#21 Sinyaller ve Sistemler #21 | Fourier Serisi - Periyodik Sinyaller ve Harmonikler

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Fourier serisinin amacı

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   Uygun periyodik sinyaller harmonik sinüzoidlerle temsil edilir.

   Yakınsama biçimi sinyalin düzgünlüğüne bağlıdır; sıradan fonksiyon ve dağılım yorumları gerektiğinde ayrılır.

   Sesli anlatım metni

   Fourier serilerine neden ihtiyacımız var? Önceki derslerde birim basamak, impuls ve rampa gibi temel sinyalleri inceledik. Ancak gerçek dünya sinyalleri çoğunlukla periyodiktir, örneğin ses dalgaları, alternatif akım ve radyo sinyalleri gibi. Fourier serileri, herhangi bir periyodik sinyali sinüzoidlerin toplamı olarak ayrıştırmamızı sağlar. Bu, sinyal işleme, iletişim ve mühendisliğin birçok alanında temel bir kavramdır.

2. 2. Periyot ve doğru frekans

   Periyodiklik x(t+T)=x(t), T>0 demektir. En küçük pozitif periyot varsa temel periyot T0'dır.

   Temel frekans f0=1/T0 ve açısal frekans ω0=2π/T0. Kaynak seste eksik kalan pay burada birdir.

   Pozitif tamsayı katları da periyottur. Sabit sinyalin her pozitif kayması periyot olduğundan en küçük pozitif periyodu yoktur.

   Sesli anlatım metni

   Periyodik bir sinyal belirli aralıklarla kendini tekrar eder. Formel olarak, x t eşittir x t artı t, tüm t değerleri için geçerlidir; burada T temel periyottur. Temel frekans f eşittir bölü T ve açısal frekans omega eşittir iki pi f şeklinde tanımlanır. Bir sinyalin periyodu T ise, k tam sayısı için kT de periyodudur. En küçük pozitif T değeri temel periyot olarak adlandırılır.

3. 3. Harmonikler

   k'inci harmonik kf0 frekansındadır; açısal frekansı kω0'dır.

   Harmonik ilişkisi, temel frekansın tamsayı katlarını ifade eder.

   Sesli anlatım metni

   Bir periyodik sinyali ayrıştırdığımızda, harmonik olarak ilişkilendirilmiş sinüzoidler elde ederiz. Temel frekans birinci harmoniktir ve f sıfır frekansına sahiptir. İkinci harmonik iki f sıfır frekansına, üçüncü harmonik üç f sıfır frekansına sahiptir ve bu şekilde devam eder. Bunlara harmonik diyoruz. Her harmonik, temel frekansın tam katıdır. Müzikte oktav aralıklarındaki notaların benzer duyulmasının nedeni budur: harmonik ilişkileri paylaşırlar.

4. 4. Sentez tanımı

   Gerçek seri, a0 ile k≥1 için ak cos(kω0t)+bk sin(kω0t) terimlerinin toplamıdır.

   Katsayılar harmoniklerin genlik ve faz bileşenlerini belirler. Eşdeğer karmaşık gösterimde pozitif ve negatif frekanslar birlikte kullanılır.

   Sesli anlatım metni

   Fourier serisi, bir periyodik sinyali sonsuz sayıda harmonik olarak ilişkili sinüzoidin toplamı olarak temsil eder. Sentez denklemi x t eşittir a sıfır artı, n eşittir birden sonsuza kadar a n çarpı kosinüs n omega sıfır t artı b n çarpı sinüs n omega sıfır t şeklindedir. a n ve b n katsayıları her bir harmonikten ne kadarının mevcut olduğunu bize söyler. Alternatif olarak, Euler formülünü kullanarak karmaşık üstel değerler cinsinden yazabiliriz.

5. 5. DC bileşeni

   Bu tanımda a0, bir periyottaki x integralinin T'ye bölünmesidir.

   Pozitif ve negatif alanlar eşitse ortalama sıfırdır. Sıfır ofsetli saf sinüzoidin DC bileşeni yoktur.

   Sesli anlatım metni

   a sıfır terimi DC bileşenidir, aynı zamanda ortalama değer veya ofset olarak da adlandırılır. Sinyalin bir periyot üzerindeki ortalama seviyesini temsil eder. DC bileşenini bulmak için x t'yi sıfırdan T'ye entegre edip T'ye böleriz. Pozitif ve negatif alanlar birbirini götürürse, DC bileşeni sıfırdır. Ofseti olmayan saf bir sinüs dalgası için a sıfır eşittir sıfırdır.

6. 6. Kare dalga örneği

   Sıfır ortalamalı, yarım dalga simetrili ve %50 görev oranlı kare dalga yalnız tek harmonikler içerir.

   Daha çok terim, süreklilik bölgelerindeki yaklaşımı iyileştirir. Sıçramada seri tek taraflı limitlerin ortalamasına yakınsar ve yakınında Gibbs taşması görülür.

   Sesli anlatım metni

   Bir periyodik sinyalin sinüzoidlerden nasıl oluştuğunu görselleştirelim. Kare dalga düşünelim. Fourier serisi yalnızca tek harmonikleri içerir: bir, üç, beş, yedi ve böyle devam eder. Temel harmonik temel şekli verir. Üçüncü harmonik eklemek köşeleri keskinleştirir. Beşinci harmonik eklemek onları daha da keskinleştirir. Daha fazla harmonik ekledikçe yaklaşım orijinal kare dalgaya yaklaşır. Fourier serilerinin gücü budur.

7. 7. Özet

   Periyodu pozitif seç; temel frekansta bir bölü periyot bağıntısını eksiksiz yaz.

   Harmonikler temel frekansın tamsayı katlarıdır. Fourier serisinin eşitlik ve yakınsama yorumunu sinyal sınıfına göre belirt.

   Sesli anlatım metni

   Bu derste periyodik sinyallerin ayrıştırılması için Fourier serilerini tanıttık. Periyodikliği T periyodu ve temel frekans omega sıfır ile tanımladık. Harmoniklerin temel frekansın tam katları olduğunu öğrendik. Fourier serisi, herhangi bir periyodik sinyali a n ve b n katsayıları ile sinüzoidlerin toplamı olarak ifade eder. Sonraki derste, bu katsayıların sinyallerden nasıl hesaplanacağını inceleyeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #21 | Fourier Serisi - Periyodik Sinyaller ve Harmonikler (3:32)