#09 Hiperstatik Eksenel Yüklü Elemanlar ve Kuvvet Yöntemi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: eksenel yüklü çubuğun uzaması, δ = P L / (A E)

   İç kuvvetleri hep denge denklemlerinden bulduk

   Denge denklemleri yetmezse?

   Bugün: hiperstatik (statikçe belirsiz) eksenel yüklü elemanlar

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste eksenel yüklü bir çubuğun ne kadar uzadığını bulduk: uzama eşittir normal kuvvet çarpı boy, bölü kesit alanı çarpı elastisite modülü. İç kuvvetleri her seferinde denge denklemlerinden bulmuştuk. Peki denge denklemleri yetmezse ne olur? Bugün bilinmeyen sayısının denge denklemlerinden fazla olduğu elemanlara bakıyoruz: hiperstatik, yani statikçe belirsiz eksenel yüklü elemanlar.

2. 2. Yükü Kim Taşıyor?

   

   Bir binanın betonarme kolonu

   Kesit 300 × 300 mm; içinde 4 çelik donatı

   Döşemeden 900 kN yük

   Ne kadarını beton, ne kadarını çelik taşır?

   Denge tek denklem: Fbeton + Fçelik = 900 kN

   İki bilinmeyen, tek denklem

   Cevap şekil değiştirmede: beton ve çelik aynı miktarda kısalır

   Sesli anlatım metni

   Bir binanın betonarme kolonunu düşünelim. Kesiti 300 milimetreye 300 milimetre, içinde dört çelik donatı çubuğu var. Üstündeki döşemeden 900 kilonewton yük geliyor. Bu yükün ne kadarını beton, ne kadarını çelik taşır? Denge bize tek bir denklem verir: betonun taşıdığı artı çeliğin taşıdığı eşittir 900 kilonewton. İki bilinmeyen, tek denklem. Cevabı yükte değil, şekil değiştirmede ararız: beton ile çelik birbirine sıkıca yapışık olduğu için ikisi birlikte, aynı miktarda kısalır.

3. 3. Denge Yetmediğinde

   

   önce basit bir örnek

   çelik çubuk 10 × 10 mm, L = 1000 mm, iki ucu duvarda

   sol duvar A, sağ duvar B

   C (A'dan 400 mm): 20 kN → B'ye doğru

   serbest cisim: iki tepki, FA ve FB

   ΣFx = 0: FA + FB = 20 kN

   2 bilinmeyen, 1 denklem → hiperstatik

   eksik denklem: şekil değiştirmeden

   duvarlar sabit → toplam boy değişmez: AC uzar, CB aynı miktar kısalır

   uygunluk koşulu: δB/A = δAC + δCB = 0

   Sesli anlatım metni

   Önce daha basit bir çubukla başlayalım. Kesiti 10 milimetreye 10 milimetre olan çelik bir çubuk, iki ucundan iki duvara sıkıca bağlı; boyu 1000 milimetre. Sol duvar A, sağ duvar B. A'dan 400 milimetre uzaktaki C noktasına, B'ye doğru 20 kilonewtonluk bir kuvvet uygulanıyor. Serbest cisim diyagramını çizelim: iki duvar da çubuğa birer tepki uygular, A tepkisi ve B tepkisi. Yatay denge tek bir denklem verir: A tepkisi artı B tepkisi eşittir 20 kilonewton. İki bilinmeyen, bir denklem: bu çubuk statikçe belirsizdir, yani hiperstatiktir. Eksik denklemi şekil değiştirme verir. Duvarlar hareket etmediği için çubuğun toplam boyu değişemez: A'dan C'ye olan parça uzarsa, C'den B'ye olan parça aynı miktarda kısalmak zorundadır. Buna uygunluk koşulu denir: B'nin A'ya göre yer değiştirmesi sıfırdır.

