#21 bileşik analog sinyalde DC ile 1/4-kHz bileşenlerini ayırma, 8-kHz textbook Nyquist alt sınırını uygulanabilir örnekleme hızından ayırma, 256 seviye için 8 bit ve 64-kbit/s ham PCM hesabı, 5/32-kHz örnekleme ile ses/video kapsamını değerlendirme

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Bileşik sinyali aç ve çözüm hedeflerini kur

   

   Tekrar hoş geldiniz.

   Bugün analog bir sinyali dijital bit akışına çeviren klasik Nyquist ve PCM hesaplamasını çözüyoruz.

   İşte analog sinyalimiz: x(t) eşittir beş çarpı parantez bir artı sıfır nokta beş sinüs iki bin pi t eksi kosinüs sekiz bin pi t parantez kapanır.

   Yapacağımız iş üç adım.

   Birincisi, ideal bandlimited modelde gereken textbook örnekleme alt sınırı ve gerçek tasarım payı.

   İkincisi, iki yüz elli altı nicemleme seviyesi kullanırsak örnek başına kaç bit gerektiği.

   Üçüncüsü, minimum dijital bit hızı.

   Sesli anlatım metni

   Tekrar hoş geldiniz. Bugün analog bir sinyali dijital bit akışına çeviren klasik Nyquist ve Pi Si Em hesaplamasını çözüyoruz. İşte analog sinyalimiz: x t eşittir beş çarpı parantez bir artı sıfır nokta beş sinüs iki bin pi t eksi kosinüs sekiz bin pi t parantez kapanır. Yapacağımız iş üç adım. Birincisi, bilgi kaybı olmadan bu sinyali yakalamak için gereken minimum örnekleme hızı. İkincisi, iki yüz elli altı nicemleme seviyesi kullanırsak örnek başına kaç bit gerektiği. Üçüncüsü, minimum dijital bit hızı.

2. 2. DC, 1 kHz ve 4 kHz bileşenlerinden f_max'i bul

   

   Birinci adım: sinyaldeki en yüksek frekansı bulmak.

   Sinyalde iki salınım bileşeni var.

   Birincisi sinüs iki bin pi t.

   Standart form sinüs iki pi ef t ile karşılaştıralım.

   İki pi ef'i iki bin pi'ye eşitlersek ef eşittir bin hertz, yani bir kilohertz eder.

   İkincisi kosinüs sekiz bin pi t.

   İki pi ef'i sekiz bin pi'ye eşitlersek ef eşittir dört bin hertz, yani dört kilohertz eder.

   Dıştaki 5 dağıtılınca DC bileşeni +5'tir; salınımlı olmayan bu terimin frekansı 0 Hz'dir.

   Sinyaldeki en yüksek frekans ikisinden büyük olanıdır: f_max eşittir dört kilohertz.

   Sesli anlatım metni

   Birinci adım: sinyaldeki en yüksek frekansı bulmak. Sinyalde iki salınım bileşeni var. Birincisi sinüs iki bin pi t. Standart form sinüs iki pi ef t ile karşılaştıralım. İki pi ef'i iki bin pi'ye eşitlersek ef eşittir bin hertz, yani bir kilohertz eder. İkincisi kosinüs sekiz bin pi t. İki pi ef'i sekiz bin pi'ye eşitlersek ef eşittir dört bin hertz, yani dört kilohertz eder. Sabit terim beş ve Di Si ofseti bir salınmıyor, frekans katkıları sıfır. Sinyaldeki en yüksek frekans ikisinden büyük olanıdır: ef maks eşittir dört kilohertz.

3. 3. 8-kHz textbook sınırı ile uygulanabilir örnekleme hızını ayır

   

   İkinci adım: Nyquist örnekleme teoremini uygulayalım.

   İdeal, kesin bandlimited gerçek sinyal modelinde spektral kopyaların örtüşmemesi için textbook Nyquist rate 2f_max'tir; endpoint eşitliği kritik durumdur.

   Textbook alt sınır f_s,N=2f_max'tir; uygulanabilir tasarım anti-alias filtre geçiş bandı için genellikle f_s>2f_max seçer.

