#30 basitleştirilmiş tek-tandem yıldız modelinde n yerel santral için E_star=n, tam mesh modelinde E_mesh=C(n,2)=n(n−1)/2 bağımsız kenar/trunk sayısını türetme; n=5, 10 ve 100 için 5/10, 10/45 ve 100/4950 sonuçlarını doğrulama; edge-count ölçeklemesini kapasite, kablo uzunluğu, ekipman ve maliyet eşdeğerliği sanmama; traffic matrix, busy-hour offered traffic, Erlang/blocking grade of service, tandem fabric, routing, redundancy, protection ve lifecycle gates ekleme

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Problem modelini ve karşılaştırmanın yalnız kenar sayısı kapsamını sabitle

   

   Tekrar hoş geldiniz.

   Bugün beş düğümle kolay görünen, ama sayıları biraz büyütünce ilginçleşen bir ağ topolojisi sorusu.

   İşte veriler.

   Basitleştirilmiş graf modeli: beş local exchange düğümü ve tek tandem hub; redundancy, hierarchy ve alternate routing bu ilk sayımda yok.

   Her local–tandem pair için bir 4-Mbit/s trunk edge varsayılıyor; equal rate per edge, star ve mesh'i capacity-equivalent yapmaz.

   Üç sorumuz var.

   a şıkkı: single-tandem star modelinde kaç undirected trunk edge bulunduğunu hesapla.

   b şıkkı: her unordered local pair'e bir direct edge verilen full mesh'te edge count'u hesapla.

   c şıkkı: ağ büyüdükçe bu sayılar yakın kalır mı?

   On santrale, ya da yüz santrale çıkınca ne olur?

   Sesli anlatım metni

   Tekrar hoş geldiniz. Bugün beş düğümle kolay görünen, ama sayıları biraz büyütünce ilginçleşen bir ağ topolojisi sorusu. İşte veriler. Bir şehir hayal edin: beş yerel telefon santrali ve bir tandem santral. Her yerel santral, tandem santralle saniyede dört megabitlik bir trunk üzerinden bağlanıyor. Üç sorumuz var. a şıkkı: tandem ortada dururken kaç adet dört megabit trunk gerekiyor? b şıkkı: tandemi kaldırıp her yerel santrali doğrudan diğer her yerel santrale bağlarsak — yani tam mesh — kaç trunk olur? c şıkkı: ağ büyüdükçe bu sayılar yakın kalır mı? On santrale, ya da yüz santrale çıkınca ne olur?

2. 2. Local, trunk ve tandem terimlerini legacy model sınırlarıyla tanımla

   

   Saymadan önce, sorunun varsaydığı iki kelime hatırlatması.

   Legacy PSTN modelinde local exchange subscriber access'i terminate eden ve çağrıları anahtarlayan düğümdür; modern access/softswitch/packet architectures farklı olabilir.

   Serving area, subscriber count ve call path deployment'a bağlıdır; 'birkaç bin' veya her çağrı için tek universal path varsaymayın.

   Trunk, telefonla santral arasındaki hat değil — iki santral arasındaki yüksek kapasiteli bir hattır.

   Trunk bir exchange-to-exchange resource group/link'tir; rate kbit/s, Mbit/s veya daha yüksek olabilir ve yalnız birimin büyüklüğü multiplexing yöntemini kanıtlamaz.

   Bu problemde tandem yalnız local exchanges arasında transit switching yapan subscriber-less hub olarak modellenir; gerçek node functions deployment'a bağlıdır.

   Yani 'her yerel santrali tandem'e bağla' dediğimizde, her yerel santralden o merkezi tandem anahtarına bir trunk çekmek demek.

   'Tam mesh' dediğimizde, yerel santrallerin her ikilisi arasına ayrı bir trunk çekmek, ortada merkezi düğüm yok.

   İki farklı topoloji, çok farklı iki trunk sayısı.

   Sesli anlatım metni

   Saymadan önce, sorunun varsaydığı iki kelime hatırlatması. Yerel santral, ev telefonunuzun bağlandığı anahtardır. Bir mahalleye, birkaç bin aboneye hizmet verir, ve her yerel arama herhangi bir yere yönlendirilmeden önce buraya uğrar. Trunk, telefonla santral arasındaki hat değil — iki santral arasındaki yüksek kapasiteli bir hattır. Trunk'lar aynı anda birçok arama tarafından paylaşılır, bu yüzden hızları kilobit değil megabit cinsinden ifade edilir. Tandem santral ise kendi abonesi olmayan bir anahtardır — tek görevi diğer santralleri birbirine bağlamaktır. Yani 'her yerel santrali tandem'e bağla' dediğimizde, her yerel santralden o merkezi tandem anahtarına bir trunk çekmek demek. 'Tam mesh' dediğimizde, yerel santrallerin her ikilisi arasına ayrı bir trunk çekmek, ortada merkezi düğüm yok. İki farklı topoloji, çok farklı iki trunk sayısı.

