#09 Borular ve Küreler: Silindirik Isıl Direnç ve Kritik Yalıtım Yarıçapı

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Derste ve Bugün

   

   Geçen ders: temas direnci ve yan yana yolların paralel dirençleri — hep düz duvarlar

   Bugün: ısı borularda ve kürelerde, yarıçap boyunca

   Isının geçtiği alan, merkezden uzaklaştıkça büyür

   Sürpriz: bazen yalıtım eklemek ısı kaybını artırır

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste iki yüzeyin değdiği yerdeki temas direncini ve yan yana yolların paralel dirençlerini gördük; duvarlarımız hep düzdü. Bugün ısının borulardan ve kürelerden, yani yarıçap boyunca aktığı durumlara geçiyoruz. Burada ısıl direnç biraz farklı: ısının geçtiği alan, merkezden uzaklaştıkça büyüyor. Bu küçük fark bizi şaşırtıcı bir sonuca götürecek: bazen yalıtım eklemek, ısı kaybını artırır.

2. 2. Kılıf Teli Isıtır mı, Serinletir mi?

   

   Sıcak su boruları: yalıtım ısı kaybını azaltır

   Akım taşıyan ince bakır tel: her metrede 3 W ısı

   Çıplak tel:

   $\displaystyle \approx 73 ^{\circ}C$

   Plastik kılıfla saralım — daha mı ısınır?

   Tam tersi: tel soğuyor; 1 mm kılıf → 51 °C

   Dış yarıçap 1.5 cm'ye kadar → ≈ 37 °C; sonra neredeyse sabit

   Yalıtım bir teli nasıl soğutur? → bugün

   Sesli anlatım metni

   Kışın sıcak su borularını yalıtırız ki ısı kaybetmesinler. Peki içinden akım geçen ince bir bakır tel? Tel, akım yüzünden her metrede 3 vat ısı üretiyor. Çıplakken yaklaşık 73 derece. Şimdi etrafını plastik bir kılıfla saralım. Yalıtım teli daha sıcak yapmalı, değil mi? Tam tersi oluyor: kılıf kalınlaştıkça tel soğuyor. 1 milimetrelik kılıfla 51 dereceye iniyor. Kılıfı kalınlaştırmaya devam edelim: dış yarıçap 1.5 santimetreye çıkana kadar tel soğumayı sürdürüyor, yaklaşık 37 dereceye iniyor; ondan sonra neredeyse değişmiyor. Yalıtım bir teli nasıl soğutur? Bugün bunun cevabını bulacağız.

3. 3. Silindirik Katman: Alan Büyüyor

   

   Silindirik katman: borunun duvarı ya da yalıtımı

   Isı içeriden dışarıya, yarıçap boyunca akar

   Düz duvardan fark: alan sabit değil

   Alan = 2π · yarıçap · boy: dışarı doğru büyür

   Aynı ısı içeride dar, dışarıda geniş bir alandan geçer

   İçeride sıcaklık daha dik düşer — 6. dersteki ln eğrisi

   Direnç: ln(r2 / r1) / (2π L k)

   Sesli anlatım metni

   Önce silindirik bir katman: bir borunun duvarı ya da yalıtımı. Isı içeriden dışarıya, yarıçap boyunca akar. Burada düz duvardan farklı bir şey var: ısının geçtiği alan sabit değil. Bir silindir yüzeyinin alanı, 2 pi çarpı yarıçap çarpı boy; dışarı çıktıkça büyüyor. Aynı ısı içeride dar bir alandan, dışarıda geniş bir alandan geçer. Bu yüzden sıcaklık iç kısımda daha dik düşer; altıncı dersteki logaritmik eğri buydu. Furye yasasını yarıçap boyunca toplayınca direnç şöyle çıkar: dış yarıçapın iç yarıçapa oranının doğal logaritması, bölü, 2 pi çarpı boy çarpı ısıl iletkenlik.

4. 4. Küresel Katman

   

   küre: alan 4π · yarıçap² — dışa doğru daha hızlı büyür

   Rküre = (r2 − r1) / (4π r1 r2 k)

   örnek: r1 = 10 cm, 2 cm yalıtım → r2 = 12 cm · k = 0.03

   pay:

   $\displaystyle 0.12 - 0.10 = 0.02$

   payda:

