#07 Hooke Yasası, Şekil Değiştirme Enerjisi, Poisson Oranı ve Kayma Modülü

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: çekme deneyi ve gerilme–şekil değiştirme diyagramı

   Çelikte dört bölge: elastik, akma, pekleşme, boyun verme

   Tasarımda neredeyse hep elastik bölgede kalırız

   Bugün: baştaki doğru — Hooke yasası ve elastisite modülü

   Sonra: depolanan enerji, Poisson oranı ve kaymada G

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste çekme deneyini ve gerilme–şekil değiştirme diyagramını gördük. Çelik için dört bölge vardı: elastik bölge, akma, pekleşme ve boyun verme. Tasarımda neredeyse hep ilk bölgede, yani elastik bölgede kalırız. Bugün diyagramın başındaki o doğruya yakından bakıyoruz: Huk yasası ve elastisite modülü. Ardından malzemede depolanan enerjiyi, çubuk uzarken neden inceldiğini, yani Puason oranını, ve aynı yasanın kaymadaki karşılığını göreceğiz.

2. 2. Çubuk Uzarken Ne Olur?

   

   Deney makinesinde yassı çelik çubuk; yüzünde 10 mm'lik kareler

   Çekince uzar: kareler boyuna uzar

   Aynı anda daralır: çubuk incelir

   Yük kalkınca tam eski haline döner

   Yeniden çekince aynı yoldan uzar ve incelir

   Uzama ne kadar? İncelme uzamanın ne kadarı?

   Cevap iki malzeme sabitinde: E ve ν

   Sesli anlatım metni

   Deney makinesine yassı bir çelik çubuk bağlayalım ve yüzüne kareler çizelim. Çekmeye başlayınca çubuk uzar, kareler boyuna uzar. Ama dikkat edin: kareler aynı anda daralır; çubuk incelir. Yükü kaldırınca çubuk tam olarak eski haline döner. Yeniden çekince aynı yoldan uzar ve yine incelir. İki soru soralım: bu uzama ne kadar, ve incelme uzamanın ne kadarı? İkisinin cevabı da bugün göreceğimiz malzeme sabitlerinde.

3. 3. Hooke Yasası ve Elastisite Modülü

   

   diyagramın başındaki doğru ne anlatıyor?

   σ iki katına çıkınca ε de iki katına çıkar: orantılı

   Robert Hooke, 1676 (yaylarla)

   Hooke yasası:

   $\displaystyle \sigma = E \varepsilon$

   E: elastisite (Young) modülü = doğrunun eğimi

   ε birimsiz → E, gerilme birimiyle (GPa)

   geçen ders: doğrunun sonu 320 MPa, ε = 0.0016

   E = 320 / 0.0016 = 200000 MPa = 200 GPa

   neredeyse bütün çelikler ≈ 200 GPa

   alüminyum ≈ 70 GPa; kauçuk ≈ 0.7 MPa

   E = rijitlik: büyükse aynı σ'da daha az uzar

   yalnız doğrusal bölgede: σ ≤ σpl

   Sesli anlatım metni

   Diyagramın başındaki doğru ne anlatıyor? Gerilme iki katına çıkınca birim uzama da iki katına çıkıyor; yani ikisi orantılı. Bunu 1676'da Robert Huk yaylarla deneyerek buldu; bu yüzden Huk yasası diyoruz: gerilme eşittir elastisite modülü çarpı birim uzama. Elastisite modülü, diğer adıyla Yang modülü, bu doğrunun eğimidir. Birim uzamanın birimi olmadığı için elastisite modülü gerilmeyle aynı birimdedir; genellikle gigapaskal kullanırız. Geçen dersteki çelik numunede doğrunun sonu 320 megapaskal ve 0.0016'ydı. Eğim 320 bölü 0.0016, yani 200000 megapaskal; bu da 200 gigapaskal. Neredeyse bütün çelikler bu değere sahiptir. Alüminyumda yaklaşık 70 gigapaskal, kauçukta ise yalnızca 0.7 megapaskal civarındadır. Elastisite modülü malzemenin rijitliğidir: büyükse, aynı gerilmede daha az uzar. Ama unutmayın: bu yasa yalnızca doğrusal bölgede, orantı sınırının altında geçerlidir.

4. 4. Akmadan Sonra Boşaltma: Pekleşme

   

   akmadan sonra yükü kaldırırsak?

