#01 Derse Giriş: Mukavemet Nedir? İç Kuvvetler ve Kesim Yöntemi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Mukavemet Dersine Hoş Geldiniz

   

   Herkese selamlar! Mukavemet dersine hoş geldiniz

   Statik: cisim rijit, yalnız denge

   Mukavemet: cismin içi — ne kadar zorlanıyor, ne kadar şekil değiştiriyor?

   İlk 10 ders: kitabın ilk 4 bölümü

   Kaynak kitap: Hibbeler, Mukavemet — konu sırası ve gösterim kitaptan, örnekler bize ait

   Ön bilgi: Statik — denge denklemleri, serbest cisim diyagramı, ağırlık merkezi

   Her derste 3D animasyon ve adım adım çözüm

   Sesli anlatım metni

   Herkese selamlar, Mukavemet dersine hoş geldiniz. Statik derslerinde cisimleri hiç şekil değiştirmeyen, rijit cisimler olarak ele aldık ve yalnızca dengede kalıp kalmadıklarına baktık. Mukavemette bir adım içeri giriyoruz: yük altındaki bir cismin içinde neler olduğunu, malzemenin ne kadar zorlandığını ve cismin ne kadar şekil değiştirdiğini soruyoruz. Bir köprü kirişi, bir vinç kancası, bir otomobil aksı ya da bir bina kolonu tasarlanırken ilk sorulan soru budur. İlk on derste kitabın ilk dört bölümünü izleyeceğiz: iç kuvvetler, gerilme, şekil değiştirme, malzemelerin mekanik özellikleri ve eksenel yüklü elemanlar. Kaynak kitabımız Hibbeler'in Mukavemet kitabı; konu sırasını ve gösterimi oradan izliyoruz, örneklerimiz ise bize ait. Ön bilgi olarak Statik yeterli: denge denklemleri, serbest cisim diyagramı ve ağırlık merkezi. Gerekeni yeri gelince hatırlatacağım. Her derste üç boyutlu animasyonlar ve hiçbir işlem atlanmadan adım adım çözüm olacak. Hadi başlayalım.

2. 2. Duvardaki Kol

   

   Duvara bağlı L biçimli kol; ucunda 400 N'luk tabela

   Kol dengede: hiçbir yere gitmiyor

   Duvar dibinde, malzemenin içinde ne oluyor?

   Hayali bir kesit; dış parçayı biraz uzaklaştır

   Kesilen yüzün her noktasında küçük iç kuvvetler: öbür parça bu parçayı tutuyor

   Toplayınca kesitte bileşke kuvvet ve momentler

   Mukavemetin ilk işi: iç kuvvetleri bulmak

   Sesli anlatım metni

   Duvara bağlı L biçimli bir kol düşünelim; ucunda 400 newtonluk bir tabela asılı. Kol dengede, hiçbir yere gitmiyor. Peki kolun duvara bağlandığı yerde, malzemenin içinde neler oluyor? Hayali bir bıçakla kolu tam orada keselim ve dış parçayı biraz uzaklaştıralım. Kesilen yüzün her noktasında küçük iç kuvvetler vardır: öbür parçanın bu parçayı tutması. Bu kuvvetleri toplayınca kesitte birkaç bileşke kuvvet ve moment çıkar. Mukavemetin ilk işi bu iç kuvvetleri bulmaktır.

3. 3. Mukavemet Nedir?

   

   mukavemet: dış yükler altındaki katı cismin içindeki etkiler

   ① dayanım: kırılmadan, kalıcı bozulmadan taşır mı? → gerilme

   ② şekil değiştirme: ne kadar uzar, kısalır, eğilir? → birim uzama

   ③ kararlılık: ince uzun kolon basınçta yana burkulur mu?

   şartnamelerdeki formüllerin çoğu bu üç soruya dayanır

   17. yüzyıl: Galileo — çubuk ve kiriş deneyleri

   sonra Fransa: Navier, Poisson, Saint-Venant

   Sesli anlatım metni

   Mukavemet, dış yükler altındaki katı bir cismin içindeki etkileri inceler. Üç soru soracağız. Birincisi dayanım: malzeme bu yükü kırılmadan ya da kalıcı biçimde bozulmadan taşıyabilir mi? Bunu gerilmeyle ölçeceğiz. İkincisi şekil değiştirme: cisim ne kadar uzar, kısalır ya da eğilir? Bunu birim uzamayla ölçeceğiz. Üçüncüsü kararlılık: ince uzun bir kolon, basınç altında aniden yana burkulur mu? Mühendislik şartnamelerindeki formüllerin çoğu bu üç sorunun cevabına dayanır. Bu alan on yedinci yüzyılda Galileo'nun çubuk ve kirişlerle yaptığı deneylerle başladı; sonra Fransa'da Navye, Puason ve Sen Venan gibi isimlerle gelişti.

