#02 Gerilme ve Ortalama Normal Gerilme

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: kesim yöntemi — kesitte dört iç kuvvet

   normal kuvvet, kesme kuvveti, burulma momenti, eğilme momenti

   Bu kuvvetler kesitin her yerine yayılır

   Bugün: yayılmanın yoğunluğu — gerilme

   ve eksenel yüklü çubukta ortalama normal gerilme

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste kesim yöntemini gördük: cismi hayali bir düzlemle kesip parçalardan birinin dengesini yazdık ve kesitte dört iç kuvvet bulduk: normal kuvvet, kesme kuvveti, burulma momenti ve eğilme momenti. Ama bu kuvvetler kesitin tek bir noktasına etki etmez; kesitin her yerine yayılır. Bugün bu yayılmanın yoğunluğunu, yani gerilmeyi tanımlıyoruz ve en sık karşılaşacağımız durumu, eksenel yüklü bir çubuktaki ortalama normal gerilmeyi hesaplıyoruz.

2. 2. İki Askı Çubuğu

   

   Tavandaki kirişe iki özdeş 10 kN kasa

   Sol çubuk Ø 20 mm, sağ çubuk Ø 10 mm

   İki çubuk da aynı yükü taşıyor — hangisi daha çok zorlanıyor?

   Hayali kesit: iki çubuk da ortadan

   Kesitte iç kuvvet ikisinde de 10 kN

   İnce çubukta kuvvet çok daha küçük bir alana sıkışıyor

   Zorlanmayı belirleyen: kuvvetin alana göre yoğunluğu

   Sesli anlatım metni

   Tavandaki bir kirişe iki özdeş kasa asalım; her kasa 10 kilonewton. Soldaki kasayı çapı 20 milimetre olan bir çelik çubuk, sağdakini çapı 10 milimetre olan bir çubuk taşıyor. İki çubuk da aynı yükü taşıyor. Peki hangisi daha çok zorlanıyor? Çubukları ortadan hayali olarak keselim. Kesitte iç kuvvet ikisinde de aynı: 10 kilonewton. Ama ince çubukta bu kuvvet çok daha küçük bir alana sıkışıyor. Zorlanmayı belirleyen şey kuvvetin kendisi değil, alana göre yoğunluğudur.

3. 3. Gerilme Nedir?

   

   kesilen yüzeyde çok küçük bir alan: ΔA

   üzerinde küçük bir iç kuvvet: ΔF

   bileşenler: yüzeye dik ΔFn, yüzeye paralel ΔFt

   kuvvet / alan, ΔA → 0: sınır değer = gerilme

   normal gerilme: σ = limΔA→0 ΔFn / ΔA

   kayma gerilmesi: τ = limΔA→0 ΔFt / ΔA

   σ yüzeyi çekiyorsa çekme (+), itiyorsa basınç (−)

   malzeme sürekli (boşluksuz) ve bütün (çatlaksız)

   gerilme = kuvvetin yoğunluğu: aynı kuvvet, küçük alan → büyük gerilme

   Sesli anlatım metni

   Kesilen yüzeyde çok küçük bir alan parçası düşünelim. Bu küçük alana küçük bir iç kuvvet etki eder. Bu kuvveti iki bileşene ayırırız: yüzeye dik olan normal bileşen ve yüzeye paralel olan teğetsel bileşen. Kuvveti alana bölüp alanı sıfıra yaklaştırdığımızda bir sınır değer elde ederiz; buna gerilme denir. Dik bileşenden gelen normal gerilme Yunan harfi sigma ile, paralel bileşenden gelen kayma gerilmesi tau ile gösterilir. Normal gerilme yüzeyi çekiyorsa çekme gerilmesi, itiyorsa basınç gerilmesidir. Bu tanım için malzemeyi sürekli, yani boşluksuz, ve bütün, yani çatlaksız kabul ederiz. Gerilme kuvvetin ne kadar yoğun olduğunu söyler: aynı kuvvet ne kadar küçük bir alana binerse gerilme o kadar büyür.

