#03 Gerilme Analizi: Gerilme Bileşenleri, Mohr Çemberi, Asal Gerilmeler

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: çekme deneyinde tek yönlü gerilme → Sy = 250 MPa ile kıyas

   Gerçek parçada: bir noktada birden çok gerilme

   Bugün: bir noktadaki gerilme, bütün yönleriyle

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste çekme deneyini gördük: orada gerilme tek yönlüydü ve onu doğrudan akma dayanımıyla, 250 megapaskalla karşılaştırdık. Gerçek bir makine parçasında ise bir noktada aynı anda birden fazla gerilme bulunur. Bugün bir noktadaki gerilmeyi bütün yönleriyle inceleyeceğiz.

2. 2. Tebeşir ve Çelik: Burulma

   

   ① Tebeşiri ters yönlerde bur → 45° eğik sarmal yüzeyden kırılır

   ② Çelik çubuk defalarca burulur, çizgi sarmala döner → eksene dik, düz kopar

   Aynı yükleme, iki farklı kırılma

   Neden 45°? → gerilme, baktığımız yöne bağlı

   Sesli anlatım metni

   Bir tebeşiri iki ucundan tutup ters yönlerde burun. Tebeşir düz değil, eksene yaklaşık 45 derece eğik, sarmal bir yüzey boyunca kırılır. Aynı deneyi sünek bir çelik çubukla yapınca çubuk önce defalarca burulur; üzerindeki düz çizgi sarmala döner ve sonunda eksene dik, düz bir yüzeyden kopar. Aynı yükleme, iki farklı kırılma. Tebeşir neden 45 dereceyi seçiyor? Cevap, gerilmenin baktığımız yöne bağlı olmasında.

3. 3. Bir Noktadaki Gerilme

   

   bir noktada küçük bir küp

   her yüzde: normal σ ve kayma τ

   σ dışarı: çekme (+) · içeri: basma (−)

   τxy: yüz normali x, yönü y

   3 yüz × 3 bileşen = 9

   τxy = τyx, … → 6 bileşen

   düzlem gerilme: serbest yüzey gerilmesiz

   kalan: σx, σy, τxy

   Sesli anlatım metni

   Bir noktadaki gerilmeyi anlatmak için o noktanın etrafında küçük bir küp düşünürüz. Her yüzde iki tür gerilme vardır: yüzeye dik normal gerilme ve yüzey boyunca kayma gerilmesi. Normal gerilme yüzeyden dışarı doğruysa çekmedir ve pozitif alınır; içeri doğruysa basmadır, negatiftir. Kayma gerilmesinin iki indisi vardır: ilki yüzün normalini, ikincisi gerilmenin yönünü söyler. Küpün üç yüzünde toplam dokuz bileşen olur, ama denge gereği karşılıklı kaymalar eşittir; geriye altı bileşen kalır. Makine parçalarında en sık görülen durum düzlem gerilmedir: bir yüz, çoğunlukla parçanın serbest yüzeyi, gerilmesizdir. O zaman yalnız üç bileşen kalır: iki normal gerilme ve bir kayma gerilmesi.

4. 4. Gerilme Dönüşümü

   

   σx = 90, σy = −30, τxy = 45 MPa

   eleman φ kadar döner (saat yönünün tersi)