   $\displaystyle 4\pi \cdot 0.10 \cdot 0.12 \cdot 0.03 \approx 0.004524$

   $\displaystyle R =\frac{ 0.02 }{ 0.004524 }\approx \frac{ 4.42 ^{\circ}C}{W}$

   yüzey: Rtaş = 1 / (h Adış) — alan yarıçapa bağlı

   Sesli anlatım metni

   Küre için de aynı fikir geçerli: alan 4 pi çarpı yarıçapın karesi; dışarı doğru daha da hızlı büyür. Küresel bir katmanın direnci: dış yarıçap eksi iç yarıçap, bölü, 4 pi çarpı iç yarıçap çarpı dış yarıçap çarpı ısıl iletkenlik. Örnek: iç yarıçapı 10 santimetre olan küresel bir kap, 2 santimetre yalıtımla; ısıl iletkenlik 0.03. Pay: 0.12 eksi 0.10, 0.02. Payda: 4 pi çarpı 0.10 çarpı 0.12 çarpı 0.03, yaklaşık 0.004524. Direnç: 0.02 bölü 0.004524, yaklaşık 4.42 derece bölü vat. Yüzeydeki taşınım direnci her zamanki gibi: bir bölü, ısı taşınım katsayısı çarpı dış yüzey alanı; yalnız bu alan artık yarıçapa bağlı.

5. 5. Bodrumdaki Sıcak Su Borusu

   

   çelik boru: r1 = 2 cm, r2 = 2.2 cm · k = 50

   3 cm köpük: k = 0.035 → dış yarıçap 5.2 cm

   borunun 1 metresi için (L = 1 m)

   çelik:

   $\displaystyle \frac{2.2 }{ 2 }= 1.1; \ln 1.1 \approx 0.0953$

   $\displaystyle 2\pi \cdot 50 \approx 314.2;\frac{ 0.0953 }{ 314.2 }\approx \frac{ 0.0003 ^{\circ}C}{W}$

   çok küçük: metal duvarın direnci ihmal edilir

   köpük:

   $\displaystyle \frac{5.2 }{ 2.2 }\approx 2.364; \ln 2.364 \approx 0.86$

   $\displaystyle 2\pi \cdot 0.035 \approx 0.2199;\frac{ 0.86 }{ 0.2199 }\approx \frac{ 3.911 ^{\circ}C}{W}$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi gerçek bir boru: bodrumdan geçen bir sıcak su borusu. Çelik boru; iç yarıçap 2 santimetre, dış yarıçap 2.2; ısıl iletkenlik 50. Üstünde 3 santimetre köpük yalıtım, ısıl iletkenlik 0.035; dış yarıçap 5.2 santimetre. Borunun 1 metresi için hesaplayalım. Çelik: 2.2 bölü 2, 1.1; doğal logaritması yaklaşık 0.0953. 2 pi çarpı 50, yaklaşık 314.2. 0.0953 bölü 314.2, yaklaşık 0.0003. Çok küçük: metal duvar neredeyse hiç direnç göstermiyor. Köpük: 5.2 bölü 2.2, yaklaşık 2.364; doğal logaritması yaklaşık 0.86. 2 pi çarpı 0.035, yaklaşık 0.2199. 0.86 bölü 0.2199, yaklaşık 3.911 derece bölü vat.

6. 6. Borunun Isı Kaybı

   

   dış yüzey: durgun hava + ışınım → h = 10

   $\displaystyle A = 2\pi \cdot 0.052 \cdot 1 \approx 0.3267 m²$

   $\displaystyle 10 \cdot 0.3267 = 3.267;\frac{ 1 }{ 3.267 }\approx \frac{ 0.3061 ^{\circ}C}{W}$

   Rtop = 0.0003 + 3.911 + 0.3061 ≈ 4.217 °C/W

   su 80 °C, bodrum 10 °C:

   $\displaystyle \Delta T = 70 ^{\circ}C$

   Q̇ = 70 / 4.217 ≈ 16.6 W (her metre)

   yalıtımsız:

   $\displaystyle 2\pi \cdot 0.022 \approx 0.1382;\frac{ 1 }{10 \cdot 0.1382}\approx 0.7236$

   $\displaystyle 0.0003 + 0.7236 \approx 0.7239;\frac{ 70 }{ 0.7239 }\approx 96.7 W$

   96.7 / 16.6 ≈ 5.8: kayıp ≈ 5.8 kat azalır

   20 m hat:

   $\displaystyle 20 \cdot 96.7 \approx 1934 W; 20 \cdot 16.6 \approx 332 W$

   Sesli anlatım metni

   Dış yüzeyde durgun hava ve ışınım birlikte çalışıyor; birleşik ısı taşınım katsayısını 10 alalım. Dış yüzey alanı: 2 pi çarpı 0.052 çarpı 1, yaklaşık 0.3267 metrekare. Taşınım direnci: 10 çarpı 0.3267, 3.267; bir bölü 3.267, yaklaşık 0.3061. Toplam: 0.0003 artı 3.911 artı 0.3061, yaklaşık 4.217 derece bölü vat. Su 80, bodrum 10 derece; fark 70. Isı kaybı: 70 bölü 4.217, yaklaşık 16.6 vat, her metre için. Yalıtım olmasaydı: dış alan 2 pi çarpı 0.022, yaklaşık 0.1382; direnç bir bölü, 10 çarpı 0.1382, yaklaşık 0.7236. Toplam 0.0003 artı 0.7236, yaklaşık 0.7239; ısı 70 bölü 0.7239, yaklaşık 96.7 vat. 96.7 bölü 16.6, yaklaşık 5.8: yalıtım kaybı yaklaşık 5.8 kat azaltıyor. 20 metrelik bir hatta: 20 çarpı 96.7, yaklaşık 1934 vat; 20 çarpı 16.6, yaklaşık 332 vat.

