#05 Şekil Değiştirme: Birim Uzama ve Kayma Şekil Değiştirmesi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: emniyet gerilmesi ve bağlantı tasarımı — kuvvetin malzemeyi ne kadar zorladığı

   Ama yük cismin boyunu ve biçimini de değiştirir

   Bugün: bu ikinci etkinin ölçüsü — şekil değiştirme

   Boyda değişim: birim uzama; açıda değişim: kayma şekil değiştirmesi

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste emniyet gerilmesini ve basit bağlantıların tasarımını gördük; hep kuvvetin malzemeyi ne kadar zorladığına baktık. Ama yük cisme bir şey daha yapar: onun boyunu ve biçimini değiştirir. Bugün bu ikinci etkiyi ölçmeyi öğreniyoruz: şekil değiştirme. Boydaki değişimi birim uzamayla, açıdaki değişimi kayma şekil değiştirmesiyle anlatacağız.

2. 2. Hangisi Daha Çok Şekil Değiştirdi?

   

   Çubuk A: 500 mm, uzama 0.5 mm

   Çubuk B: 2000 mm, uzama 1 mm

   Hangisi daha çok şekil değiştirdi? İlk bakışta B — daha çok uzadı

   Her 100 mm'de bir işaret koyalım

   Her 100 mm: A'da +0.1 mm, B'de +0.05 mm

   A'nın malzemesi 2 kat daha çok şekil değiştiriyor

   Belirleyen: birim uzunluk başına uzama

   Sesli anlatım metni

   İki çelik çubuğu çekelim. Birincisi 500 milimetre uzunluğunda ve 0.5 milimetre uzuyor. İkincisi 2000 milimetre uzunluğunda ve 1 milimetre uzuyor. Hangisi daha çok şekil değiştirdi? İlk bakışta ikincisi, çünkü daha çok uzadı. Ama çubukları her 100 milimetrede bir işaretleyip parçalara bakalım: birinci çubukta her 100 milimetrelik parça 0.1 milimetre uzuyor, ikincisinde yalnız 0.05 milimetre. Yani birinci çubuğun malzemesi iki kat daha çok şekil değiştiriyor. Şekil değiştirmeyi toplam uzama değil, birim uzunluk başına uzama belirler.

3. 3. Birim Uzama (Normal Şekil Değiştirme)

   

   fikri tanıma dönüştürelim

   cismin içinde küçük bir doğru parçası: ilk boy Δs, yeni boy Δs'

   ortalama birim uzama ε: boydaki değişim / ilk boy

   εort = (Δs' − Δs) / Δs

   Δs → 0: o noktadaki birim uzama

   ε > 0 uzama, ε < 0 kısalma

   birimsiz; mm/mm ya da μm/m diye yazılır

   değerler çok küçük: örneğin 0.001

   $\displaystyle 0.001 = 1000 \cdot 10-6 = 1000 \mu = 0.1 \%$

   Sesli anlatım metni

   Bu fikri bir tanıma dönüştürelim. Cismin içinde küçük bir doğru parçası düşünelim: yükten önceki boyu ve yükten sonraki yeni boyu. Boydaki değişimin ilk boya oranına ortalama birim uzama denir ve Yunan harfi epsilon ile gösterilir: yeni boy eksi ilk boy, bölü ilk boy. Parçayı noktaya doğru küçültürsek, sınırda o noktadaki birim uzamayı buluruz. Birim uzama pozitifse parça uzamış, negatifse kısalmıştır. İki uzunluğun oranı olduğu için birimsizdir; yine de milimetre bölü milimetre ya da metre başına mikrometre diye yazılır. Mühendislikteki değerler çok küçüktür: örneğin 0.001. Bu, 1000 çarpı 10 üzeri eksi 6'dır ve kısaca 1000 mikro diye okunur; yüzde olarak da 0.1.

