#09 Reynolds Taşınım Teoremi ve Kütlenin Korunumu

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: Lagrange ve Euler; parçacık için maddesel türev

   D/Dt: parçacığın gördüğü değişim = yerel + taşınım

   Bugün: aynı köprü sonlu hacimler için — Reynolds taşınım teoremi (RTT)

   ve ilk korunum yasası: kütlenin korunumu

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste akışı tarif etmenin iki yolunu gördük: Lagranj parçacığı takip eder, Oyler sabit noktalara bakar. Maddesel türevle, takip ettiğimiz parçacığın gördüğü değişimi alan üzerinden hesapladık. Bugün aynı köprüyü sonlu büyüklükteki hacimler için kuruyoruz: Reynolds taşınım teoremi. Sonra onunla ilk korunum yasasını, kütlenin korunumunu yazacağız.

2. 2. Dolan Tank

   

   Cam tank: musluktan 12 L/dk giriyor

   Giderden 6 L/dk çıkıyor

   Görüntü 4 kat hızlı

   Su seviyesi yükseliyor

   İçerideki su her an değişiyor

   Seviye ne hızla yükselir? Her damlayı mı izleyelim?

   Yoksa sınırdan geçeni saymak yeter mi?

   Sesli anlatım metni

   Bir cam tanka musluktan dakikada 12 litre su akıyor; alttaki giderden de dakikada 6 litre çıkıyor. Görüntü dört kat hızlandırılmış: su seviyesi yavaş yavaş yükseliyor. Tankın içindeki su her an değişiyor; yeni damlalar giriyor, eskileri çıkıyor. Seviyenin ne kadar hızlı yükseldiğini bulmak için her damlayı tek tek mi izlemeliyiz? Yoksa tankın sınırından geçeni saymak yeter mi?

3. 3. Sistem ve Kontrol Hacmi

   

   sistem: kütlesi sabit madde parçası; sınırından kütle geçmez

   kontrol hacmi (KH): uzayda seçilen bölge; kütle girip çıkabilir

   buhar kaçıran düdüklü tencere

   sistem yaklaşımı: tenceredeki bütün buharı takip et

   kaçan buhar mutfağa dağılır → izlemek çok zor

   KH yaklaşımı: tencerenin içi; içerideki kütle azalır

   yalnız supaptan çıkanı say

   Reynolds taşınım teoremi (RTT) ikisini bağlar

   Sesli anlatım metni

   Termodinamikte ve katı cisim mekaniğinde sistemle çalıştık: kütlesi sabit, belli bir madde parçası; sınırından kütle geçmez. Akışkanlar mekaniğinde çoğunlukla kontrol hacmiyle çalışırız: uzayda seçtiğimiz bir bölge; sınırından kütle girip çıkabilir. Buhar kaçıran bir düdüklü tencere düşünelim. Sistem yaklaşımında, başlangıçta tenceredeki bütün buharı takip ederiz: kaçan buhar da sistemin parçasıdır ve mutfağa dağılır; izlemek çok zor. Kontrol hacmi yaklaşımında tencerenin içini seçeriz: içerideki kütle azalır, biz yalnız supaptan çıkan buharı sayarız. İki yol aynı fiziği anlatır; Reynolds taşınım teoremi ikisini birbirine bağlar.

4. 4. Reynolds Taşınım Teoremi

   

   genişleyen kanal; üst ve alt sınır akım çizgisi

   kesit 1:

   $\displaystyle A1 = 0.01 m², V1 =\frac{ 2 m}{s}$

   kesit 2:

   $\displaystyle A2 = 0.02 m², V2 =\frac{ 1 m}{s}$

   1 ile 2 arası: kontrol hacmi (KH)

   t anında sistem = KH; t + Δt'de sağa kaymış

   I: girişte boşalan bölge · II: KH dışına taşan bölge

   B: kütle, enerji, momentum gibi toplanabilir büyüklük

   Bsys(t + Δt) = BKH(t + Δt) − BI + BII

   Δt'ye böl, Δt → 0:

   dBsys/dt = dBKH/dt − Ḃgiriş + Ḃçıkış

   kütleyle sayalım:

