#05 Gerilme Yığılması ve Sıkı Geçme: Dişlinin Oturduğu Omuz

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: çıkış milinde σ 49.3, τ 69 MPa

   Formüller pürüzsüz, düz bir mil varsaydı

   Gerçek mil: omuzlar, kama yuvaları, delikler

   Bugün: gerilme yığılması ve sıkı geçme

   Araç: basınçlı silindir formülleri

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste redüktörün çıkış milinde eğilmeden 49.3, burulmadan 69 megapaskal gerilme bulduk. Ama o formüller pürüzsüz, düz bir mil varsayıyordu. Gerçek bir milde rulmanları ve dişliyi yerine oturtan omuzlar, kama yuvaları, delikler vardır. Bugün iki konu var: ani kesit değişimlerinde gerilmenin yükselmesi, yani gerilme yığılması; ve dişliyi mile kama yerine sürtünmeyle tutturabilen sıkı geçme. Sıkı geçmeyi anlamak için de basınçlı silindir formüllerini kullanacağız.

2. 2. Omuz ve Göbek

   

   Dişliyi yaslayan omuz: Ø 45 → Ø 54 mm

   Renk = eğilme gerilmesinin büyüklüğü

   Keskin köşede kırmızı halka; yuvarlatınca söner ve yayılır

   Göbek ısıtılır, mile geçer, soğuyunca kavrar

   Köşede ne kadar? Basınç torku taşır mı?

   Sesli anlatım metni

   Çıkış milinin, dişliyi yaslayan omzuna yakından bakalım. Çap burada 45 milimetreden 54 milimetreye aniden çıkıyor. Renkler eğilme gerilmesini gösteriyor. Keskin köşenin dibinde parlak kırmızı bir halka var: gerilme orada, düz milde beklediğimizin iki katından fazlasına çıkıyor. Köşeyi yuvarlatınca halka sönüyor ve geniş bir alana yayılıyor. Şimdi dişli. Göbeğini ısıtırsak genleşir ve mile rahatça geçer. Soğuyunca daralır ve mili sıkıca kavrar; arayüzde büyük bir basınç doğar. İki soru: köşedeki gerilme ne kadar, ve bu basınç, torku kaydırmadan taşımaya yeter mi?

3. 3. Gerilme Yığılması

   

   önce gerilme yığılması

   gerilme = parçadaki kuvvet akışı

   düz parça: çizgiler paralel, eşit aralıklı

   delik, çentik, keskin köşe → çizgiler dolaşır

   kenarda sıkışır → gerilme yükselir

   Kt = σmaks / σ0

   σ0: bilinen formül, net kesit

   yalnız geometriye bağlı; diyagramlardan okunur

   geniş levhada küçük delik:

   $\displaystyle Kt = 3$

   Sesli anlatım metni

   Önce gerilme yığılması. Gerilmeyi, parçanın içinden akan bir kuvvet akışı gibi düşünün. Düz bir parçada akış çizgileri paralel ve eşit aralıklıdır. Bir delik, çentik ya da keskin köşe akışın önüne çıkınca çizgiler engelin etrafından dolaşmak zorunda kalır ve kenarda sıkışır. Çizgilerin sıkıştığı yerde gerilme yükselir; tıpkı bir derenin, iki kayanın arasındaki dar geçitte hızlanması gibi. Bu artışı bir katsayıyla ölçeriz: kuramsal gerilme yığılma katsayısı, yani en büyük gerilme bölü nominal gerilme. Nominal gerilme, bildiğimiz formüllerle, net kesit üzerinden hesaplanan değerdir. Katsayı yalnız geometriye bağlıdır, malzemeye bağlı değildir; değerleri kitaplardaki diyagramlardan okunur. Örneğin geniş bir levhadaki küçük dairesel delikte katsayı 3'tür: deliğin kenarında gerilme, nominal gerilmenin üç katıdır.