4. 4. Gerilme Bileşenleri ve Birimler

   

   noktanın çevresinden küçük küp: her yüzde 1 normal + 2 kayma gerilmesi

   τzx: 1. indis yüzeyin doğrultusu (z), 2. indis gerilmenin yönü (x)

   birim: kuvvet / alan

   1 Pa = 1 N/m²

   Pa çok küçük → mühendislikte MPa (ve GPa)

   1 MPa = 106 Pa = 1 N/mm²

   kuvvet N, alan mm² → sonuç doğrudan MPa

   Sesli anlatım metni

   Bir noktanın çevresinden küçük bir küp kesip çıkarırsak, küpün her yüzünde bir normal gerilme ve iki kayma gerilmesi görürüz. Gösterimde ilk alt indis yüzeyin doğrultusunu, ikinci alt indis gerilmenin yönünü söyler. Birime gelelim. Gerilme kuvvet bölü alan olduğu için birimi newton bölü metrekare, yani paskaldır. Paskal çok küçük bir birimdir; mühendislikte çoğunlukla megapaskal kullanırız. Bir megapaskal bir milyon paskaldır ve bir newton bölü milimetrekareye eşittir. Bu eşitlik hesabı çok kolaylaştırır: kuvveti newton, alanı milimetrekare alırsanız sonuç doğrudan megapaskal çıkar.

5. 5. Ortalama Normal Gerilme

   

   eksenel yüklü çubuk

   prizmatik: kesit boyunca aynı

   homojen ve izotrop: her noktada, her yönde aynı özellik

   yük kesitin ağırlık merkezinden

   uçlardan uzakta düzgün şekil değiştirme → düzgün gerilme

   küçük kuvvetlerin toplamı = iç kuvvet:

   $\displaystyle \sigma \cdot A = P$

   ortalama normal gerilme:

   $\displaystyle \sigma =\frac{ P }{ A}$

   gerilme bloğunun hacmi = P

   elemanın karşılıklı yüzlerinde eşit, zıt σ: tek eksenli gerilme

   Sesli anlatım metni

   Şimdi en sık karşılaşacağımız durum: eksenel yüklü bir çubuk. Çubuk prizmatik olsun, yani kesiti boyunca değişmesin. Malzeme homojen ve izotrop olsun, yani her noktada ve her yönde aynı özellikleri taşısın. Yük de kesitin ağırlık merkezinden geçsin. Bu koşullarda çubuğun uçlardan uzaktaki bölgesi düzgün şekil değiştirir ve düzgün şekil değiştirme, kesitte düzgün bir gerilme demektir. Kesitteki bütün küçük kuvvetlerin toplamı iç kuvvete eşit olmalı: gerilme çarpı alan, eksenel kuvvete eşittir. Buradan ortalama normal gerilme, eksenel kuvvet bölü kesit alanıdır. Bunu bir blok olarak da düşünebiliriz: gerilme dağılımının oluşturduğu bloğun hacmi eksenel kuvvete eşittir. Bu çubuktan küçük bir eleman çıkarırsak, iki karşılıklı yüzünde eşit ve zıt normal gerilme görürüz; buna tek eksenli gerilme denir.

6. 6. Açılıştaki Çubukların Hesabı

   