4. 4. İki Duvar Arasında Çubuk: Çözüm

   

   AC: çekme, N = +FA; CB: basınç, N = −FB

   $\displaystyle A E = 100 \cdot 200000 = 20000000 N$

   FA · 400 / 20000000 − FB · 600 / 20000000 = 0

   payda sadeleşir: FA · 400 = FB · 600

   FA = 600 / 400 · FB = 1.5 FB

   denge: 1.5 FB + FB = 2.5 FB = 20

   FB = 20 / 2.5 = 8 kN

   FA = 20 − 8 = 12 kN

   kısa parça daha rijit → daha çok yük

   genel: FA = P · LCB / L = 20 · 600 / 1000 = 12

   σAC = 12000 / 100 = 120 MPa; σCB = −8000 / 100 = −80 MPa

   δC = 12000 · 400 / 20000000 = 4800000 / 20000000 = 0.24 mm

   Sesli anlatım metni

   Şimdi sayılarla çözelim. AC parçası çekmede, iç kuvveti A tepkisine eşit; CB parçası basınçta, iç kuvveti eksi B tepkisi. Kesit alanı 100 milimetrekare, elastisite modülü 200000 newton bölü milimetrekare; ikisinin çarpımı 20 milyon newton. Uygunluk koşulu: A tepkisi çarpı 400, bölü 20 milyon, eksi B tepkisi çarpı 600, bölü 20 milyon, eşittir sıfır. Payda iki terimde de aynı, sadeleşir: A tepkisi çarpı 400 eşittir B tepkisi çarpı 600. Yani A tepkisi, 600 bölü 400, yani 1.5 çarpı B tepkisidir. Bunu denge denklemine koyalım: 1.5 çarpı B tepkisi artı B tepkisi, yani 2.5 çarpı B tepkisi, eşittir 20. B tepkisi 20 bölü 2.5, yani 8 kilonewton. A tepkisi 20 eksi 8, yani 12 kilonewton. Kısa parça daha rijit olduğu için yükün büyük kısmını o taşır. Genel formül de bunu söyler: A tepkisi, kuvvet çarpı CB'nin boyu bölü toplam boy; 20 çarpı 600 bölü 1000, yine 12. Gerilmeler: AC'de 12000 bölü 100, yani 120 megapaskal çekme; CB'de 8000 bölü 100, yani 80 megapaskal basınç. C noktası ne kadar kayar? 12000 çarpı 400, bölü 20 milyon; 4.8 milyon bölü 20 milyon, yani 0.24 milimetre, B'ye doğru.

5. 5. Hiperstatik Problemin Adımları

   

   her hiperstatik problemde aynı adımlar

   ① denge: serbest cisim, bilinmeyen ve denklem say

   ② uygunluk: yer değiştirme şekli, geometrik koşul

   ③ kuvvet – uzama: δ = P L / (A E) ile bilinmeyene bağla

   ④ denge ve uygunluğu birlikte çöz

   eksi sonuç → kuvvet varsayılan yönün tersine

   Sesli anlatım metni

   Bu adımlar her hiperstatik problemde aynıdır. Bir: denge. Serbest cisim diyagramını çiz, bilinmeyenleri ve denklemleri say; bilinmeyen fazlaysa problem hiperstatiktir. İki: uygunluk. Elemanın nasıl şekil değiştireceğini düşün, bir yer değiştirme şekli çiz ve geometrik koşulu yaz. Üç: kuvvet ile şekil değiştirme arasındaki ilişki. Uzamaları, normal kuvvet çarpı boy bölü kesit alanı çarpı elastisite modülü formülüyle bilinmeyen kuvvetlere bağla. Dört: denge ve uygunluk denklemlerini birlikte çöz. Bir kuvvet eksi çıkarsa, serbest cisim diyagramında varsaydığın yönün tersine etkiyordur.

