / 11772 ≈ 0.51

   sınır hız:

   $\displaystyle v = \sqrt{\mu ₛ g \rho }$

   (kütle sadeleşir)

   kuru: √(0.8 · 9.81 · 80) = 25.1 m/s = 90 km/h

   ıslak: √(0.4 · 9.81 · 80) = 17.7 m/s = 64 km/h

   Sesli anlatım metni

   Şimdi hesaplayalım. Araba 1200 kilogram, viraj 80 metre, hız saniyede 20 metre. Serbest cisim diyagramında üç kuvvet var: ağırlık aşağı, yolun tepki kuvveti yukarı, sürtünme merkeze doğru. Düşeyde ivme yok, bu yüzden tepki kuvveti ağırlığa eşit: 1200 çarpı 9.81, 11772 newton. Normal doğrultuda sürtünme, kütle çarpı hızın karesi bölü yarıçap: 1200 çarpı 400 bölü 80, yani 1200 çarpı 5, 6000 newton. Sürtünmenin bir sınırı var: statik sürtünme katsayısı çarpı tepki kuvveti. Kuru yolda katsayı 0.8: sınır 0.8 çarpı 11772, 9417.6 newton; 6000'den büyük, araba döner. Islak yolda katsayı 0.4: sınır 4708.8 newton; 6000'e yetmez, araba kayar. Gereken katsayı 6000 bölü 11772, yaklaşık 0.51. Kütle sadeleşir: sınır hız, katsayı çarpı g çarpı yarıçapın kareköküdür. Kuru yolda saniyede 25.1 metre, saatte 90 kilometre; ıslak yolda saniyede 17.7 metre, saatte yalnız 64 kilometre.

5. 5. Tümsek ve Çukur: Tepki Kuvveti Değişir

   

   tümsek: ρ = 40 m · v = 15 m/s · m = 1200 kg

   merkez aşağıda → aₙ aşağı:

   $\displaystyle \frac{225 }{ 40 }= 5.625 m/s²$

   aşağı +:

   $\displaystyle W - N = m aₙ$

   $\displaystyle N = 1200 \cdot \left(9.81 - 5.625\right) = 1200 \cdot 4.185 = 5022 N$

   ağırlığın yarısından az → araba hafifler

   $\displaystyle N = 0 \to v = \sqrt{g \rho }$

   = √(9.81 · 40) = 19.8 m/s = 71 km/h

   çukur: merkez yukarıda → N = 1200 · (9.81 + 5.625) = 18522 N

   araba ağırlaşır (geçen dersin asansörü gibi)

   Sesli anlatım metni

   Yol düşey düzlemde de eğrilebilir: bir tümsek ya da bir çukur. Aynı araba, 40 metre yarıçaplı bir tümsekten saniyede 15 metreyle geçsin. Tümsekte eğrilik merkezi aşağıdadır, normal ivme de aşağı doğrudur: 225 bölü 40, 5.625 metre bölü saniye kare. Aşağıyı artı alırsak: ağırlık eksi tepki kuvveti, kütle çarpı 5.625. Tepki kuvveti 1200 çarpı parantez içinde 9.81 eksi 5.625, yani 1200 çarpı 4.185: 5022 newton. Araba, ağırlığının yarısından bile az bir kuvvetle yola basıyor; sanki hafiflemiş. Hız arttıkça tepki kuvveti azalır ve bir noktada sıfır olur. Bu sınır hız, g çarpı yarıçapın kareköküdür: saniyede 19.8 metre, saatte 71 kilometre. Daha hızlı giden aracın lastikleri yoldan kalkar. Çukurda ise tersi olur: merkez yukarıda, tepki kuvveti 1200 çarpı parantez içinde 9.81 artı 5.625, yani 18522 newton; araba ağırlaşır, tıpkı geçen dersteki hızlanan asansör gibi.