   çelik 420 MPa'a, ε = 0.06'ya kadar çekildi

   boşaltma: ilk doğruya paralel (eğim yine E)

   geri kazanılan:

   $\displaystyle \frac{420 }{ 200000 }= 0.0021$

   kalıcı:

   $\displaystyle 0.06 - 0.0021 = 0.0579$

   50 mm'de: 0.0579 · 50 ≈ 2.9 mm → işaretler ≈ 52.9 mm

   yeniden yükleme: aynı paralel doğru, 420 MPa'a kadar elastik

   akma noktası yükseldi: pekleşme

   bedeli: daha az süneklik (plastik bölge kısalır)

   Sesli anlatım metni

   Peki yükü akmadan sonra kaldırırsak ne olur? Geçen dersteki çeliği pekleşme bölgesinde 420 megapaskala, 0.06 birim uzamaya kadar çektiğimizi düşünelim. Yükü kaldırınca numune ilk doğruya paralel bir doğru boyunca geri gelir; çünkü atomları geri çeken kuvvetler aynıdır ve eğim yine elastisite modülüdür. Geri kazanılan elastik birim uzama 420 bölü 200000, yani 0.0021. Kalıcı birim uzama 0.06 eksi 0.0021, yani 0.0579. 50 milimetrelik ölçü boyunda bu, 0.0579 çarpı 50, yaklaşık 2.9 milimetre kalıcı uzama demek; işaretler artık yaklaşık 52.9 milimetre arayla durur. Numuneyi yeniden yüklersek aynı paralel doğrudan çıkar ve 420 megapaskala kadar elastik kalır. Akma noktası yükselmiştir; buna pekleşme denir. Bedeli de vardır: malzeme daha az sünek olur, kopmadan önceki plastik bölgesi kısalır.

5. 5. Şekil Değiştirme Enerjisi

   

   yapılan iş → şekil değiştirme enerjisi

   kuvvet 0'dan doğrusal artar → iş = ½ F δ

   birim hacim:

   $\displaystyle u = ½ \sigma \varepsilon$

   (üçgenin alanı)

   birim: MPa = MJ/m³

   orantı sınırına kadar: rezilyans modülü ur

   ur = ½ · 320 · 0.0016 = 0.256 MJ/m³

   ya da σ² / 2E:

   $\displaystyle 320² = 102400;\frac{ 102400 }{ 400000 }= 0.256$

   ölçü bölümü: 113.1 · 50 ≈ 5655 mm³

   U = 0.256 · 5655 ≈ 1448 N·mm ≈ 1.45 J → 1 kg'ı ≈ 15 cm kaldırır

   kopmaya kadar tüm alan: tokluk modülü ut

   kabaca 420 · 0.25 ≈ 105 MJ/m³ ≈ 400 × ur

   kazara aşırı yüklenebilecek parçalarda tokluk önemli

   Sesli anlatım metni

   Çubuğu çekerken yaptığımız iş kaybolmaz; malzemenin içinde şekil değiştirme enerjisi olarak depolanır. Kuvvet sıfırdan başlayıp doğrusal arttığı için yapılan iş, ortalama kuvvet çarpı uzamadır; ortalama kuvvet de son kuvvetin yarısıdır. Birim hacim için bu, gerilme çarpı birim uzamanın yarısı eder; yani diyagramın altındaki üçgenin alanı. Birimi megapaskaldır ve megapaskal, megajul bölü metreküpe eşittir. Orantı sınırına kadar depolanan bu enerjiye rezilyans modülü denir: malzemenin kalıcı hasar almadan yutabildiği enerji. Çeliğimiz için yarım çarpı 320 çarpı 0.0016, yani 0.256 megajul bölü metreküp. Aynı sonucu gerilmenin karesini iki kere elastisite modülüne bölerek de buluruz: 320'nin karesi 102400, bölü 400000, yine 0.256. Numunenin ölçü bölümünün hacmi 113.1 çarpı 50, yaklaşık 5655 milimetreküp. Burada depolanan enerji yaklaşık 1.45 jul; bir kilogramlık bir kütleyi yaklaşık 15 santimetre kaldırmaya yeter. Kopmaya kadar eğrinin altındaki bütün alana ise tokluk modülü denir. Kabaca ortalama 420 megapaskal çarpı 0.25 birim uzama, yani yaklaşık 105 megajul bölü metreküp: rezilyansın yaklaşık 400 katı. Kazara aşırı yüklenebilecek parçalarda bu yüzden tokluk önemlidir.