   $\displaystyle \Delta t = 0.1 s$

   I: A1 · V1 · Δt = 0.01 · 2 · 0.1 = 0.002 m³ → 2 kg

   II: A2 · V2 · Δt = 0.02 · 1 · 0.1 = 0.002 m³ → 2 kg

   saniyede: giriş 20 kg/s · çıkış 20 kg/s

   giren = çıkan → KH'deki kütle değişmez

   Sesli anlatım metni

   Teoremi basit bir örnekle kuralım. Genişleyen bir kanal düşünelim; üst ve alt sınırı akım çizgileri. Kesit birde alan 0.01 metrekare, hız saniyede 2 metre; kesit ikide alan 0.02 metrekare, hız saniyede 1 metre. İki kesit arasını kontrol hacmi seçelim. Başlangıç anında sistem, yani takip ettiğimiz su, kontrol hacmini tam dolduruyor. Kısa bir süre sonra sistem sağa kaymıştır. Girişte sistemin boşalttığı parçaya bölge bir, çıkışta kontrol hacminin dışına taşan parçaya bölge iki diyelim. Kütle, enerji ya da momentum gibi toplanabilir bir büyüklük düşünelim. Sistemin yeni miktarı: kontrol hacmindeki miktar, eksi bölge birdeki, artı bölge ikideki. Farkı süreye bölüp süreyi sıfıra götürürsek: sistemin değişim hızı, kontrol hacminin değişim hızı eksi girişteki akı artı çıkıştaki akı. Kütleyle sayalım; süre 0.1 saniye olsun. Bölge birin hacmi alan çarpı hız çarpı süre: 0.01 çarpı 2 çarpı 0.1, yani 0.002 metreküp; su için 2 kilogram. Bölge ikinin hacmi: 0.02 çarpı 1 çarpı 0.1, yine 0.002 metreküp, yani 2 kilogram. Saniye başına girişte 20, çıkışta 20 kilogram: giren çıkana eşit, kontrol hacmindeki kütle değişmiyor.

5. 5. Genel Hal: V·n ve Bağıl Hız

   

   genel hal: çok giriş ve çıkış, eğik gelen hız

   kontrol yüzeyinin (KY) her parçasında V·n (n: dışa doğru birim normal)

   θ < 90° → V·n > 0: kütle çıkıyor

   θ > 90° → V·n < 0: kütle giriyor

   θ = 90° → V·n = 0: yüzeye teğet, geçiş yok

   KY boyunca topla → net çıkış; girişler kendiliğinden eksi

   hareketli KH: bağıl hız Vr = V − VKY

   tekne 3 m/s, arkadan jet 12 m/s

   tekneden: Vr = 12 − 3 = 9 m/s

   Sesli anlatım metni

   Genel halde birçok giriş ve çıkış olabilir ve hız yüzeye eğik gelebilir. Kontrol yüzeyinin her küçük parçasında, hız ile dışa doğru birim normalin skaler çarpımına bakarız. Aradaki açı 90 dereceden küçükse çarpım pozitiftir: kütle dışarı çıkıyor. 90 dereceden büyükse negatiftir: kütle içeri giriyor. Tam 90 derecede sıfırdır: akış yüzeye teğet, sınırı geçmiyor. Bu çarpımı bütün yüzey boyunca toplayınca net çıkış bulunur; girişler kendiliğinden eksi sayılır. Kontrol hacmi hareket ediyorsa, akışkanın hacme göre bağıl hızını kullanırız. Saniyede 3 metreyle ilerleyen bir oyuncak tekneye arkadan saniyede 12 metrelik bir su jeti çarpıyor. Tekneden bakınca su 12 eksi 3, yani saniyede 9 metreyle geliyor.

6. 6. Kütlenin Korunumu

   

   RTT'nin iki parçası: KH içindeki değişim + KY'den taşınım

   maddesel türev gibi: yerel + taşınım (parçacık ↔ sonlu hacim)