6. 6. Silindirik Bileşenler: Kule Vincine Kuvvet

   

   $\displaystyle ΣFᵣ = m aᵣ$

   $\displaystyle ΣF_{\theta } = m a_{\theta }$

   kol 0.1 rad/s · araba 0.6 m/s dışarı (ikisi de sabit)

   r = 25 m:

   $\displaystyle aᵣ = -0.25 \cdot a_{\theta } = 0.12 m/s²$

   araba + yük: m = 2000 kg

   $\displaystyle Fᵣ = 2000 \cdot \left(-0.25\right) = -500 N$

   500 N merkeze doğru

   $\displaystyle F_{\theta } = 2000 \cdot 0.12 = 240 N$

   hepsi Coriolis terimi:

   $\displaystyle 2 \cdot 0.6 \cdot 0.1 = 0.12$

   ① büyüyen çember → daha hızlı gitmeli

   ② dışarı doğru hızın yönü kolla döner

   raylar arabayı yana iter

   Sesli anlatım metni

   Bazen hareketi dönen bir koldan izlemek daha kolaydır. O zaman kuvvetleri radyal ve enine doğrultularda yazarız: radyal kuvvetlerin toplamı, kütle çarpı radyal ivme; enine kuvvetlerin toplamı, kütle çarpı enine ivme. Altıncı dersteki kule vincine dönelim. Kol saniyede 0.1 radyanla dönüyor, araba saniyede 0.6 metreyle dışarı gidiyor. Merkezden 25 metre uzaktayken radyal ivmeyi eksi 0.25, enine ivmeyi 0.12 metre bölü saniye kare bulmuştuk. Araba ve yükü birlikte 2000 kilogram olsun. Radyal kuvvet: 2000 çarpı eksi 0.25, yani eksi 500 newton; 500 newtonluk, merkeze doğru bir kuvvet gerekir. Enine kuvvet: 2000 çarpı 0.12, 240 newton. Bu 240 newtonun tamamı Coriolis teriminden gelir. Araba dışarı gittikçe daha büyük bir çembere çıkar; aynı açısal hızla dönmek için orada daha hızlı gitmesi gerekir. Üstelik dışarı doğru hızının yönü de kolla birlikte döner. İkisini de kolun rayları sağlar: arabayı yana iterler.

7. 7. Üç Klasik Tuzak

   

   ① SCD'ye "merkezkaç" ya da "merkezcil" diye ayrı bir kuvvet eklemek → m v²/ρ kinetik diyagrama; SCD'de yalnız gerçek kuvvetler

   ② Statik sürtünmeyi hep μₛ N sanmak → o yalnızca sınır: kuru yolda 6000 N, 9417.6 değil

   ③ Normal ivmenin yönünü karıştırmak → hep eğrilik merkezine: tümsekte aşağı, çukurda yukarı

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: serbest cisim diyagramına merkezkaç ya da merkezcil diye ayrı bir kuvvet eklemek. Kütle çarpı hızın karesi bölü yarıçap kinetik diyagrama yazılır; serbest cisim diyagramında yalnız gerçek kuvvetler olur. İki: statik sürtünmeyi her zaman katsayı çarpı tepki kuvveti sanmak. O yalnızca sınırdır; sürtünme gerektiği kadar olur: kuru yolda 9417.6 değil, 6000 newton. Üç: normal ivmenin yönünü karıştırmak. Normal ivme her zaman eğrilik merkezine doğrudur: tümsekte aşağı, çukurda yukarı.

8. 8. Özet ve Sıradaki Ders

   

   n–t:

   $\displaystyle ΣFₜ = m aₜ \cdot ΣFₙ =\frac{ m v²}{\rho }$

   (hep merkeze)

   r–θ:

   $\displaystyle ΣFᵣ = m aᵣ \cdot ΣF_{\theta } = m a_{\theta }$

   (dönen koldan izlerken)

   Sıradaki ders: iş ve enerji

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Eğri bir yolda kuvvetleri teğetsel ve normal doğrultularda yazarız; normal doğrultudaki toplam kuvvet, kütle çarpı hızın karesi bölü yarıçaptır ve her zaman eğrilik merkezine doğrudur. Hareketi dönen bir koldan izliyorsak radyal ve enine doğrultuları kullanırız. Bir sonraki derste kuvvet ile hareket arasında ikinci bir yol açıyoruz: iş ve enerji. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Eğrisel Harekette Hareket Denklemi: n–t ve r–θ (6:28)