6. 6. Betonarme Kolon

   

   açılıştaki kolon: 300 × 300 mm, 4 × Ø20 donatı, 900 kN

   As = 4 · π · 10 · 10 ≈ 1256.6 mm²

   300 · 300 = 90000 → Ac ≈ 88743.4 mm²

   Es = 200 GPa, Ec = 25 GPa

   denge: Fc + Fs = 900 kN

   uygunluk:

   $\displaystyle \delta c = \delta s$

   (aynı boy, aynı kısalma)

   Fc / (Ac Ec) = Fs / (As Es)

   1256.6 · 200 ≈ 251327; 88743.4 · 25 ≈ 2218584 → Fs ≈ 0.1133 Fc

   Fc · 1.1133 = 900

   Fc ≈ 808.4 kN; Fs = 900 − 808.4 = 91.6 kN

   σc = 808400 / 88743.4 ≈ 9.11 MPa

   σs = 91600 / 1256.6 ≈ 72.9 MPa

   σs / σc = 8 = 200 / 25 = Es / Ec

   çelik: alanın %1.4'ü, yükün %10.2'si

   δ = 9.11 · 3000 / 25000 ≈ 1.09 mm

   Sesli anlatım metni

   Şimdi açılıştaki kolona dönelim. Dört donatı çubuğunun çapı 20 milimetre. Çeliğin alanı 4 çarpı pi çarpı 10 çarpı 10, yaklaşık 1256.6 milimetrekare. Kesitin tamamı 300 çarpı 300, yani 90000 milimetrekare; betonun alanı bundan çeliği çıkarınca yaklaşık 88743.4 milimetrekare. Çeliğin elastisite modülü 200, betonunki 25 gigapaskal. Denge: betonun kuvveti artı çeliğin kuvveti eşittir 900 kilonewton. Uygunluk: ikisi aynı boyda ve aynı miktarda kısalır. Boylar eşit olduğu için sadeleşir: betonun kuvveti bölü alanı çarpı modülü, eşittir çeliğin kuvveti bölü alanı çarpı modülü. Buradan çeliğin kuvveti eşittir betonun kuvveti çarpı bir oran. 1256.6 çarpı 200, yaklaşık 251327; 88743.4 çarpı 25, yaklaşık 2218584; ikisinin oranı yaklaşık 0.1133. Dengeye koyalım: betonun kuvveti çarpı 1.1133 eşittir 900. Betonun kuvveti yaklaşık 808.4 kilonewton; çeliğinki 900 eksi 808.4, yani 91.6 kilonewton. Gerilmeler: betonda 808400 bölü 88743.4, yaklaşık 9.11 megapaskal; çelikte 91600 bölü 1256.6, yaklaşık 72.9 megapaskal. Çelikteki gerilme betondakinin tam 8 katı; bu da 200 bölü 25, yani elastisite modüllerinin oranı. Çünkü ikisinin birim uzaması aynı. Çelik, kesitin yalnızca yüzde 1.4'ü olduğu halde yükün yüzde 10.2'sini taşıyor. 3 metrelik kolon 9.11 çarpı 3000 bölü 25000, yaklaşık 1.09 milimetre kısalır.

7. 7. Kuvvet Yöntemi

   