6. 6. Poisson Oranı

   

   açılıştaki incelme

   lastik bant çekilince uzar ve incelir

   çelik de incelir, yalnız çok daha az

   εboy = δ / L; εyan = Δd / d

   Poisson (1800'lerin başı): elastik bölgede oran sabit

   ν = − εyan / εboy

   εboy artı, εyan eksi → ν pozitif

   yandan kuvvet yok: daralma yalnız eksenel kuvvetten

   ν birimsiz; 0 ≤ ν ≤ 0.5

   çelik ≈ 0.3, alüminyum ≈ 0.33, kauçuk ≈ 0.5

   mantar ≈ 0 → tıpa şişmeden itilir

   Sesli anlatım metni

   Şimdi açılıştaki incelmeye dönelim. Bir lastik bandı çektiğinizde hem uzar hem incelir. Çelik de aynısını yapar, yalnızca çok daha az. Boyuna birim uzama, boydaki uzama bölü ilk boydur; yanal birim uzama ise çaptaki değişim bölü ilk çaptır. 1800'lerin başında Puason, elastik bölgede bu ikisinin oranının sabit kaldığını gösterdi. Puason oranı, eksi yanal birim uzama bölü boyuna birim uzamadır. Eksi işaret oranı pozitif yapmak için var: çubuk uzarken incelir, yani iki birim uzamanın işaretleri zıttır. Dikkat: çubuğa yandan hiçbir kuvvet uygulanmadı; incelme yalnızca eksenel kuvvetten gelir. Puason oranı birimsizdir ve sıfır ile 0.5 arasında kalır. Çelikte yaklaşık 0.3, alüminyumda 0.33, kauçukta 0.5'e çok yakındır. Mantarda ise neredeyse sıfırdır; bu yüzden mantar tıpa şişenin ağzına şişmeden itilebilir.

7. 7. Açılıştaki Çubuğun Hesabı

   

   açılıştaki çubuk

   kesit 40 × 20 mm, L = 500 mm, P = 120 kN

   çelik: E = 200 GPa = 200000 MPa, ν = 0.3

   A = 40 · 20 = 800 mm²

   σ = 120000 N / 800 mm² = 150 MPa → orantı sınırının altında

   εboy = 150 / 200000 = 0.00075

   δ = 0.00075 · 500 = 0.375 mm

   εyan = −0.3 · 0.00075 = −0.000225

   genişlik: 40 · 0.000225 = 0.009 mm azalır

   kalınlık: 20 · 0.000225 = 0.0045 mm azalır

   ≈ 1/3 mm uzar, eni yalnız 9 μm daralır

   açılışta 400 kat abartılı çizildi

   Sesli anlatım metni

   Açılıştaki çubuğun sayılarını hesaplayalım. Kesit 40 milimetreye 20 milimetre, boy 500 milimetre, kuvvet 120 kilonewton. Çelik için elastisite modülü 200 gigapaskal, Puason oranı 0.3. Önce alan: 40 çarpı 20, 800 milimetrekare. Gerilme 120000 newton bölü 800 milimetrekare, yani 150 megapaskal; orantı sınırının altında, Huk yasası geçerli. Birim uzama 150 bölü 200000, yani 0.00075. Boydaki uzama 0.00075 çarpı 500, yani 0.375 milimetre. Yanal birim uzama eksi 0.3 çarpı 0.00075, yani eksi 0.000225. Genişlik 40 çarpı 0.000225, yani 0.009 milimetre azalır; kalınlık 20 çarpı 0.000225, yani 0.0045 milimetre azalır. Yani çubuk yaklaşık üçte bir milimetre uzarken eni yalnızca 9 mikrometre daralır; bu bir saç telinin kalınlığının onda biri kadardır. Açılışta bu değişimleri 400 kat abartarak çizdik.