   σ = (σx+σy)/2 + (σx−σy)/2 · cos 2φ + τxy sin 2φ

   $\displaystyle \varphi = 30^{\circ} \to 2\varphi = 60^{\circ}$

   $\displaystyle \frac{90 + \left(-30\right)}{ 2 }= 30$

   $\displaystyle \frac{90 - \left(-30\right)}{ 2 }=\frac{ 120 }{ 2 }= 60$

   $\displaystyle 60 \cdot \cos 60^{\circ} = 30$

   $\displaystyle 45 \cdot \sin 60^{\circ} \approx 38.97$

   σ = 30 + 30 + 38.97 ≈ 99 MPa

   τ = −(σx−σy)/2 · sin 2φ + τxy cos 2φ

   $\displaystyle = -60 \cdot 0.866 = -51.96 \cdot 45 \cdot 0.5 = 22.5$

   τ = −51.96 + 22.5 = −29.46 MPa

   aynı nokta, farklı yön → farklı gerilme

   Sesli anlatım metni

   Bir örnek eleman alalım: x yönünde 90 megapaskal çekme, y yönünde 30 megapaskal basma ve 45 megapaskal kayma. Elemanı saat yönünün tersine döndürürsek yüzlerdeki gerilmeler değişir; bunu dönüşüm denklemleri verir. Normal gerilme, ortalama gerilme artı yarı fark çarpı iki açının kosinüsü, artı kayma çarpı iki açının sinüsüdür. 30 derece için hesaplayalım. Ortalama gerilme, 90 ile eksi 30'un toplamının yarısı, yani 30. Yarı fark, 90 eksi eksi 30, yani 120'nin yarısı: 60. 60 çarpı kosinüs 60 derece, 30. Kayma terimi 45 çarpı sinüs 60 derece, yaklaşık 38.97. Toplam, 30 artı 30 artı 38.97, yaklaşık 99 megapaskal. Kayma gerilmesi ise eksi 60 çarpı 0.866, yani eksi 51.96, artı 45 çarpı 0.5, yani 22.5; toplam eksi 29.46 megapaskal. Aynı nokta, farklı yön, farklı gerilme.

5. 5. Mohr Çemberi

   

   Mohr çemberi: bütün yönler tek resimde

   yatay: σ · düşey: τ

   kural: saat yönü (cw) ↑ · tersi (ccw) ↓

   x yüzü → A (90, 45 aşağı)

   y yüzü → B (−30, 45 yukarı)

   AB çap → merkez C = 30

   $\displaystyle R = \sqrt{60² + 45²}$

   $\displaystyle 60² = 3600 \cdot 45² = 2025$

   R = √5625 = 75 MPa

   çemberin her noktası = bir yön

   elemanda 90° ↔ çemberde 180°

   Sesli anlatım metni

   Bu denklemleri her açı için tek tek çözmek yerine Otto Mor'un çemberini kullanırız. Yatay eksen normal gerilme, düşey eksen kayma gerilmesi. Kitabın kuralı şöyle: elemanı saat yönünde döndürmeye çalışan kayma yukarı, saat yönünün tersine döndürmeye çalışan aşağı işaretlenir. x yüzü bize A noktasını verir: 90'da, 45 aşağıda. y yüzü B noktasını verir: eksi 30'da, 45 yukarıda. AB doğrusu çemberin çapıdır ve yatay ekseni merkezde keser: merkez 30'da. Yarıçap, kenarları 60 ve 45 olan dik üçgenin hipotenüsü: 60'ın karesi 3600, 45'in karesi 2025; toplam 5625, karekökü 75 megapaskal. Çemberin her noktası, elemanın bir yönündeki gerilmedir; elemanda 90 derece dönmek, çemberde 180 derece dönmek demektir.

6. 6. Asal Gerilmeler ve En Büyük Kayma

   

   yatay ekseni kestiği noktalar: asal gerilmeler

   σ1 = 30 + 75 = 105 MPa

   σ2 = 30 − 75 = −45 MPa

   sağlama:

   $\displaystyle 105 + \left(-45\right) = 60 = \sigma x + \sigma y ✓$

   asal düzlemlerde τ = 0

   $\displaystyle \tan 2\varphi p =\frac{ 45 }{ 60 }= 0.75$

   $\displaystyle 2\varphi p = 36.87^{\circ}$

   φp = 18.43° (saat yönünün tersine)

   τmaks = R = 75 MPa

   asal düzlemlerle 45°, üzerlerinde σ = 30 MPa

   Sesli anlatım metni

   Çemberin yatay ekseni kestiği iki nokta en önemli sonuçlardır: asal gerilmeler. En büyüğü 30 artı 75, yani 105 megapaskal; en küçüğü 30 eksi 75, yani eksi 45 megapaskal. Sağlama: 105 ile eksi 45'in toplamı 60; bu da iki normal gerilmenin toplamına eşit. Asal düzlemlerde kayma gerilmesi sıfırdır. Yön: çemberde A'dan en büyük asal gerilmeye olan açının tanjantı 45 bölü 60, yani 0.75; açı 36.87 derece. Elemanda bunun yarısı, 18.43 derece, aynı yönde: saat yönünün tersine. En büyük kayma gerilmesi çemberin yarıçapına eşittir, 75 megapaskal. Bu düzlemler asal düzlemlerle 45 derece açı yapar ve üzerlerinde 30 megapaskallık normal gerilme de vardır.

7. 7. Üçüncü Asal Gerilme

   

   tuzak: üçüncü asal gerilme

   düzlem gerilmede σ3 = 0

   sırala:

   $\displaystyle 105 \ge 0 \ge -45$

   τmaks = (σ1 − σ3) / 2 = 150 / 2 = 75

   burada düzlem içiyle aynı (işaretler zıt)

   basınçlı kap: 80 ve 40 MPa, τ = 0

   düzlem içi: (80 − 40) / 2 = 20 MPa

   gerçek: (80 − 0) / 2 = 40 MPa (2 kat!)