4. 4. Dış Yükler

   

   önce statikten bildiklerimizi tazeleyelim

   dış yükler: yüzey kuvvetleri ve hacim kuvvetleri

   yüzey kuvveti: temasla oluşur

   temas alanı çok küçük → tekil kuvvet (bisiklet tekerleği)

   dar bir şerit boyunca → yayılı yük w (kN/m)

   bileşke = yük diyagramının alanı; alanın ağırlık merkezinden geçer

   3 m raf, düzgün yayılı 2 kN/m

   F = 2 · 3 = 6 kN; ortadan: 1.5 m

   sıfırdan doğrusal artan: 0 → 6 kN/m

   F = 6 · 3 / 2 = 9 kN

   ağırlık merkezi: büyük uçtan boyun 1/3 = 3 / 3 = 1 m

   hacim kuvveti: temas olmadan etkir

   en önemlisi ağırlık: ağırlık merkezinden geçer

   Sesli anlatım metni

   Önce statikten bildiklerimizi tazeleyelim. Bir cisme iki tür dış yük etkir: yüzey kuvvetleri ve hacim kuvvetleri. Yüzey kuvvetleri temasla oluşur. Temas alanı cismin boyutlarına göre çok küçükse kuvveti tek bir noktaya etkiyen tekil kuvvet gibi düşünürüz; bisiklet tekerleğine yerin uyguladığı kuvvet gibi. Yük dar bir şerit boyunca yayılmışsa onu metre başına kuvvet olarak, yayılı yük diye çizeriz. Yayılı yükün bileşkesi, yük diyagramının altındaki alana eşittir ve bu alanın ağırlık merkezinden geçer. Örneğin 3 metrelik bir rafa metre başına 2 kilonewton düzgün yayılı yük gelsin. Bileşke 2 çarpı 3, yani 6 kilonewton ve rafın ortasından, 1.5 metreden geçer. Yük sıfırdan metre başına 6 kilonewtona doğrusal artsın. Üçgenin alanı 6 çarpı 3 bölü 2, yani 9 kilonewton; üçgenin ağırlık merkezi büyük uçtan boyun üçte biri, yani 1 metre içeridedir. Hacim kuvvetleri ise temas olmadan etkir. En önemlisi ağırlıktır ve cismin ağırlık merkezinden geçer.

5. 5. Mesnetler ve Denge

   

   mesnet ötelemeyi engelliyorsa → o yönde kuvvet

   dönmeyi engelliyorsa → moment

   kayıcı mesnet: yüzeye dik tek kuvvet → 1 bilinmeyen

   sabit mafsal: iki kuvvet bileşeni, dönme serbest → 2 bilinmeyen

   ankastre: iki kuvvet + bir moment → 3 bilinmeyen

   denge: ΣF = 0 ve ΣM = 0

   düzlemde 3 denklem: ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMO = 0

   üç boyutta 6 denklem

   her zaman önce serbest cisim diyagramı

   Sesli anlatım metni

   Mesnetler ve denge. Kural basit: bir mesnet cismin bir yönde ötelenmesini engelliyorsa o yönde bir kuvvet, dönmesini engelliyorsa bir moment uygular. Kayıcı mesnet yalnız yüzeye dik ötelemeyi engeller: bir bilinmeyen. Sabit mafsal iki yöndeki ötelemeyi engeller ama dönmeye izin verir: iki bilinmeyen. Ankastre mesnet ötelemeyi de dönmeyi de engeller: iki kuvvet ve bir moment, üç bilinmeyen. Dengede kuvvetlerin toplamı da momentlerin toplamı da sıfırdır. Yükler bir düzlemdeyse bu üç denklem demektir: yatay kuvvetler, düşey kuvvetler ve bir noktaya göre momentler. Üç boyutta altı denklem vardır. Ve her zaman önce serbest cisim diyagramını çizeriz; hiçbir kuvveti atlamamanın tek yolu budur.