8. 8. Kayma Modülü

   

   kaymada da aynı hikâye

   ince cidarlı boru burulur → τ–γ diyagramı

   başta doğru:

   $\displaystyle \tau = G \gamma$

   kaymada Hooke yasası; G: kayma (rijitlik) modülü

   üç sabit bağlı:

   $\displaystyle G =\frac{ E }{ 2\left(1 + \nu \right)}$

   çelik: 200 / (2 · 1.3) = 200 / 2.6 ≈ 76.9 GPa

   geçen dersin kauçuk mesnedi: γ = 0.05 rad

   mesnet kauçuğu: G ≈ 0.9 MPa

   τ = 0.9 · 0.05 = 0.045 MPa

   300 × 300 mm → A = 90000 mm²

   V = 0.045 · 90000 = 4050 N ≈ 4 kN

   Sesli anlatım metni

   Kaymada da aynı hikâye var. İnce cidarlı bir boru burularak kayma gerilmesi ile kayma şekil değiştirmesi arasındaki diyagram çıkarılır. Başlangıçta yine bir doğru vardır: kayma gerilmesi eşittir kayma modülü çarpı kayma şekil değiştirmesi. Buna kaymada Huk yasası denir; kayma modülüne rijitlik modülü de denir. Üç sabit birbirine bağlıdır: kayma modülü eşittir elastisite modülü bölü iki çarpı bir artı Puason oranı. Çelik için 200 bölü 2 çarpı 1.3, yani 200 bölü 2.6, yaklaşık 76.9 gigapaskal. Geçen dersteki kauçuk köprü mesnedini hatırlayın: kayma şekil değiştirmesi 0.05 radyandı. Mesnet kauçuğunun kayma modülü yaklaşık 0.9 megapaskal olsun. Kayma gerilmesi 0.9 çarpı 0.05, yani 0.045 megapaskal. Mesnet 300 milimetreye 300 milimetre ise alan 90000 milimetrekare; üst yüzü 2 milimetre kaydırmak için gereken yatay kuvvet 0.045 çarpı 90000, yani 4050 newton; yaklaşık 4 kilonewton.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① Hooke yasasını orantı sınırının üstünde kullanmak → akmadan sonra σ ile ε orantılı değil

   ② Birimleri karıştırmak → önce 200 GPa = 200000 MPa yazın

   ③ Poisson oranında eksiyi unutmak ya da daralmayı yan kuvvete bağlamak → daralma eksenel kuvvetten; 0 ≤ ν ≤ 0.5

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: Huk yasasını orantı sınırının üstünde kullanmak; akmadan sonra gerilme ile birim uzama artık orantılı değildir. İki: birimleri karıştırmak; gigapaskalı megapaskala çevirmeden bölmek. 150 megapaskalı 200 gigapaskala bölerken önce 200 gigapaskalı 200000 megapaskal olarak yazın. Üç: Puason oranında eksi işaretini unutmak ya da yanal daralmayı yandan gelen bir kuvvete bağlamak; daralma yalnızca eksenel kuvvetten gelir ve Puason oranı hiçbir zaman 0.5'i geçmez.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Hooke yasası: σ = E ε; E = rijitlik, çelikte 200 GPa

    Pekleşme: boşaltma ilk doğruya paralel; kalıcı uzama kalır, akma noktası yükselir

    Enerji: diyagramın altındaki alan — orantı sınırına kadar rezilyans, kopmaya kadar tokluk

    Poisson: ν = −εyan / εboy; kayma: τ = G γ, G = E / 2(1 + ν)

    Sünme (zamanla artan şekil değiştirme) ve yorulma (tekrarlanan yük) ileride

    Sıradaki ders: eksenel yük — Saint-Venant ilkesi ve elastik uzama

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Doğrusal bölgede gerilme eşittir elastisite modülü çarpı birim uzama; elastisite modülü rijitliktir, çelikte 200 gigapaskal. Akmadan sonra yük kaldırılınca numune ilk doğruya paralel geri gelir, kalıcı uzama kalır ve akma noktası yükselir. Şekil değiştirme enerjisi diyagramın altındaki alandır: orantı sınırına kadar rezilyans, kopmaya kadar tokluk. Puason oranı yanal daralmanın boyuna uzamaya oranıdır; kayma modülü de elastisite modülü ile Puason oranından bulunur. Uzun süre yük altında kalan parçalarda zamanla artan şekil değiştirmeye sünme, tekrarlanan yükler altındaki kırılmaya yorulma denir; onlara ileride döneceğiz. Bir sonraki Mukavemet dersinde eksenel yüklü elemanların uzamasını hesaplayacağız: Sen Venan ilkesi ve elastik uzama. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Hooke Yasası, Şekil Değiştirme Enerjisi, Poisson Oranı ve Kayma Modülü (9:32)