   kuvvet yöntemi

   aynı çubuk; B ile duvar arasında 0.1 mm boşluk

   ① B'yi fazlalık say, kaldır

   çubuk yalnız A'da: statikçe belirli

   AC: 20000 · 400 / 20000000 = 8000000 / 20000000 = 0.4 mm

   CB'de kuvvet yok → B de 0.4 mm kayar

   0.4 > 0.1 → B duvara değer

   ② yalnız FB: FB · 1000 / 20000000 = FB / 20000

   süperpozisyon: 0.4 − FB / 20000 = 0.1

   FB / 20000 = 0.3 → FB = 6000 N = 6 kN

   denge: FA = 20 − 6 = 14 kN

   boşluksuz: FB = 8 kN → boşluk yükü hafifletti

   boşluk > 0.4 mm → FB < 0: temas yok, bütün yük A'da

   Sesli anlatım metni

   Aynı tür problemi başka bir yoldan da çözebiliriz: kuvvet yöntemi. Az önceki çelik çubuğa dönelim, ama bu kez B ucu ile sağ duvar arasında 0.1 milimetrelik bir boşluk olsun. Önce B'deki desteği fazlalık sayıp kaldıralım. Çubuk artık yalnızca A'ya bağlı ve statikçe belirli. 20 kilonewton yalnızca AC parçasını çeker: 20000 çarpı 400, bölü 20 milyon; 8 milyon bölü 20 milyon, yani 0.4 milimetre. CB parçasında kuvvet yok, bu yüzden B ucu da C ile birlikte 0.4 milimetre kayar. Boşluk 0.1 milimetre olduğuna göre B duvara değer. Şimdi yalnızca B tepkisini uygulayalım: bütün çubuğu kısaltır; B tepkisi çarpı 1000, bölü 20 milyon, yani B tepkisi bölü 20000. Süperpozisyonla uygunluk: 0.4 eksi B tepkisi bölü 20000, eşittir boşluk, yani 0.1. Buradan B tepkisi bölü 20000 eşittir 0.3; B tepkisi 6000 newton, yani 6 kilonewton. Denge: A tepkisi 20 eksi 6, yani 14 kilonewton. Boşluk olmasaydı aynı denklemden 8 kilonewton bulurduk; boşluk B'nin yükünü hafifletti. Boşluk 0.4 milimetreden büyük olsaydı B tepkisi eksi çıkardı: bu, B'nin duvara hiç değmediği anlamına gelir; o zaman bütün yükü A taşır.

8. 8. Üç Tuzak

   

   ① Yükü eşit ya da alanla orantılı paylaştırmak → paylaşımı rijitlik belirler

   ② Uygunlukta işaretleri karıştırmak → çekmedeki parça uzar, basınçtaki kısalır; toplam sıfır

   ③ Boşlukta teması kontrol etmemek → tepki eksi çıkarsa temas yok

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: yükü parçalara eşit ya da alanlarla orantılı paylaştırmak. Paylaşımı rijitlik belirler; daha kısa ya da daha rijit parça daha çok yük taşır. İki: uygunluk denkleminde işaretleri karıştırmak. Çekmedeki parça uzar, basınçtaki parça kısalır; iki duvar arasında toplam uzama sıfırdır. Üç: boşluklu problemde teması kontrol etmemek. Önce teması varsay; tepki eksi çıkarsa temas yoktur.

9. 9. Özet ve Sıradaki Ders

   

   Hiperstatik: bilinmeyen sayısı denge denklemlerinden fazla

   Uygunluk: parçalar birbirine ve mesnetlere uyacak şekilde şekil değiştirir

   Bağlantı: δ = P L / (A E) uzamaları kuvvetlere bağlar

   Kuvvet yöntemi: fazlalığı kaldır, etkisini süperpozisyonla geri ekle

   Yükü rijitlik paylaştırır: kolonda çelik küçük alanıyla büyük pay taşır

   Sıradaki ders: ısıl gerilme ve gerilme yığılması

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Bilinmeyen sayısı denge denklemlerinden fazlaysa eleman hiperstatiktir. Eksik denklemleri uygunluk koşulları verir: parçalar birbirine ve mesnetlere uyacak şekilde şekil değiştirmelidir. Uzamaları kuvvetlere bağlayan ilişki, normal kuvvet çarpı boy bölü kesit alanı çarpı elastisite modülüdür. Kuvvet yönteminde bir mesnedi fazlalık sayar, kaldırır ve etkisini süperpozisyonla geri ekleriz. Yükü rijitlik paylaştırır: betonarme kolonda çelik, küçük alanıyla yükün önemli bir kısmını taşır. Bir sonraki Mukavemet dersinde sıcaklık değişiminin yarattığı ısıl gerilmeye ve delik ya da kademe gibi yerlerdeki gerilme yığılmasına bakacağız. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Hiperstatik Eksenel Yüklü Elemanlar ve Kuvvet Yöntemi (8:51)