   üç korunum yasası: kütle, momentum, enerji

   bugün ilki: kütle

   B = m seç → b = B/m = 1

   sistemin kütlesi sabit → dmsys/dt = 0

   0 = dmKH/dt + KY'den net çıkış

   ṁgiriş − ṁçıkış = dmKH/dt

   Sesli anlatım metni

   Teoremin iki parçası var: kontrol hacminin içindeki değişim ve yüzeyden taşınım. Bu, maddesel türevdeki yerel değişim ve taşınıma benziyor: maddesel türev tek bir parçacık için, Reynolds taşınım teoremi sonlu bir hacim için aynı köprüdür. Akışkanlar mekaniğinde üç temel korunum yasası kullanırız: kütle, momentum ve enerji. Bugün ilki: kütle. Büyüklük olarak kütleyi seçersek, kütle başına miktar birdir; sistemin kütlesi de değişmez, yani değişim hızı sıfır. Teorem şuna dönüşür: kontrol hacmindeki kütlenin değişim hızı artı yüzeyden net çıkış sıfırdır. Başka bir deyişle: giren eksi çıkan, içeride birikene eşittir.

7. 7. Kütle ve Hacim Debisi

   

   kütle debisi: ṁ = ρ Vort A

   Vort: kesitteki ortalama hız

   kaymama: hız duvarda 0, ortada en büyük → ortalama hız kullan

   hacim debisi: V̇ = Vort A; ṁ = ρ V̇

   musluk borusu: Ø 1.6 cm, r = 0.008 m

   $\displaystyle A = \pi \cdot 0.008 \cdot 0.008 \approx 0.000201 m²$

   V̇ = 12 L/dk = 0.2 L/s = 0.0002 m³/s

   Vort = 0.0002 / 0.000201 ≈ 1 m/s

   ṁ = 1000 · 0.0002 = 0.2 kg/s

   Sesli anlatım metni

   Bir kesitten saniyede geçen kütleye kütle debisi denir: yoğunluk çarpı ortalama hız çarpı alan. Ortalama hız diyoruz, çünkü kaymama koşulu yüzünden hız duvarda sıfır, ortada en büyüktür; debiyi, kesitin her yerinde aynı olsaydı aynı debiyi verecek ortalama hızla hesaplarız. Saniyede geçen hacme de hacim debisi denir: ortalama hız çarpı alan. Musluğun borusuna bakalım: çap 1.6 santimetre, yarıçap 0.008 metre. Alan pi çarpı 0.008 çarpı 0.008, yaklaşık 0.000201 metrekare. Debi dakikada 12 litre, yani saniyede 0.2 litre, 0.0002 metreküp. Ortalama hız 0.0002 bölü 0.000201, yaklaşık saniyede 1 metre. Kütle debisi yoğunluk çarpı hacim debisi: 1000 çarpı 0.0002, yani saniyede 0.2 kilogram.

8. 8. Tankın Kütle Dengesi

   

   KH: tankın içi

   ṁgiriş = 0.2 kg/s

   gider 6 L/dk = 0.1 L/s → ṁçıkış = 0.1 kg/s

   birikim = 0.2 − 0.1 = 0.1 kg/s

   taban 50 × 40 cm = 0.2 m²

   mKH = ρ A h → dmKH/dt = ρ A · dh/dt

   dh/dt = birikim / (ρ A) = 0.1 / (1000 · 0.2) = 0.0005 m/s

   dakikada 0.0005 · 60 = 0.03 m = 3 cm

   tank 30 cm; su 10 cm'den başladı

   kalan 20 cm: 20 / 3 ≈ 6.7 dk → taşar

   tek damla izlemedik: sınırdan geçeni saymak yetti

   Sesli anlatım metni

   Şimdi tankımıza dönelim. Kontrol hacmi tankın içi. Giren kütle debisi saniyede 0.2 kilogram. Giderden dakikada 6 litre, yani saniyede 0.1 litre çıkıyor: saniyede 0.1 kilogram. Giren eksi çıkan: 0.2 eksi 0.1, saniyede 0.1 kilogram birikiyor. Tankın tabanı 50'ye 40 santimetre, yani 0.2 metrekare. İçerideki kütle yoğunluk çarpı taban alanı çarpı su yüksekliğidir; bu yüzden yükselme hızı, birikim bölü yoğunluk çarpı alan: 0.1 bölü 1000 çarpı 0.2, yani saniyede 0.0005 metre. Bir dakikada 0.0005 çarpı 60, yani 3 santimetre. Tankın derinliği 30 santimetre; su 10 santimetreden başladı. Kalan 20 santimetre: 20 bölü 3, yaklaşık 6.7 dakikada su kenara ulaşır ve taşar. Tek bir damlayı bile takip etmedik; sınırdan geçeni saymak yetti.