7. 7. Kritik Yalıtım Yarıçapı

   

   Teldeki sürprize dönelim

   Yalıtım eklemek iki şeyi değiştirir:

   ① iletim direnci artar → kayıp azalır

   ② dış yüzey büyür → taşınım direnci küçülür → kayıp artar

   İnce telde ② baskın: kılıf teli geniş bir yüzeyle havaya açar

   Toplam direncin en küçük olduğu dış yarıçap: kritik yalıtım yarıçapı

   Silindir: rkr = k / h; küre: rkr = 2k / h

   Dış yarıçap rkr'den küçükse yalıtım kaybı artırır; büyükse azaltır

   Sesli anlatım metni

   Şimdi teldeki sürprize dönelim. Yalıtım eklemek iki şeyi birden değiştirir. Birincisi: yalıtımın iletim direnci artar; bu, kaybı azaltır. İkincisi: dış yüzey büyür; taşınım direnci bir bölü, ısı taşınım katsayısı çarpı alan olduğu için küçülür; bu, kaybı artırır. İnce bir telde ikinci etki baskın çıkar: kılıf, teli daha geniş bir yüzeyle havaya açar. Toplam direncin en küçük olduğu dış yarıçapa kritik yalıtım yarıçapı denir. Silindir için: ısıl iletkenlik bölü ısı taşınım katsayısı. Küre için bunun iki katı. Dış yarıçap bundan küçükse yalıtım eklemek ısı kaybını artırır; büyükse azaltır.

8. 8. Tel ve Kılıfı: Sayılarla

   

   bakır tel: r1 = 1 mm · 3 W/m · hava 25 °C · h = 10

   çıplak:

   $\displaystyle 2\pi \cdot 0.001 \approx 0.006283 m²; 10 \cdot 0.006283 = 0.06283$

   $\displaystyle R =\frac{ 1 }{ 0.06283 }\approx \frac{ 15.92 ^{\circ}C}{W}$

   $\displaystyle \Delta T = 3 \cdot 15.92 \approx 47.8; 25 + 47.8 \approx 72.8 ^{\circ}C$

   1 mm PVC kılıf:

   $\displaystyle k = 0.15$

   kılıf:

   $\displaystyle \ln \left(\frac{2 }{ 1}\right) = 0.6931; 2\pi \cdot 0.15 \approx 0.9425;\frac{ 0.6931 }{ 0.9425 }\approx 0.7354$

   dış yüzey 2 mm'de:

   $\displaystyle 2\pi \cdot 0.002 \approx 0.01257;\frac{ 1 }{10 \cdot 0.01257}\approx 7.955$

   toplam:

   $\displaystyle 0.7354 + 7.955 \approx \frac{ 8.69 ^{\circ}C}{W}$

   $\displaystyle 3 \cdot 8.69 \approx 26.1; 25 + 26.1 \approx 51.1 ^{\circ}C$

   72.8 − 51.1 = 21.7: kılıf teli ≈ 22 °C serinletti

   Sesli anlatım metni

   Tele sayılarla bakalım. Bakır tel, yarıçap 1 milimetre; her metrede 3 vat ısı; oda havası 25 derece, ısı taşınım katsayısı 10. Çıplak tel: yüzey alanı 2 pi çarpı 0.001, yaklaşık 0.006283 metrekare; 10 çarpı 0.006283, 0.06283; direnç bir bölü 0.06283, yaklaşık 15.92. Sıcaklık farkı: 3 çarpı 15.92, yaklaşık 47.8; 25 artı 47.8, tel yaklaşık 72.8 derece. Şimdi 1 milimetre plastik kılıf, ısıl iletkenlik 0.15. Kılıfın direnci: 2 bölü 1, 2; doğal logaritması 0.6931. 2 pi çarpı 0.15, yaklaşık 0.9425. 0.6931 bölü 0.9425, yaklaşık 0.7354. Dış yüzey artık 2 milimetrede: 2 pi çarpı 0.002, yaklaşık 0.01257; direnç bir bölü, 10 çarpı 0.01257, yaklaşık 7.955. Toplam: 0.7354 artı 7.955, yaklaşık 8.69. 3 çarpı 8.69, yaklaşık 26.1; 25 artı 26.1, tel yaklaşık 51.1 derece. 72.8 eksi 51.1, 21.7: ince bir plastik kılıf, teli yaklaşık 22 derece serinletti.