4. 4. Kayma Şekil Değiştirmesi

   

   yük açıları da değiştirir

   başlangıçta birbirine dik iki küçük doğru parçası

   şekil değiştirmeden sonra açı θ' ≠ 90°

   kayma şekil değiştirmesi:

   $\displaystyle \gamma =\frac{ \pi }{2 }- \theta '$

   (radyan)

   açı küçüldüyse γ > 0, büyüdüyse γ < 0

   küçük dikdörtgen eleman Δx × Δy

   birim uzamalar kenar boylarını → hacmi değiştirir

   kayma şekil değiştirmeleri köşe açılarını → biçimi değiştirir

   bir noktada 6 bileşen: εx, εy, εz, γxy, γyz, γxz

   Sesli anlatım metni

   Yük yalnız boyları değil açıları da değiştirir. Başlangıçta birbirine dik iki küçük doğru parçası alalım. Şekil değiştirmeden sonra aralarındaki açı artık tam 90 derece değildir. Dik açıdaki bu değişime kayma şekil değiştirmesi denir, Yunan harfi gama ile gösterilir ve her zaman radyanla ölçülür: pi bölü 2 eksi yeni açı. Açı küçüldüyse pozitif, büyüdüyse negatiftir. Küçük bir dikdörtgen eleman düşünelim: birim uzamalar kenarların boyunu, yani hacmi değiştirir; kayma şekil değiştirmeleri köşe açılarını, yani biçimi değiştirir. Bir noktadaki şekil değiştirme durumu altı bileşenle tanımlanır: üç birim uzama ve üç kayma şekil değiştirmesi.

5. 5. Küçük Şekil Değiştirme Kabulü

   

   mühendislikte şekil değiştirmeler çok küçük: ε ≪ 1

   küçük şekil değiştirme kabulü

   küçük açılarda:

   $\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta , \cos \theta \approx 1$

   θ = 0.05 rad: sin 0.04998, tan 0.05004, cos 0.99875

   fark binde birin altında

   bu kabulü iki örnekte kullanacağız

   Sesli anlatım metni

   Mühendislik yapılarında şekil değiştirmeler çok küçüktür; birim uzama, birin yanında ihmal edilecek kadar küçük kalır. Buna küçük şekil değiştirme kabulü denir ve hesapları çok kolaylaştırır: küçük açılarda sinüs ve tanjant açının kendisine, kosinüs de bire eşit alınabilir. Örneğin 0.05 radyanlık bir açıda sinüs 0.04998, tanjant 0.05004, kosinüs 0.99875; yani fark binde birin altında. Bu kabulü birazdan iki örnekte kullanacağız.

6. 6. Açılıştaki Çubukların Hesabı

   

   açılıştaki çubuklar

   A: uzama 0.5 mm, ilk boy 500 mm

   $\displaystyle \varepsilon A =\frac{ 0.5 }{ 500 }= 0.001 = 1000 \mu = 0.1 \%$

   B: uzama 1 mm, ilk boy 2000 mm

   $\displaystyle \varepsilon B =\frac{ 1 }{ 2000 }= 0.0005 = 500 \mu$

   A daha az uzadı ama birim uzaması 2 kat büyük

   zorlanmayı birim uzama söyler (sıradaki ders)

   Sesli anlatım metni

   Açılıştaki çubuklara dönelim. Birinci çubuk: uzama 0.5 milimetre, ilk boy 500 milimetre. Birim uzama 0.5 bölü 500, yani 0.001; bu 1000 mikro, yüzde olarak 0.1. İkinci çubuk: uzama 1 milimetre, ilk boy 2000 milimetre. Birim uzama 1 bölü 2000, yani 0.0005; bu da 500 mikro. Birinci çubuk daha az uzadı ama birim uzaması iki kat büyük. Malzemenin ne kadar zorlandığını, bir sonraki derste göreceğimiz gibi, toplam uzama değil birim uzama söyler.

7. 7. Örnek 1: Rijit Kol ve Tel

   

   rijit kol, A'da mafsallı

   B: A'dan 800 mm; düşey tel 1500 mm

   C: A'dan 1200 mm; 3 mm aşağı iner

   teldeki birim uzama?