4. 4. Mildeki Omuz

   

   redüktörün mili: dişlinin omzu

   göbek 50 mm, omza yaslanır

   omuz: dişli ortasından 25 mm → rulmandan 75 mm

   M = 4411 · 75 = 330825 N·mm ≈ 331 N·m

   $\displaystyle \sigma 0 =\frac{ 32 M }{\pi d³}$

   $\displaystyle 32 \cdot 330825 = 10586400$

   $\displaystyle 45³ = 91125 \to \pi \cdot 91125 \approx 286278$

   σ0 = 10586400 / 286278 ≈ 37.0 MPa

   keskin köşe (r/d = 0.02):

   $\displaystyle Kt \approx 2.7$

   σmaks = 2.7 · 37.0 ≈ 99.9 MPa (49.3'ün 2 katı)

   r = 4.5 mm (r/d = 0.1): Kt ≈ 1.7 → 1.7 · 37.0 ≈ 62.9 MPa

   aynı mil, aynı yük: −%37

   kritik nokta artık omuz köşesi

   Sesli anlatım metni

   Şimdi redüktörün miline dönelim. Dişlinin göbeği 50 milimetre uzunluğunda ve bir omza yaslanıyor. Omuz, dişlinin ortasından 25 milimetre uzakta, yani rulmandan 75 milimetre. Orada eğilme momenti, rulman tepkisi çarpı uzaklık: 4411 çarpı 75, 330825 newton milimetre, yaklaşık 331 newton metre. Nominal gerilme 32 çarpı moment bölü pi çarpı çapın küpü. 32 çarpı 330825, 10586400. 45'in küpü 91125; pi ile çarpınca yaklaşık 286278. Bölümleri yaklaşık 37.0 megapaskal. Köşe keskinse, yani köşe yarıçapı çapın yüzde 2'si kadarsa, tasarımın ilk turunda eğilme için katsayıyı yaklaşık 2.7 alırız. En büyük gerilme 2.7 çarpı 37.0, yaklaşık 99.9 megapaskal: dişlinin ortasındaki 49.3'ün iki katı! Köşe yarıçapını çapın onda birine, yani 4.5 milimetreye çıkarırsak katsayı yaklaşık 1.7'ye düşer: 1.7 çarpı 37.0, yaklaşık 62.9 megapaskal. Aynı mil, aynı yük; yalnız köşe yarıçapı değişti ve gerilme yüzde 37 azaldı. Yine de 62.9, 49.3'ten büyük: en çok zorlanan nokta artık dişlinin ortası değil, omuz köşesi.

5. 5. Katsayı Ne Zaman Önemli?

   

   Katsayı her hesapta mı?

   Sünek + sabit yük: köşe biraz akar, gerilme yayılır → statikte çoğu zaman uygulanmaz

   Gevrek malzeme: akma yok → uygulanır

   Dönen mil: her tur çekme ↔ basma → tekrarlı yükte her malzemede önemli

   Ayrıntı: yorulma dersleri

   Sesli anlatım metni

   Peki bu katsayıyı her hesapta kullanır mıyız? Sünek bir malzemede ve sabit yükte, köşedeki küçük bölge biraz akar ve gerilme komşu bölgelere yayılır; bu yüzden statik hesapta katsayı çoğu zaman uygulanmaz. Gevrek malzemede ise akma olmadığı için uygulanır. Ama dönen milimizi hatırlayın: yüzeydeki her nokta her turda çekmeden basmaya geçer. Tekrarlı yükte gerilme yığılması her malzemede önemlidir; kırılan millerin çoğunda çatlak tam böyle bir köşede başlar. Bunu yorulma derslerinde ayrıntılı göreceğiz.

