#04 Eğilme, Kesme ve Burulma Gerilmeleri: Redüktörün Çıkış Mili

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: gerilmeleri Mohr çemberiyle birleştirdik

   Peki gerilmeler nereden geliyor?

   Bugün: eğilme, kesme ve burulma

   Örnek: ilk dersteki redüktörün çıkış mili

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste bir noktadaki gerilmeleri Mor çemberiyle birleştirmeyi öğrendik. Peki o gerilmeler nereden geliyor? Bugün üç temel yüklemeye bakıyoruz: eğilme, kesme ve burulma. Örneğimiz ilk dersteki redüktörün çıkış mili.

2. 2. Dönen Bir Mil

   

   Çıkış mili: Ø 45 mm, 1235 N·m tork

   Dişli mili aşağı iter

   Renk = eğilme gerilmesi: alt çekme, üst basma; rulmanda 0, dişlide en büyük

   Dönerken her nokta çekme ↔ basma; tork mili burar (abartılı)

   En çok zorlanan nokta? Ne kadar?

   Sesli anlatım metni

   Çıkış mili 45 milimetre çapında ve 1235 newton metre tork iletiyor. Üzerindeki büyük dişli, karşı dişliden gelen kuvvetle mili aşağı doğru itiyor. Renkler eğilme gerilmesini gösteriyor: milin alt yüzü çekmede, üst yüzü basmada; rulmanların üstünde sıfır, dişlinin altında en büyük. Mil dönerken yüzeydeki her nokta, bir turda çekmeden basmaya ve yeniden çekmeye geçer. Aynı anda tork mili burar; yüzeydeki doğru çizgiler sarmala döner, burada abartılarak gösteriliyor. Soru şu: milin en çok zorlanan noktası neresi, ve orada gerilme ne kadar?

3. 3. Eğilme

   

   önce eğilme

   dişli: bölüm dairesi yarıçapı 140 mm

   $\displaystyle F =\frac{ 1235000 }{ 140 }\approx 8821 N$

   dişli ortada, rulmanlar arası 200 mm

   her rulman: F / 2

   Mmaks = F L / 4

   $\displaystyle = 8821 \cdot \frac{ 200 }{ 4 }\approx 441 N\cdot m$

   σ = M c / I — tarafsız eksende 0

   dolu daire:

   $\displaystyle I =\frac{ \pi d⁴ }{ 64}$

   45⁴ = 4100625 → I ≈ 201289 mm⁴

   c = 22.5 mm

   σ = 441000 · 22.5 / 201289 ≈ 49.3 MPa

   Sesli anlatım metni

   Önce eğilme. Dişlinin bölüm dairesi yarıçapı 140 milimetre; tork bu yarıçapa bölününce dişte teğet kuvvet çıkar: 1235000 bölü 140, yaklaşık 8821 newton. Sadelik için dişliyi, aralarında 200 milimetre olan iki rulmanın tam ortasında düşünelim. Her rulman kuvvetin yarısını taşır. En büyük eğilme momenti dişlinin altındadır: kuvvet çarpı açıklık bölü 4, yani 8821 çarpı 200 bölü 4, yaklaşık 441 newton metre. Eğilmede gerilme tarafsız eksende sıfırdır ve eksenden uzaklaştıkça doğrusal artar: moment çarpı uzaklık bölü atalet momenti. Dolu dairesel kesitte atalet momenti pi çarpı çapın dördüncü kuvveti bölü 64. 45 üzeri 4, 4100625; pi ile çarpıp 64'e bölersek yaklaşık 201289 milimetre üzeri 4. En dış lif merkezden 22.5 milimetre uzakta. Gerilme 441000 çarpı 22.5 bölü 201289, yaklaşık 49.3 megapaskal.