   Bu iki çarpı dört bin eder, sonuç saniyede sekiz bin örnek.

   Bu sekiz kilohertz veya saniyede sekiz bin örnek olarak yazılır.

   8 ksample/s burada teorik sınırdır; f_s/2 üzerindeki sinüzoidin phase/amplitude bilgisi eşitlikte dejenere olabilir, kusursuz rekonstrüksiyon ideal bandlimit ve interpolation varsayımlarına bağlıdır.

   Bu tabanbant modeli ek koşulsuz kullanıldığında 8 ksample/s altı aliasing üretir; özgün bileşenler örneklerden tekil olarak belirlenemez.

   Sesli anlatım metni

   İkinci adım: Nyquist örnekleme teoremini uygulayalım. Nyquist bize diyor ki bilgi kaybı olmadan bir sinyali yakalamak için en az en yüksek frekansın iki katı hızında örneklemeliyiz. Minimum örnekleme hızı ef es eşittir iki çarpı ef maks. Bu iki çarpı dört bin eder, sonuç saniyede sekiz bin örnek. Bu sekiz kilohertz veya saniyede sekiz bin örnek olarak yazılır. Bu hızda veya daha yüksekte örneklersek orijinal analog sinyali kusursuz yeniden kurabiliriz. Bu hızın altında örneklersek bükülme oluşur ve bilgi kalıcı olarak kaybolur.

4. 4. 256 seviyeden 8 bit ve 64 kbit/s ham hızı hesapla

   

   Üçüncü adım: nicemleme ve bit hızı.

   Her örnek ikili sayı olarak temsil edilmesi gereken bir voltaj değeridir.

   Problem iki yüz elli altı nicemleme seviyesi kullanmamızı söylüyor.

   Kaç bit gerekli?

   L=256=2⁸ olduğundan sabit uzunluklu ikili kodlama 8 bit/örnek gerektirir.

   Yani her örnek sekiz bit gerektirir.

   Şimdi bit hızı.

   Saniyede sekiz bin örnek alıyoruz ve her örnek sekiz bit.

   Bit hızı eşittir örnekleme hızı çarpı örnek başına bit.

   Sekiz bin çarpı sekiz eşittir saniyede altmış dört bin bit, yani saniyede altmış dört kilobit.

   Bu sayı tanıdık gelecektir.

   64 kbit/s, G.711'in 8-ksample/s ve 8-bit kod sözcüklü tek-kanal PCM payload hızıdır; packet/framing/FEC ek yükü ve diğer codec hızları ayrıca değerlendirilir.

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü adım: nicemleme ve bit hızı. Her örnek ikili sayı olarak temsil edilmesi gereken bir voltaj değeridir. Problem iki yüz elli altı nicemleme seviyesi kullanmamızı söylüyor. Kaç bit gerekli? İki yüz elli altı eşittir ikinin sekizinci kuvveti. Yani her örnek sekiz bit gerektirir. Şimdi bit hızı. Saniyede sekiz bin örnek alıyoruz ve her örnek sekiz bit. Bit hızı eşittir örnekleme hızı çarpı örnek başına bit. Sekiz bin çarpı sekiz eşittir saniyede altmış dört bin bit, yani saniyede altmış dört kilobit. Bu sayı tanıdık gelecektir. Saniyede altmış dört kilobit standart Pi Si Em dijital ses kanalıdır, tüm telefon ağının temel yapı taşıdır.

5. 5. 5 ve 32 ksample/s seçeneklerini aliasing ve oversampling ile değerlendir

   

   Örnekleme hızını değiştirirsek ne olur?

   Önce daha düşük bir hız seçelim: f_s=5 ksample/s.

   Durun, beş kilohertz f_max'ın sadece bir nokta yirmi beş katı.

   Bu sekiz kilohertzlik Nyquist hızının altında.

   4-kHz bileşeni 5-ksample/s örneklemede 1 kHz'e alias olur; özgün 1-kHz bileşenle çakıştığı için bu problemde bilgi kaybı oluşur.

   Şimdi diyelim çok daha yüksek bir hız kullandık, saniyede otuz iki bin örnek.

   f_s=32 ksample/s, f_max'in 8 ve textbook Nyquist rate'in 4 katıdır.