6. 6. Kalın Cidarlı Silindir

   

   önce araç: kalın cidarlı silindir

   iç basınç p → cidarda iki gerilme

   σt teğetsel: çemberi germeye çalışır; σr radyal: ezer

   ikisi de yarıçapla değişir

   göbek: di = 45, do = 90 mm

   σt(iç) = p (do² + di²) / (do² − di²)

   $\displaystyle 90² = 8100 \cdot 45² = 2025$

   $\displaystyle \frac{10125 }{ 6075 }=\frac{ 5 }{ 3 }\approx 1.67$

   σt(iç) ≈ 1.67 p

   $\displaystyle \sigma t\left(dış\right) = 2/3 p \approx 0.67 p$

   σr: içte −p, dışta 0

   en büyük gerilme: iç yüzey

   ince cidar (t < r/10):

   $\displaystyle \sigma t \approx \frac{ p d }{2t}$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi sıkı geçmeye geçiyoruz, ama önce bir araç lazım: kalın cidarlı silindir. İçeriden basınç gören bir borunun cidarında iki gerilme oluşur. Teğetsel gerilme çemberi germeye çalışır; radyal gerilme ise cidarı ezer. İkisi de yarıçapla değişir. Dişlinin göbeğini, iç çapı 45, dış çapı 90 milimetre olan kalın bir silindir gibi düşünelim ve içeride bir basınç olsun. İç yüzeyde teğetsel gerilme, basınç çarpı dış çapın karesi artı iç çapın karesi, bölü dış çapın karesi eksi iç çapın karesi. 90'ın karesi 8100, 45'in karesi 2025. Toplamları 10125, farkları 6075; oranı 5 bölü 3, yaklaşık 1.67. Yani iç yüzeydeki teğetsel gerilme basıncın 1.67 katı. Dış yüzeyde bu oran üçte ikiye iner. Radyal gerilme iç yüzeyde basıncın eksi işaretlisi, dış yüzeyde sıfırdır. En büyük gerilme her zaman iç yüzeydedir. Cidar kalınlığı yarıçapın onda birinden azsa daha basit ince cidar formülü yeter: basınç çarpı çap bölü 2 çarpı cidar kalınlığı.

7. 7. Sıkı Geçme Basıncı

   

   mil çapı > delik çapı → girişim δ

   δ = 0.05 mm (çapta) ≈ bir saç teli

   aynı çelik, dolu mil

   p = E δ (do² − d²) / (2 d do²)

   E = 207000 MPa

   $\displaystyle 207000 \cdot 0.05 = 10350$

   $\displaystyle 8100 - 2025 = 6075$

   $\displaystyle 2 \cdot 45 \cdot 8100 = 729000$

   10350 · 6075 = 62876250 → p = 86.25 MPa

   göbek: σt = 1.67 · 86.25 ≈ 143.8 MPa (çekme)

   dolu mil: σr = σt = −86.25 MPa (basma)

   Sesli anlatım metni

   Sıkı geçmede milin çapı, göbeğin deliğinden biraz büyüktür; bu farka girişim denir. Örneğimizde çaptaki girişim 0.05 milimetre, kabaca bir saç teli kalınlığı. Mil ve göbek aynı çelikten, milin içi dolu. Bu durumda arayüz basıncı: elastisite modülü çarpı girişim çarpı dış çapın karesi eksi mil çapının karesi, bölü 2 çarpı mil çapı çarpı dış çapın karesi. Çeliğin elastisite modülü 207000 megapaskal. 207000 çarpı 0.05, 10350. 8100 eksi 2025, 6075. Payda 2 çarpı 45 çarpı 8100, 729000. 10350 çarpı 6075, 62876250; bunu 729000'e bölersek basınç 86.25 megapaskal. Göbeğin iç yüzeyinde teğetsel gerilme bunun 1.67 katı, yaklaşık 143.8 megapaskal çekme. Dolu milde ise hem radyal hem teğetsel gerilme eksi 86.25: mil her yandan sıkıştırılır.

8. 8. Tork ve Montaj

   

   geçme torku kaydırmadan taşır mı?

   sürtünme = f · p · (π d l); kol d / 2

   $\displaystyle T = \left(\frac{\pi }{ 2}\right) f p l d²$

   f = 0.15 (kabul), l = 50 mm

   $\displaystyle 86.25 \cdot 50 = 4312.5 \cdot 2025 = 8732812.5$

   $\displaystyle \cdot 0.15 \approx 1309922 \cdot \frac{ \pi }{ 2 }\approx 2058 N\cdot m$

   2058 / 1235 ≈ 1.67 kat

   takmak için ne kadar ısıtmalı?