9. 9. Daimi Akış ve Süreklilik

   

   daimi akış: KH'deki kütle sabit → Σṁgiriş = Σṁçıkış

   batarya: sıcak 4 L/dk + soğuk 8 L/dk → musluk 12 L/dk

   sıvı sıkıştırılamaz → hacim debisi de korunur

   tek giriş, tek çıkış:

   $\displaystyle V1 A1 = V2 A2$

   musluk suyu düştükçe incelir

   çıkışta V0 ≈ 1 m/s

   serbest düşme:

   $\displaystyle V² = V0² + 2 \cdot 9.81 \cdot h$

   h = 0.2 m:

   $\displaystyle V² = 1 + 3.92 = 4.92$

   $\displaystyle V = \surd 4.92 \approx \frac{ 2.22 m}{s}$

   hız × 2.22 → alan ÷ 2.22

   çap ∝ √alan: 1.6 / √2.22 = 1.6 / 1.49 ≈ 1.07 cm

   Sesli anlatım metni

   Akış daimiyse kontrol hacmindeki kütle değişmez: girenlerin toplamı çıkanların toplamına eşittir. Banyodaki bataryaya sıcak sudan dakikada 4 litre, soğuk sudan 8 litre giriyorsa, musluktan 12 litre çıkar. Sıvılar sıkıştırılamaz olduğundan hacim debisi de korunur; tek girişli, tek çıkışlı bir akışta hız çarpı alan sabittir. Musluktan akan suya dikkat edin: aşağı düştükçe incelir. Çıkışta hız saniyede yaklaşık 1 metre. Serbest düşmede hızın karesi 2 çarpı 9.81 çarpı düşme yüksekliği kadar artar; 20 santimetre düşünce 1 artı 3.92, yani 4.92 olur. Karekökü alınca hız saniyede yaklaşık 2.22 metre. Hız 2.22 katına çıktığı için alan 2.22'de bire iner. Çap alanın kareköküyle değişir: 1.6 bölü karekök 2.22, yani 1.6 bölü 1.49, yaklaşık 1.07 santimetre.

10. 10. Üç Tuzak

    

    ① Kontrol hacmini sistem sanmak → sistemin kütlesi sabit; kontrol hacminin kütlesi değişebilir (tank)

    ② Hacim debisi hep korunur sanmak → korunan kütledir: kompresöre 10 L/s girer, ≈ 1.7 L/s çıkar

    ③ Girişlerin işaretini unutmak → girişte V·n negatif; akı toplamında eksi

    Sesli anlatım metni

    Üç tuzak. Bir: kontrol hacmini sistem sanmak. Sistemin kütlesi sabittir; kontrol hacminin kütlesi değişebilir, tankta olduğu gibi. İki: hacim debisi hep korunur sanmak. Korunan kütledir, hacim değil: bir kompresöre saniyede 10 litre hava girer, hava 6 kat yoğunlaşınca yaklaşık 1.7 litre çıkar. Üç: girişlerin işaretini unutmak; hız ile dışa doğru normalin çarpımı girişte negatiftir, girişler akı toplamında eksi sayılır.

11. 11. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Sistem: kütlesi sabit madde parçası; kontrol hacmi: uzayda seçilen bölge

    RTT: sistemin değişimi = KH'deki değişim + KY'den net çıkış

    Kütle: ṁgiriş − ṁçıkış = dmKH/dt

    Daimi akış: giren = çıkan; sıvıda V1A1 = V2A2

    Sıradaki ders: mekanik enerji, verim ve Bernoulli denklemi

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Sistem, kütlesi sabit bir madde parçasıdır; kontrol hacmi, uzayda seçtiğimiz bir bölgedir. Reynolds taşınım teoremi ikisini bağlar: sistemin değişimi, kontrol hacmindeki değişim artı yüzeyden net çıkıştır. Kütle için: giren eksi çıkan, içeride birikene eşittir. Daimi akışta giren çıkana eşittir; sıvılarda hız çarpı alan korunur. Sıradaki derste mekanik enerjiye, verime ve Bernoulli denklemine geçeceğiz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Reynolds Taşınım Teoremi ve Kütlenin Korunumu (8:28)