   Aynı 8-bit sabit kodlama sürdürülürse ham hız 32,000×8=256 kbit/s olur; rekonstrüksiyon kalitesi yine filtre, quantization ve noise koşullarına bağlıdır.

   Örnek sayısı 4× artar; oversampling anti-alias/reconstruction filtrelerini gevşetebilir, timing ve noise-shaping tasarımına yarar sağlayabilir.

   8 ksample/s bu alıştırmanın textbook sınırıdır; mühendislik çalışma noktası filtre geçiş bandı, clock toleransı, noise ve converter mimarisiyle seçilir.

   Sesli anlatım metni

   Örnekleme hızını değiştirirsek ne olur? Diyelim ki daha yüksek bir hız kullandık, saniyede beş bin örnek. Durun, beş kilohertz ef maks'ın sadece bir nokta yirmi beş katı. Bu sekiz kilohertzlik Nyquist hızının altında. Sinyal bilgi kaybıyla kurtarılır ki bu kabul edilemez. Şimdi diyelim çok daha yüksek bir hız kullandık, saniyede otuz iki bin örnek. Bu ef maks'ın dört katı. Sinyal kusursuz kurtarılır, ama bit hızı otuz iki bin çarpı sekiz eşittir saniyede iki yüz elli altı kilobit'e fırlar. Hiçbir ekstra bilgi olmadan dört kat veri. Nyquist hızı tatlı noktadır: her şeyi koruyan minimum hız.

6. 6. G.711 ses ve 6-MHz video aritmetiğinin kapsamını sınırla

   

   Tam zinciri özetleyelim.

   Bir analog sinyalle başla.

   Maksimum frekansı çıkar: dört kilohertz.

   Nyquist uygula: iki çarpı dört, saniyede sekiz bin örnek.

   Nicemle: iki yüz elli altı seviye sekiz bit demek.

   Çarp: sekiz bin çarpı sekiz eşittir saniyede altmış dört kilobit.

   Bu aritmetik, G.711 için 64-kbit/s tek-kanal PCM payload'ıyla eşleşir; telefon ses bandı endpoint'ten düşük tutulur.

   Aynı çarpım, tek bir gerçek low-pass örnek akışı ve sabit bit/örnek varsayımında ölçeklenir; band-pass/complex sampling ve çok-bileşenli formatlar ayrıca ele alınır.

   Altı megahertzlik bir televizyon sinyali için: iki çarpı altı megahertz saniyede on iki milyon örnek eder.

   İdeal 6-MHz gerçek low-pass scalar akış için textbook 12 Msample/s × 8 bit=96 Mbit/s ham alt-sınır aritmetiğidir.

   Aynı varsayım altında 12 Msample/s × 10 bit=120 Mbit/s olur; uygulanabilir örnekleme hızı 12 Msample/s'nin üstünde seçilebilir.

   Gerçek video hızı ayrıca component/chroma sampling, çözünürlük, kare hızı, blanking, codec, quality ve overhead tarafından belirlenir; 96/120 Mbit/s evrensel video gereksinimi değildir.

   Sesli anlatım metni

   Tam zinciri özetleyelim. Bir analog sinyalle başla. Maksimum frekansı çıkar: dört kilohertz. Nyquist uygula: iki çarpı dört, saniyede sekiz bin örnek. Nicemle: iki yüz elli altı seviye sekiz bit demek. Çarp: sekiz bin çarpı sekiz eşittir saniyede altmış dört kilobit. Bu bir standart ses kanalı. Aynı yöntem her bant genişliğine ölçeklenir. Altı megahertzlik bir televizyon sinyali için: iki çarpı altı megahertz saniyede on iki milyon örnek eder. Örnek başına sekiz bitte saniyede doksan altı megabit. On bitte saniyede yüz yirmi megabit. Sesten videoya tarif hiç değişmez: frekans, örnekleme, nicemleme, bit hızı.

Kaynak video: Haberleşme Temelleri #21 Örnek Soru Çözümü: Nyquist Teoremi ve PCM (4:22)