3. 3. Tek-tandem yıldızda E=n ve n=5 için 5 kenarı hesapla

   

   a şıkkı — tandem topolojisi.

   Beş yerel santralimiz var.

   Her biri ortadaki tandem'e tek bir trunk çekiyor.

   Beş yerel, beş trunk.

   O kadar.

   Bu klasik yıldız topolojidir — tandem merkez, yerel santraller ışınlar.

   Bu unprotected single-hub modelinde interlocal call iki trunk hop kullanır: local 1→tandem→local 2; alternate/direct routes eklenirse path değişir.

   Edge count beştir; cost conclusion için tandem fabric/ports/site/power, per-trunk capacity, route length, protection ve operations ayrıca gerekir.

   Sesli anlatım metni

   a şıkkı — tandem topolojisi. Beş yerel santralimiz var. Her biri ortadaki tandem'e tek bir trunk çekiyor. Beş yerel, beş trunk. O kadar. Bu klasik yıldız topolojidir — tandem merkez, yerel santraller ışınlar. İki yerel arasındaki her arama iki trunk atlaması yapar: yerel bir'den tandem'e, sonra tandem'den yerel iki'ye. Bir ekstra anahtarlama adımı, ama toplamda sadece beş trunk maliyeti.

4. 4. Tam mesh'te E=n(n−1)/2 ve n=5 için 10 kenarı türet

   

   b şıkkı — tam mesh, tandem yok.

   Şimdi her yerel santral, diğer her yerel santrale doğrudan bağlı.

   Bağlantıları sayalım.

   Yerel bir'in iki, üç, dört ve beş'e trunk'a ihtiyacı var — dört trunk.

   Yerel iki'nin yerel bir'e zaten trunk'ı var, yeni trunk sadece üç, dört ve beş'e gerek — üç trunk daha.

   Yerel üç dört ve beş'e iki yeni trunk, yerel dört beş'e bir trunk daha, yerel beş zaten herkese bağlı.

   Topla: dört artı üç artı iki artı bir eşittir on.

   Örüntü, bir'den n eksi bir'e kadar olan toplam, yani binom katsayısı n ikili — n çarpı n eksi bir, hepsi bölü iki.

   n eşittir beş için bu beş çarpı dört bölü iki, eşittir on.

   Elle saydığımızla tam aynı.

   Sesli anlatım metni

   b şıkkı — tam mesh, tandem yok. Şimdi her yerel santral, diğer her yerel santrale doğrudan bağlı. Bağlantıları sayalım. Yerel bir'in iki, üç, dört ve beş'e trunk'a ihtiyacı var — dört trunk. Yerel iki'nin yerel bir'e zaten trunk'ı var, yeni trunk sadece üç, dört ve beş'e gerek — üç trunk daha. Yerel üç dört ve beş'e iki yeni trunk, yerel dört beş'e bir trunk daha, yerel beş zaten herkese bağlı. Topla: dört artı üç artı iki artı bir eşittir on. Örüntü, bir'den n eksi bir'e kadar olan toplam, yani binom katsayısı n ikili — n çarpı n eksi bir, hepsi bölü iki. n eşittir beş için bu beş çarpı dört bölü iki, eşittir on. Elle saydığımızla tam aynı.

5. 5. n=5, 10, 100 için doğrusal ve karesel kenar ölçeklemesini karşılaştır

   

   c şıkkı — ve cevabın karakter değiştirdiği yer burası.

   Tandem topolojisi n ile doğrusal büyür.

   Beş yerel, beş trunk.

   On yerel, on trunk.

   Yüz yerel, yüz trunk.

   Mesh, n çarpı n eksi bir bölü iki ile büyür — büyük n için kabaca n karenin yarısı.

   Beş yerel, on trunk.

   On yerel — ve şimdi mesh kırk beş trunk isterken tandem on trunk istiyor.

   Yüz yerel — tandem hâlâ yüz trunk istiyor, ama mesh artık dört bin dokuz yüz elli trunk istiyor.

   4950/100=49,5 yalnız edge-count ratio'dur; cable length, right-of-way, capacity, equipment ve lifecycle cost geometry ve dimensioning farklı olduğu için aynı oranı izlemez.

   City/country exchange inventory time- and operator-dependent external data'dır; bu sayısal örnek n=5, 10 ve 100 ile sınırlıdır.

   Quadratic complete-graph edge growth önemli bir scalability pressure'dır; traffic, routing, resilience, geography, regulation, operations ve economics de architecture'ı belirler.

   Matematik sizi hızlı cezalandırıyor.