6. 6. Kesim Yöntemi ve Dört İç Kuvvet

   

   kesim yöntemi

   iç kuvvet aranan yerden hayali düzlemle kes; bir parçanın serbest cisim diyagramı

   kesilen yüzde yayılı iç kuvvet

   ağırlık merkezinde: bir bileşke kuvvet + bir bileşke moment

   kesite dik ve kesite paralel bileşenler → 4 iç kuvvet

   N normal kuvvet: kesite dik — çeker ya da iter

   V kesme kuvveti: kesit düzleminde — kaydırır

   T burulma momenti: kesite dik eksen etrafında — burar

   M eğilme momenti: kesit düzlemindeki eksen etrafında — eğer

   yükler tek düzlemde → yalnız N, V, M

   Sesli anlatım metni

   Şimdi dersin kalbi: kesim yöntemi. İç kuvvetleri bulmak istediğimiz yerden cismi hayali bir düzlemle keseriz ve parçalardan birinin serbest cisim diyagramını çizeriz. Kesilen yüzde gerçekte yayılı bir iç kuvvet vardır. Bu dağılımı, kesitin ağırlık merkezinde tek bir kuvvet ve tek bir momentle özetleriz. Kuvveti ve momenti kesite dik ve kesite paralel bileşenlere ayırınca dört iç kuvvet çıkar. Normal kuvvet kesite diktir; iki parçayı birbirinden çeker ya da birbirine iter. Kesme kuvveti kesit düzlemindedir; parçaları birbirinin üzerinde kaydırmaya çalışır. Burulma momenti, kesite dik eksen etrafında döndürür; parçayı burar. Eğilme momenti ise kesit düzlemindeki bir eksen etrafında döndürür; parçayı eğer. Yükler tek bir düzlemdeyse yalnız normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momenti kalır.

7. 7. Örnek 1: Yaya Köprüsü Kirişi

   

   yaya köprüsü kirişi, 6 m: A sabit mafsal, B kayıcı

   yayılı yük 3 kN/m; A'dan 4 m'de 6 kN tekil yük

   hedef: A'dan 2 m'deki C kesitinde iç kuvvetler

   ① mesnet tepkileri

   yayılı bileşke = 3 · 6 = 18 kN, 3 m'de

   ΣMA = 0:

   $\displaystyle By \cdot 6 - 18 \cdot 3 - 6 \cdot 4 = 0$

   18 · 3 = 54; 6 · 4 = 24; toplam 78

   By = 78 / 6 = 13 kN

   ΣFy = 0: Ay + 13 − 18 − 6 = 0 → Ay = 11 kN

   yatay yük yok → Ax = 0

   ② C'den kes; sol parça AC

   parçada yalnız 2 m yük kalır: 3 · 2 = 6 kN, 1 m'de

   ΣFx = 0 → NC = 0

   ΣFy = 0: 11 − 6 − VC = 0 → VC = 5 kN

   moment C'ye göre: N ve V denklemden düşer

   Ay: 11 · 2 = 22; yayılı: 6 · 1 = 6, ters yönde

   MC = 22 − 6 = 16 kN·m

   sağ parçayla: aynı sonuç

   Sesli anlatım metni

   İlk örnek. 6 metrelik bir yaya köprüsü kirişi solda sabit mafsala, sağda kayıcı mesnede oturuyor. Kiriş boyunca metre başına 3 kilonewton düzgün yayılı yük var ve soldan 4 metrede 6 kilonewtonluk tekil bir yük asılı. Soldan 2 metredeki kesitte iç kuvvetleri bulalım. Önce mesnet tepkileri. Yayılı yükün bileşkesi 3 çarpı 6, yani 18 kilonewton ve kirişin ortasından, 3 metreden etkir. Sol mesnede göre moment alalım: sağ tepki çarpı 6, eksi 18 çarpı 3, eksi 6 çarpı 4, sıfıra eşit. 18 çarpı 3, 54; 6 çarpı 4, 24; toplam 78. 78 bölü 6, 13 kilonewton: sağ tepki. Düşey denge: sol tepki artı 13, eksi 18, eksi 6, sıfır; sol tepki 11 kilonewton. Yatay yük olmadığı için yatay tepki sıfır. Şimdi 2 metreden keselim ve sol parçaya bakalım. Bu parçada yayılı yükün yalnız 2 metresi kalır: 3 çarpı 2, 6 kilonewton, parçanın ortasından, 1 metreden etkir. Yatay dengeden normal kuvvet sıfır. Düşey dengeden: 11 eksi 6 eksi kesme kuvveti sıfır; kesme kuvveti 5 kilonewton. Momenti kesitteki noktaya göre alalım; böylece bilinmeyen iki kuvvet denklemden düşer. Sol tepkinin momenti 11 çarpı 2, 22; yayılı yükün momenti 6 çarpı 1, 6 ve ters yönde. Eğilme momenti 22 eksi 6, 16 kilonewton metre. Sağ parçayla hesaplasaydık aynı sonucu bulurduk.