   üç çemberin en büyüğü karar verir

   Sesli anlatım metni

   Bir tuzak var. Düzlem gerilmede üçüncü asal gerilme sıfırdır ve o da hesaba katılmalıdır. Asal gerilmeleri büyükten küçüğe sıralarız: 105, 0 ve eksi 45. En büyük kayma, en büyük ile en küçüğün farkının yarısıdır: 105 eksi eksi 45, 150; yarısı 75. Bu örnekte düzlem içi değerle aynı çıktı, çünkü iki asal gerilmenin işaretleri zıttı. Şimdi ince cidarlı bir basınçlı kap düşünelim: çevre yönünde 80, eksen yönünde 40 megapaskal çekme, kayma yok. Düzlem içindeki en büyük kayma 80 eksi 40 bölü 2, yani 20 megapaskal. Ama üçüncü asal gerilme sıfır olduğu için gerçek en büyük kayma 80 eksi 0 bölü 2, yani 40 megapaskal: iki katı. Üç Mor çemberinin en büyüğü karar verir.

8. 8. Burulma: Neden 45°?

   

   tebeşire dönelim

   saf burulma: yalnız kayma, τ = 50 MPa

   merkez C = 0, R = 50

   asal: +50 ve −50 (elemanda 45°)

   eksene 45° eğik yönde 50 MPa çekme

   gevrek tebeşir: σ1'e dik → 45° sarmal

   sünek çelik: kaymadan → eksene dik kopma

   hangi gerilme karar verir? → hasar dersleri

   Sesli anlatım metni

   Tebeşire dönelim. Saf burulmada yüzeydeki bir elemanda yalnız kayma gerilmesi vardır; örneğin 50 megapaskal. Mor çemberinin merkezi sıfırdadır, yarıçapı 50. Asal gerilmeler artı 50 ve eksi 50; çemberde 90 derece, elemanda 45 derece ötede. Yani eksene 45 derece eğik bir yönde 50 megapaskallık çekme vardır. Gevrek tebeşir çekmeye dayanamaz; en büyük çekmeye dik bir yüzey boyunca, 45 derecelik sarmal üzerinden kırılır. Sünek çeliğin ise kayma dayanımı çekme dayanımından düşüktür; en büyük kaymanın bulunduğu, eksene dik kesitten kopar. Hangi gerilmenin hasar getirdiğini hasar derslerinde ayrıntılı göreceğiz.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① Çemberdeki açıyı elemana aynen taşımak → çemberde 36.87°, elemanda 18.43°

   ② Kaymanın işaretini karıştırmak → saat yönü yukarı, tersi aşağı; her yüzü ayrı sorgula

   ③ Serbest yüzeydeki σ3 = 0'ı unutmak → basınçlı kapta 20 değil, 40 MPa

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: çemberdeki açıyı elemana aynen taşımak. Çemberde 36.87 derece, elemanda bunun yarısı, 18.43 derece. İki: kayma gerilmesinin işaretini karıştırmak. Saat yönünde döndüren kayma yukarı, tersine döndüren aşağı; her yüzü ayrı ayrı sorgulayın. Üç: serbest yüzeydeki sıfır asal gerilmeyi unutmak. Basınçlı kapta düzlem içi hesap 20 megapaskal der, doğrusu 40.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Gerilme yöne bağlı; düzlem gerilme: σx, σy, τxy

    Mohr çemberi: merkez ortalama gerilme, yarıçap en büyük düzlem içi kayma

    Asal düzlemde τ = 0; τmaks asal düzlemlerle 45°

    σ3 = 0'ı unutma: üç çemberin en büyüğü karar verir

    Sıradaki ders: eğilme, kesme ve burulma

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Bir noktadaki gerilme yöne bağlıdır; düzlem gerilmede üç bileşenle tanımlanır. Mor çemberi bütün yönleri tek resimde gösterir: merkez ortalama gerilme, yarıçap en büyük düzlem içi kayma. Asal düzlemlerde kayma sıfırdır; en büyük kayma, asal düzlemlerle 45 derece açı yapar. Üçüncü asal gerilmeyi unutmayın. Bir sonraki Makine Elemanları dersinde bu gerilmeleri üreten yüklemelere bakacağız: eğilme, kesme ve burulma. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Gerilme Analizi: Gerilme Bileşenleri, Mohr Çemberi, Asal Gerilmeler (6:58)