   açılıştaki çubuklar — her işlem

   kalın: Ø 20 mm → r = 10 mm

   A = π r² = π · 10 · 10 ≈ 314.16 mm²

   σ = 10000 N / 314.16 mm² ≈ 31.8 MPa

   ince: Ø 10 mm → r = 5 mm

   A = π · 5 · 5 ≈ 78.54 mm²

   σ = 10000 N / 78.54 mm² ≈ 127.3 MPa

   çap ÷ 2 → alan ÷ 4 → gerilme × 4

   aynı kuvvet, dört kat zorlanma

   Sesli anlatım metni

   Açılıştaki çubuklara dönelim ve her işlemi gösterelim. Kalın çubuğun çapı 20 milimetre, yani yarıçapı 10 milimetre. Alan pi çarpı yarıçapın karesi: pi çarpı 10 çarpı 10, yaklaşık 314.16 milimetrekare. Gerilme 10000 newton bölü 314.16 milimetrekare, yaklaşık 31.8 megapaskal. İnce çubuğun yarıçapı 5 milimetre. Alan pi çarpı 5 çarpı 5, yaklaşık 78.54 milimetrekare. Gerilme 10000 bölü 78.54, yaklaşık 127.3 megapaskal. Çap yarıya inince alan dörtte bire düştü, gerilme de dört katına çıktı. Aynı kuvvet, dört kat zorlanma.

7. 7. Örnek 1: Kademeli Çubuk

   

   duvara sabitlenmiş kademeli çelik çubuk

   AB: Ø 40 mm; BC: Ø 20 mm

   B'de 45 kN sola; C'de 20 kN sağa

   hedef: en büyük ortalama normal gerilme

   ① her bölümde eksenel kuvvet

   BC'yi kes, serbest uç tarafı → duvar tepkisi gerekmez

   PBC = +20 kN (çekme)

   AB'yi kes: sağda 20 kN sağa, 45 kN sola

   PAB = 20 − 45 = −25 kN (basınç)

   eksenel kuvvet diyagramı

   ② alanlar

   AAB = π · 20 · 20 ≈ 1256.64 mm²

   ABC = π · 10 · 10 ≈ 314.16 mm²

   σAB = −25000 / 1256.64 ≈ −19.9 MPa (basınç)

   σBC = 20000 / 314.16 ≈ 63.7 MPa (çekme)

   en büyük kuvvet AB'de, en büyük gerilme BC'de

   gerilmeyi kuvvet / alan belirler

   Sesli anlatım metni

   İlk örnek. Duvara sabitlenmiş kademeli bir çelik çubuk düşünelim. Duvara yakın AB bölümünün çapı 40 milimetre, uçtaki BC bölümünün çapı 20 milimetre. B noktasına sola doğru 45 kilonewton, serbest uç C'ye sağa doğru 20 kilonewton etkiyor. En büyük ortalama normal gerilmeyi bulalım. Önce her bölümdeki eksenel kuvvet. BC bölümünü keselim ve serbest uca doğru olan parçaya bakalım; böylece duvar tepkisine gerek kalmaz. Bu parçada yalnız 20 kilonewton var: eksenel kuvvet artı 20 kilonewton, yani çekme. Şimdi AB bölümünü keselim. Sağdaki parçada sağa 20, sola 45 kilonewton var. Eksenel kuvvet 20 eksi 45, yani eksi 25 kilonewton; eksi işareti basınç demek. Bunları eksenel kuvvet diyagramına işleriz. Şimdi alanlar. AB'nin yarıçapı 20 milimetre: pi çarpı 20 çarpı 20, yaklaşık 1256.64 milimetrekare. BC'nin yarıçapı 10 milimetre: yaklaşık 314.16 milimetrekare. AB'de gerilme eksi 25000 bölü 1256.64, yaklaşık eksi 19.9 megapaskal, basınç. BC'de 20000 bölü 314.16, yaklaşık 63.7 megapaskal, çekme. En büyük kuvvet AB'de, ama en büyük gerilme BC'de. Çünkü gerilmeyi kuvvet tek başına değil, kuvvet bölü alan belirler.

8. 8. Örnek 2: İki Çubukla Asılı Hoparlör

   

   hoparlör 120 kg; iki Ø 6 mm çelik çubuk

   sol çubuk yatayla 30°, sağ çubuk 60°

   $\displaystyle W = 120 \cdot 9.81 = 1177.2 N$

   birleşme noktasının dengesi

   ΣFx = 0:

   $\displaystyle T1 \cos 30^{\circ} = T2 \cos 60^{\circ}$

   $\displaystyle \cos 30^{\circ} \approx 0.866; \cos 60^{\circ} = 0.5$

   $\displaystyle T2 = 1.732 T1$

   ΣFy = 0:

   $\displaystyle T1 \sin 30^{\circ} + T2 \sin 60^{\circ} = W$

   $\displaystyle \sin 30^{\circ} = 0.5; \sin 60^{\circ} \approx 0.866; 1.732 \cdot 0.866 = 1.5$

   $\displaystyle \left(0.5 + 1.5\right) T1 = 2 T1 = W \to T1 = 588.6 N$

   $\displaystyle T2 = 1.732 \cdot 588.6 \approx 1019.5 N$

   A = π · 3 · 3 ≈ 28.27 mm²

   σ1 = 588.6 / 28.27 ≈ 20.8 MPa

   σ2 = 1019.5 / 28.27 ≈ 36.1 MPa

   dikleşen çubuk yükün büyük kısmını taşır

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnek. 120 kilogramlık bir hoparlör, çapı 6 milimetre olan iki çelik çubukla tavana asılmış. Soldaki çubuk yatayla 30 derece, sağdaki 60 derece açı yapıyor. Önce ağırlık: 120 çarpı 9.81, yani 1177.2 newton. Çubukların birleştiği noktanın dengesini yazalım. Yatay denge: soldaki çubuk kuvveti çarpı kosinüs 30, sağdaki çubuk kuvveti çarpı kosinüs 60'a eşit. Kosinüs 30 yaklaşık 0.866, kosinüs 60 ise 0.5; buradan sağdaki kuvvet soldakinin 1.732 katı. Düşey denge: soldaki kuvvet çarpı sinüs 30, artı sağdaki kuvvet çarpı sinüs 60, ağırlığa eşit. Sinüs 30 0.5; sinüs 60 yaklaşık 0.866 ve 1.732 çarpı 0.866, 1.5 eder. 0.5 artı 1.5, yani soldaki kuvvetin 2 katı ağırlığa eşit: soldaki kuvvet 588.6 newton. Sağdaki kuvvet 1.732 çarpı 588.6, yaklaşık 1019.5 newton. Çubuk alanı pi çarpı 3 çarpı 3, yaklaşık 28.27 milimetrekare. Soldaki gerilme 588.6 bölü 28.27, yaklaşık 20.8 megapaskal; sağdaki 1019.5 bölü 28.27, yaklaşık 36.1 megapaskal. Dikleşen çubuk yükün daha büyük kısmını taşır.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① Çapı yarıçap sanmak → A = π r²; çapla hesaplanırsa alan 4 kat büyük çıkar

   ② Birimleri karıştırmak → N/mm² doğrudan MPa; m²'ye çevirirken 10−6

   ③ En büyük kuvvetin olduğu yerde en büyük gerilme var sanmak → kesit değişiyorsa her bölümde P / A

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: çapı yarıçap sanmak. Alan pi çarpı yarıçapın karesidir; çapla hesaplarsanız alan dört kat büyük çıkar. İki: birimleri karıştırmak. Newton bölü milimetrekare doğrudan megapaskaldır; metrekareye çevirirken on üzeri eksi altıyı unutmayın. Üç: en büyük kuvvetin olduğu yerde en büyük gerilme var sanmak. Kesit değişiyorsa her bölüm için kuvvet bölü alanı ayrı ayrı hesaplayın.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Gerilme: iç kuvvetin yoğunluğu — dik bileşen σ, paralel bileşen τ

    Ortalama normal gerilme: σ = P / A; kesit değişiyorsa her bölüm ayrı

    Sıradaki ders: ortalama kayma gerilmesi

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Gerilme, kesitteki iç kuvvetin yoğunluğudur: dik bileşen normal gerilme, paralel bileşen kayma gerilmesidir. Eksenel yüklü bir çubukta ortalama normal gerilme, eksenel kuvvet bölü kesit alanıdır; kesit değişiyorsa her bölüme ayrı bakılır. Bir sonraki Mukavemet dersinde kesme kuvvetinin oluşturduğu ortalama kayma gerilmesine geçeceğiz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Gerilme ve Ortalama Normal Gerilme (8:04)