4. 4. Enine Kesme

   

   ikinci yükleme: kesme

   V = rulman tepkisi ≈ 4411 N

   dağılım: dışta 0, tarafsız eksende en büyük

   dolu daire: τmaks = 4V / (3A)

   A = π · 45² / 4 ≈ 1590.4 mm²

   $\displaystyle 4 \cdot 4411 = 17644 \cdot 3 \cdot 1590.4 = 4771.2$

   τ = 17644 / 4771.2 ≈ 3.70 MPa

   eğilmenin %7.5'i

   tepe yaptığı yerde σ = 0

   uzun millerde çoğu zaman ihmal

   Sesli anlatım metni

   İkinci yükleme kesme. Rulmanlar arasındaki kesitlerde kesme kuvveti, bir rulmanın tepkisine, yaklaşık 4411 newtona eşittir. Eğilmedeki kayma gerilmesi kesitte eşit dağılmaz: dış yüzeyde sıfır, tarafsız eksende en büyüktür. Dolu dairesel kesit için en büyük değer 4 çarpı kesme kuvveti bölü 3 çarpı alan. Alan pi çarpı 45'in karesi bölü 4, yaklaşık 1590.4 milimetrekare. 4 çarpı 4411, 17644; 3 çarpı 1590.4, 4771.2; bölümleri yaklaşık 3.70 megapaskal. Bu, eğilme gerilmesinin yalnız yüzde 7.5'i kadar. Üstelik en büyük olduğu yerde eğilme gerilmesi sıfırdır. Bu yüzden uzun millerde enine kesme gerilmesi çoğu zaman ihmal edilir.

5. 5. Burulma

   

   üçüncü yükleme: burulma

   τ = T r / J — merkezde 0, dışta en büyük

   J = π d⁴ / 32 = 2I ≈ 402578 mm⁴

   1235000 · 22.5 = 27787500 → ÷ 402578 ≈ 69 MPa

   kısa yol:

   $\displaystyle \tau =\frac{ 16 T }{\pi d³}$

   burulma > eğilme:

   $\displaystyle 69 > 49.3$

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü yükleme burulma. Dairesel milde kayma gerilmesi merkezde sıfırdır ve yarıçapla doğrusal artar: tork çarpı yarıçap bölü kutupsal atalet momenti. Kutupsal atalet momenti pi çarpı çapın dördüncü kuvveti bölü 32, yani atalet momentinin iki katı: yaklaşık 402578 milimetre üzeri 4. Gerilme için 1235000 çarpı 22.5, yani 27787500; bunu 402578'e bölersek yaklaşık 69 megapaskal. Aynı sonucu kısa yoldan da buluruz: 16 çarpı tork bölü pi çarpı çapın küpü. Bu mil için burulma, eğilmeden daha büyük bir gerilme üretiyor.

6. 6. Hepsi Bir Arada

   

   birleştir: en tehlikeli nokta

   dişli kesiti, dış yüzey: σ = 49.3, τ = 69 MPa

   $\displaystyle C =\frac{ 49.3 }{ 2 }= 24.65$

   $\displaystyle 24.65² = 607.62 \cdot 69² = 4761$

   $\displaystyle R = \surd 5368.62 \approx 73.27$

   σ1 = 24.65 + 73.27 ≈ 97.9 · σ2 ≈ −48.6 MPa

   τmaks ≈ 73.3 MPa

   güvenli mi? → hasar kuramları

   Sesli anlatım metni

   Şimdi hepsini birleştirelim. En tehlikeli nokta, dişlinin altındaki kesitin dış yüzeyidir: orada eğilmeden 49.3 megapaskal normal gerilme, burulmadan 69 megapaskal kayma gerilmesi aynı anda bulunur. Mor çemberinin merkezi 49.3'ün yarısı, 24.65. Yarıçap için 24.65'in karesi 607.62, 69'un karesi 4761; toplam 5368.62, karekökü yaklaşık 73.27. Asal gerilmeler 24.65 artı 73.27, yaklaşık 97.9, ve 24.65 eksi 73.27, yaklaşık eksi 48.6 megapaskal. En büyük kayma 73.3 megapaskal. Bu mil güvenli mi? Bu sayıları ileride hasar kuramlarıyla dayanıma karşılaştıracağız.