   α = 10.8 · 10⁻⁶ /°C → 45 · α = 0.000486 mm/°C

   ΔT = 0.05 / 0.000486 ≈ 103 °C (+ montaj payı)

   göbek uçları: yığılma, Kt ≤ 2 (ilk tahmin)

   Sesli anlatım metni

   Peki bu geçme, torku kaydırmadan taşır mı? Arayüzdeki sürtünme kuvveti, sürtünme katsayısı çarpı basınç çarpı temas alanıdır; bu kuvvet mil yarıçapı kadar bir kolda tork üretir. Sonuç: pi bölü 2 çarpı sürtünme katsayısı çarpı basınç çarpı göbek uzunluğu çarpı çapın karesi. Sürtünme katsayısını 0.15 alalım. 86.25 çarpı 50, 4312.5; çarpı 2025, 8732812.5; çarpı 0.15, yaklaşık 1309922; çarpı pi bölü 2, yaklaşık 2058 newton metre. Mil 1235 newton metre iletiyor: geçme bunun 1.67 katını kaydırmadan taşır. Göbeği takmak için ne kadar ısıtmalıyız? Çelik her derecede milyonda 10.8 uzar; 45 milimetrelik delik her derecede 0.000486 milimetre büyür. 0.05 milimetre için 0.05 bölü 0.000486, yaklaşık 103 derece; rahat takmak için biraz daha fazla ısıtılır. Son bir uyarı: göbeğin uçlarında basınç aniden biter ve orada mildeki eğilme gerilmesi yeniden yığılır; ilk tahminde katsayı 2'ye kadar çıkabilir.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① Katsayıyı yanlış nominal gerilmeyle çarpmak → diyagram net mi brüt kesite mi göre?

   ② Dönen milde gerilme yığılmasını ihmal etmek → tekrarlı yükte çatlak tam o köşede başlar

   ③ Girişimin çapta mı yarıçapta mı olduğunu karıştırmak → çap formülü ↔ çaptaki girişim

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: katsayıyı yanlış nominal gerilmeyle çarpmak. Diyagramlar ya net kesite ya da brüt kesite göre hazırlanır; hangisi olduğuna mutlaka bakın. İki: dönen milde gerilme yığılmasını ihmal etmek. Sabit yükte sünek çelik köşede akıp kendini kurtarabilir, ama dönen milde yük her turda tekrarlanır ve çatlak tam o köşede başlar. Üç: girişimin çapta mı yarıçapta mı verildiğini karıştırmak. Formül çaplarla yazıldıysa çaptaki girişim kullanılır; yarıçaptaki girişimi koyarsanız basıncı yarıya düşürürsünüz.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Yığılma: σmaks = Kt · σ0

    Geometri: cömert köşe yarıçapı → 99.9'dan 62.9 MPa'ya

    Kalın cidar: en büyük gerilme iç yüzeyde

    Sıkı geçme: p göbeği çeker, mili sıkar, sürtünmeyle tork taşır

    Sıradaki ders: şekil değiştirme ve rijitlik — mil ne kadar eğilir?

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Ani kesit değişimleri gerilmeyi yükseltir: en büyük gerilme, katsayı çarpı nominal gerilmedir. Katsayı yalnız geometriye bağlıdır; cömert bir köşe yarıçapı gerilmeyi ciddi ölçüde düşürür. Kalın cidarlı silindirde en büyük gerilme iç yüzeydedir. Sıkı geçmede girişim bir arayüz basıncı yaratır; bu basınç göbeği çeker, mili sıkıştırır ve sürtünmeyle tork taşır. Bir sonraki Makine Elemanları dersinde gerilmeden şekil değiştirmeye geçiyoruz: mil yük altında ne kadar eğilir, ve bu neden önemlidir? Görüşmek üzere.

Kaynak video: Gerilme Yığılması ve Sıkı Geçme: Dişlinin Oturduğu Omuz (8:53)