9. 9. Kritik Yarıçapta ve Boruda

   

   rkr = 0.15 / 10 = 0.015 m = 1.5 cm

   kılıf buraya kadar büyüdükçe tel soğumayı sürdürür

   kılıf:

   $\displaystyle \ln 15 \approx 2.708; / 0.9425 \approx 2.873$

   dış:

   $\displaystyle 2\pi \cdot 0.015 \approx 0.09425;\frac{ 1 }{10 \cdot 0.09425}\approx 1.061$

   toplam ≈ 3.934; 3 · 3.934 ≈ 11.8; tel ≈ 36.8 °C (en serin)

   sonrasında çok yavaş ısınır

   boru köpüğü: 0.035 / 10 = 0.0035 m = 3.5 mm

   boru dış yarıçapı 22 mm ≫ 3.5 mm → her yalıtım kaybı azaltır

   rüzgar: h büyür, rkr küçülür; h = 25: 0.15 / 25 = 6 mm

   Sesli anlatım metni

   Kritik yarıçap: 0.15 bölü 10, 0.015 metre; yani 1.5 santimetre. Kılıfın dış yarıçapı buraya kadar büyüdükçe tel soğumayı sürdürür. O noktada kılıfın direnci: 15'in doğal logaritması yaklaşık 2.708; bölü 0.9425, yaklaşık 2.873. Dış yüzey: 2 pi çarpı 0.015, yaklaşık 0.09425; direnç bir bölü, 10 çarpı 0.09425, yaklaşık 1.061. Toplam yaklaşık 3.934; 3 çarpı 3.934, yaklaşık 11.8; tel yaklaşık 36.8 dereceyle en serin hâlinde. Sonrasında çok yavaş ısınmaya başlar. Borumuzda ise durum farklı: köpük için kritik yarıçap 0.035 bölü 10, 0.0035 metre, yani 3.5 milimetre. Borunun dış yarıçapı 22 milimetre, kritik yarıçapın çok üstünde; bu yüzden boruya eklenen her yalıtım kaybı azaltır. Rüzgarlı bir günde ısı taşınım katsayısı büyür ve kritik yarıçap küçülür: katsayı 25 olursa 0.15 bölü 25, 6 milimetre.

10. 10. Üç Tuzak

    

    ① Kalın silindirde düz duvar formülü → L / (kA)'da hangi alan? Doğrusu ln'li formül

    ② Dış yüzeyin büyüdüğünü unutmak → taşınım direnci dış yarıçapla küçülür

    ③ Her yalıtım kaybı azaltır sanmak → ince tellerde kritik yarıçaptan küçük kılıf kaybı artırır

    Sesli anlatım metni

    Üç tuzak. Bir: kalın bir silindirde düz duvar formülünü kullanmak. Kalınlık bölü ısıl iletkenlik çarpı alan; ama hangi alan, iç mi dış mı? Doğrusu logaritmalı formül. İki: yalıtım eklenince dış yüzeyin büyüdüğünü unutmak. Taşınım direnci, dış yarıçap büyüdükçe küçülür. Üç: her yalıtımın ısı kaybını azalttığını sanmak. İnce tellerde kritik yarıçaptan küçük kılıflar ısı kaybını artırır; kablo yalıtımı teli serin de tutar.

11. 11. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Silindir:

    $\displaystyle R =\frac{ \ln \left(r2 / r1\right) }{2\pi L k}$

    Küre:

    $\displaystyle R =\frac{r2 - r1}{4\pi r1 r2 k}$

    Yalıtım iletim direncini artırır, dış yüzeyi büyütür → kritik yarıçap: k/h (silindir), 2k/h (küre)

    Sıradaki ders: kanatçıklar — yüzeyi bilerek büyütüp ısı atmak

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Silindirik bir katmanın direnci: dış yarıçapın iç yarıçapa oranının doğal logaritması, bölü, 2 pi çarpı boy çarpı ısıl iletkenlik. Küresel bir katmanınki: yarıçaplar farkı, bölü, 4 pi çarpı iki yarıçap çarpı ısıl iletkenlik. Yalıtım eklemek iletim direncini artırır ama dış yüzeyi büyütür; toplam direncin en küçük olduğu yarıçap kritik yarıçaptır: silindirde ısıl iletkenlik bölü ısı taşınım katsayısı, kürede bunun iki katı. Bir sonraki Isı Transferi dersinde ters yöne gidiyoruz: yüzeyi bilerek büyütüp ısı atmayı kolaylaştıran kanatçıkları göreceğiz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Borular ve Küreler: Silindirik Isıl Direnç ve Kritik Yalıtım Yarıçapı (10:23)