7. 7. İçi Boş Mil

   

   tasarım fikri: içi boş mil

   gerilme dışta en büyük, merkezde ≈ 0

   boru: dış Ø 50, iç Ø 30 mm

   A = π (2500 − 900) / 4 ≈ 1256.6 mm² (%21 hafif)

   J = 5440000 · π / 32 ≈ 534071 mm⁴

   τ = 1235000 · 25 / 534071 ≈ 57.8 MPa (−%16)

   σ: 49.3 → 41.3 MPa

   bedel: büyük dış çap, işçilik

   Sesli anlatım metni

   Bir tasarım fikri: içi boş mil. Eğilmede ve burulmada gerilme dış yüzeyde en büyük, merkezde ise sıfıra yakındır; merkezdeki malzeme az iş görür. Dış çapı 50, iç çapı 30 milimetre olan bir boru düşünelim. Kesit alanı pi çarpı 2500 eksi 900 bölü 4, yaklaşık 1256.6 milimetrekare: dolu milden yüzde 21 hafif. Kutupsal atalet momenti pi çarpı 50 üzeri 4 eksi 30 üzeri 4 bölü 32; 5440000 çarpı pi bölü 32, yaklaşık 534071. Burulma gerilmesi 1235000 çarpı 25 bölü 534071, yaklaşık 57.8 megapaskal: yüzde 16 daha düşük. Eğilme gerilmesi de 49.3'ten 41.3'e iner. Daha hafif ve daha az zorlanan bir mil; bedeli, daha büyük dış çap ve işçilik.

8. 8. Üç Tuzak

   

   ① En büyük momenti ve en büyük torku farklı kesitlerden alıp birleştirmek → gerilmeler aynı noktada birleşir

   ② Enine kesmeyi en büyük eğilme gerilmesine eklemek → kesme tepe yaptığı yerde (tarafsız eksen) σ = 0

   ③ J = 2I'yı her kesitte sanmak → yalnız daire ve halka; dikdörtgende başka formül

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: en büyük momenti ve en büyük torku farklı kesitlerden alıp birleştirmek. Gerilmeler aynı noktada birleşir. İki: enine kesme gerilmesini en büyük eğilme gerilmesine eklemek. Kesme en büyük değerini tarafsız eksende alır, orada eğilme sıfırdır. Üç: kutupsal atalet momentinin her kesitte atalet momentinin iki katı olduğunu sanmak. Bu yalnız daire ve halka için doğrudur; dikdörtgen kesitli bir çubukta burulma formülü farklıdır.

9. 9. Özet ve Sıradaki Ders

   

   Eğilme: σ = M c / I — tarafsız eksende 0, dışta en büyük

   Enine kesme: tarafsız eksende en büyük, uzun milde küçük

   Burulma: τ = T r / J — merkezde 0, dışta en büyük

   Tehlikeli nokta: σ ve τ Mohr çemberiyle birleşir

   Sıradaki ders: gerilme yığılması, basınçlı silindirler, sıkı geçme

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Eğilme gerilmesi moment çarpı uzaklık bölü atalet momentidir; tarafsız eksende sıfır, dış yüzeyde en büyüktür. Enine kesme gerilmesi tarafsız eksende en büyüktür ve uzun millerde küçüktür. Burulmada gerilme, tork çarpı yarıçap bölü kutupsal atalet momentidir. Tehlikeli noktada gerilmeler Mor çemberiyle birleştirilir. Bir sonraki Makine Elemanları dersinde ani kesit değişimlerinde gerilmenin nasıl yükseldiğini göreceğiz: gerilme yığılması; ayrıca basınçlı silindirler ve sıkı geçmeler. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Eğilme, Kesme ve Burulma Gerilmeleri: Redüktörün Çıkış Mili (6:31)