   kol düz kalır, A etrafında döner → düşüş ∝ uzaklık

   benzer üçgenler: δB = 3 · 800 / 1200 = 2 mm

   tel yukarıdan bağlı → uzama = 2 mm

   $\displaystyle \varepsilon =\frac{ 2 }{ 1500 }\approx 0.001333 \approx 1333 \mu$

   dönme: θ = 3 / 1200 = 0.0025 rad → tan θ ≈ θ

   Sesli anlatım metni

   İlk örnek. Yatay, rijit bir kol A noktasından mafsallı. Kolun B noktası, A'dan 800 milimetre uzakta ve yukarıdaki 1500 milimetrelik düşey bir tele bağlı. Kolun ucu C, A'dan 1200 milimetre uzakta ve yük altında 3 milimetre aşağı iniyor. Teldeki birim uzama ne kadar? Kol rijit olduğu için düz kalır ve A etrafında döner; bu yüzden noktaların düşüşü A'ya olan uzaklıkla orantılıdır. Benzer üçgenlerden B'nin düşüşü: 3 çarpı 800 bölü 1200, yani 2 milimetre. Tel yukarıdan bağlı olduğu için B'nin düşüşü kadar uzar: 2 milimetre. Birim uzama 2 bölü 1500, yaklaşık 0.001333; yani yaklaşık 1333 mikro. Kolun dönme açısı 3 bölü 1200, yani 0.0025 radyan; bu kadar küçük bir açıda tanjant açının kendisine eşit alınabildiği için benzer üçgen hesabı yeterlidir.

8. 8. Örnek 2: Kauçuk Köprü Mesnedi

   

   köprü kirişinin altında kauçuk mesnet

   mesnet kalınlığı 40 mm

   kiriş uzar: üst yüz 2 mm yana kayar, alt yüz yerinde

   kayma şekil değiştirmesi γ?

   dik yan kenar eğilir → tan γ = 2 / 40

   küçük açıda tan γ ≈ γ → γ ≈ 2 / 40

   γ ≈ 0.05 rad

   kesin: 0.04996 rad (fark < binde 1)

   derece:

   $\displaystyle 0.05 \cdot \frac{ 180 }{ \pi }\approx 2.86^{\circ}$

   dik açı → 90° − 2.86° ≈ 87.14°

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnek: köprü kirişinin altındaki kauçuk mesnet. Mesnet 40 milimetre kalınlığında. Sıcaklık değişince kiriş uzar ve mesnedin üst yüzünü 2 milimetre yana kaydırır; alt yüz yerinde kalır. Mesnedin kayma şekil değiştirmesi ne kadar? Başlangıçta dik olan yan kenar eğilir; dik açının değişimi, tanjantı 2 bölü 40 olan açıdır. Küçük açıda tanjant açının kendisine eşit olduğundan kayma şekil değiştirmesi yaklaşık 2 bölü 40, yani 0.05 radyan. Kesin değer 0.04996 radyan; fark binde birin altında. Dereceye çevirirsek 0.05 çarpı 180 bölü pi, yaklaşık 2.86 derece; yani köşedeki dik açı yaklaşık 87.14 dereceye iner.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① Uzamayı birim uzamayla karıştırmak → uzama mm, birim uzama boyutsuz oran

   ② Kayma şekil değiştirmesini derece bırakmak → formüllerde her zaman radyan

   ③ Oranı yeni boya göre almak → birim uzama ilk boya göre

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: uzamayı birim uzamayla karıştırmak; uzama milimetredir, birim uzama boyutsuz bir orandır. İki: kayma şekil değiştirmesini derece olarak bırakmak; formüllerde her zaman radyan kullanılır. Üç: oranı yeni boya göre almak; birim uzama, şekil değiştirmeden önceki ilk boya göre hesaplanır.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Birim uzama: ε = boydaki değişim / ilk boy — boyutsuz, çoğu zaman μ

    Kayma şekil değiştirmesi: dik açının radyan cinsinden değişimi, γ = π/2 − θ'

    Küçük şekil değiştirme:

    $\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta , \cos \theta \approx 1$

    Sıradaki ders: çekme deneyi ve gerilme–şekil değiştirme diyagramı

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Birim uzama, boydaki değişimin ilk boya oranıdır; boyutsuzdur ve çoğu zaman mikro ile ifade edilir. Kayma şekil değiştirmesi, başlangıçta dik olan iki doğru arasındaki açının radyan cinsinden değişimidir. Küçük şekil değiştirmelerde küçük açıların sinüsü ve tanjantı açının kendisine eşit alınır. Bir sonraki Mukavemet dersinde malzemeyi çekme deneyine sokacak ve gerilme ile birim uzama arasındaki ilişkiyi, yani gerilme–şekil değiştirme diyagramını göreceğiz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Şekil Değiştirme: Birim Uzama ve Kayma Şekil Değiştirmesi (6:14)