8. 8. Örnek 2: Duvardaki L Kol

   

   açılıştaki kol: duvardan dik 1.2 m, uçta duvara paralel 0.5 m

   uçta 400 N tabela; kolun ağırlığı ihmal

   hedef: duvar dibindeki kesit

   dış parçayı al → duvar tepkileri gerekmez

   kol ekseni boyunca kuvvet yok → N = 0

   düşey denge:

   $\displaystyle V = 400 N$

   kol ekseni etrafında: tabela eksenden 0.5 m yanda

   $\displaystyle T = 400 \cdot 0.5 = 200 N\cdot m$

   duvara paralel yatay eksen: tabela duvardan 1.2 m uzakta

   $\displaystyle M = 400 \cdot 1.2 = 480 N\cdot m$

   kesit aynı anda kesmeye, burulmaya ve eğilmeye zorlanıyor

   M duvardan uzaklaştıkça azalır: ortada 400 · 0.6 = 240 N·m

   en çok duvar dibinde zorlanır

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnek, açılıştaki kol. Kolun duvardan dik çıkan kısmı 1.2 metre, uçtaki kısım duvara paralel ve 0.5 metre; ucunda 400 newtonluk tabela asılı. Kolun kendi ağırlığını ihmal edelim. Duvar dibindeki kesitte iç kuvvetleri bulalım. Bu kez duvardan uzaktaki parçayı alırız; böylece duvarın tepkilerini hiç hesaplamamız gerekmez. Kolun ekseni boyunca kuvvet yok: normal kuvvet sıfır. Düşey denge: kesitteki kesme kuvveti tabelayı taşır, 400 newton. Kolun ekseni etrafındaki moment: tabela bu eksenden 0.5 metre yanda. Burulma momenti 400 çarpı 0.5, 200 newton metre. Duvara paralel yatay eksen etrafındaki moment: tabela duvardan 1.2 metre uzakta. Eğilme momenti 400 çarpı 1.2, 480 newton metre. Yani bu kesit aynı anda kesmeye, burulmaya ve eğilmeye zorlanıyor. Eğilme momenti duvardan uzaklaştıkça azalır; kolun ortasında 400 çarpı 0.6, 240 newton metre. Bu tür kollar bu yüzden en çok duvar dibinde zorlanır.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① Yayılı yükü kesmeden önce bileşkeye çevirmek → önce kes, sonra yalnız o parçada kalan yükün bileşkesini al

   ② Tepkileri bulmadan mesnetli parçayı seçmek → ya tepkileri önce bul ya da serbest ucu olan parçayı seç

   ③ Eksi işaretinden korkmak → eksi: iç kuvvet, varsaydığın yönün tersi; hesap yanlış değil

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: yayılı yükü kesmeden önce bileşkeye çevirmek. Önce kes, sonra yalnız o parçada kalan yükün bileşkesini al. İki: mesnet tepkilerini hesaplamadan mesnetli parçayı seçmek. Ya tepkileri önce bul ya da serbest ucu olan parçayı seç. Üç: eksi işaretinden korkmak. Sonuç eksi çıkarsa iç kuvvet, diyagramda varsaydığın yönün tersidir; hesap yanlış değildir.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Mukavemet: dış yükler altında cismin içindeki kuvvetler ve şekil değiştirme

    Kesim yöntemi: kes → serbest cisim diyagramı → denge denklemleri

    Kesitte dört iç kuvvet: N, V, T, M

    Sıradaki ders: iç kuvvetlerin kesitte dağılımı — gerilme

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Mukavemet, dış yükler altındaki bir cismin içindeki kuvvetleri ve şekil değiştirmeyi inceler. İç kuvvetleri kesim yöntemiyle buluruz: kes, serbest cisim diyagramını çiz, denge denklemlerini yaz. Genel durumda kesitte normal kuvvet, kesme kuvveti, burulma momenti ve eğilme momenti vardır. Bir sonraki Mukavemet dersinde bu iç kuvvetlerin kesit üzerinde nasıl dağıldığına, yani gerilmeye geçeceğiz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Derse Giriş: Mukavemet Nedir? İç Kuvvetler ve Kesim Yöntemi (8:25)