   Sesli anlatım metni

   c şıkkı — ve cevabın karakter değiştirdiği yer burası. Tandem topolojisi n ile doğrusal büyür. Beş yerel, beş trunk. On yerel, on trunk. Yüz yerel, yüz trunk. Mesh, n çarpı n eksi bir bölü iki ile büyür — büyük n için kabaca n karenin yarısı. Beş yerel, on trunk. On yerel — ve şimdi mesh kırk beş trunk isterken tandem on trunk istiyor. Yüz yerel — tandem hâlâ yüz trunk istiyor, ama mesh artık dört bin dokuz yüz elli trunk istiyor. Yani neredeyse elli kat daha fazla kablo, elli kat daha fazla geçiş hakkı, elli kat daha fazla bakılacak ekipman. Üstelik bu sayılar PSTN ölçeğinde hâlâ küçük — İstanbul'da yüzlerce yerel santral var, ülke genelinde binlerce. PSTN'lerin neden düz mesh olarak kurulmadığını merak ettiyseniz, tüm sebep bu. Matematik sizi hızlı cezalandırıyor.

6. 6. Trafik kapasitesi, GoS, routing ve dayanıklılık kapılarını ekle

   

   Legacy PSTN'lerde tandem/transit ve hierarchical routing yaygındı; gerçek ve modern networks redundant, alternate-routed, partial-mesh veya packet-core olabilir.

   Trunk sayısının ötesinde üç sebep daha.

   Bir: traffic aggregation pooling/economy sağlayabilir; per-call cost ancak offered load, blocking target, technology, route ve lifecycle cost ile hesaplanır.

   Aggregation birçok circuit/channel'ı shared facilities üzerinde taşıyabilir; synchronous TDM deterministic slotting ile statistical multiplexing farklı mechanisms'dır ve bearer fiber/microwave ile aynı layer değildir.

   İki: bakım sonludur.

   Yüz düğümlü mesh'in neredeyse beş bin trunk'ı var, her biri arızalanabilir, kesilebilir, kötüleşebilir.

   Unprotected counting modelinde 100 access trunk ve bir tandem vardır; bu hub failure/congestion concentration yaratır ve deployable design redundancy/protection ister.

   Operational burden edge inventory dışında alarms, spares, route diversity, switch fabric, power, software, repair times ve failure domains ile ölçülür.

   Üç: büyüme zarif.

   Mesh'e yeni bir yerel santral eklemek, mevcut her santrale yeni trunk çekmek demek — halihazırda on varsa on, elli varsa elli.

   Counting modelinde yeni local bir edge ekler; traffic growth tandem fabric veya existing trunk capacities'ini de genişletmeyi gerektirebilir.

   O bir trunk ağı anlamlı bir şekilde büyütüyor.

   İki alım.

   Bir: O(n) ve O(n²) edge growth önemli bir topology scaling comparison'ıdır; tek başına total network cost modeli değildir.

   Quadratic edge term büyük n'de linear edge term'den hızlı büyür; total cost'ta baskınlık coefficient, capacity, geography ve omitted components'a bağlıdır.

   İki: hierarchy/transit switching edge growth'u azaltabilir; scalable PSTN ayrıca multiplexing, traffic engineering, routing, redundancy, operations ve economics birlikte gerektirir.

   Sesli anlatım metni

   Peki neden hemen her gerçek PSTN tandem anahtarlama kullanıyor? Trunk sayısının ötesinde üç sebep daha. Bir: trunk'lar arama başına ucuzluyor. Trafiği birkaç yüksek hızlı trunk üzerinde topladığınızda, düşük hızlı noktadan noktaya hatlar yerine, bu derste daha önce gördüğümüz çoğullama hilelerini kullanırsınız — TDM, istatistiksel çoğullama — ve birçok eşzamanlı aramayı tek fibere ya da mikrodalga atlamasına paketlersiniz. İki: bakım sonludur. Yüz düğümlü mesh'in neredeyse beş bin trunk'ı var, her biri arızalanabilir, kesilebilir, kötüleşebilir. Yüz düğümlü tandem ağında yüz trunk artı ortada bir büyük anahtar var. Operasyon ekibinin tutunma şansı oluyor. Üç: büyüme zarif. Mesh'e yeni bir yerel santral eklemek, mevcut her santrale yeni trunk çekmek demek — halihazırda on varsa on, elli varsa elli. Tandem ağına yeni yerel santral eklemek, tandem'e bir tek trunk çekmek demek. O bir trunk ağı anlamlı bir şekilde büyütüyor. İki alım. Bir: doğrusal karşı karesel, ağ tasarımındaki en derin maliyet mühendisliği dersidir. Bir şey n karesi gibi büyürse, eninde sonunda baskın hale gelir. İki: tandem santral sadece bir kolaylık değil — PSTN'i ülke ölçeğinde matematiksel olarak makul kılan şeydir.

Kaynak video: Haberleşme Temelleri #30 Örnek Soru Çözümü: PSTN Topolojisi — Tandem mi Mesh mi? (5:41)