#23 Sinyaller ve Sistemler #23 | Fourier Serisi Özellikleri - Kare Dalga, Türev Hilesi ve Gibbs Olgusu

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Normalizasyon

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   Sentez çarpanı C1 ve analiz çarpanı C2 ise C1C2=1/T olmalıdır.

   Burada sentez çarpanı bir, analiz çarpanı 1/T alınır. Farklı tanımların katsayılarını karıştırma.

   Sesli anlatım metni

   Son iki dersimizde Fourier serisini tanıttık ve katsayıları bulmak için analiz denklemlerini türettik. Bugün Fourier serisi ile çalışmayı çok daha güçlü kılan temel özellikleri keşfedeceğiz. Önemli bir detayla başlayalım. Farklı ders kitapları farklı ölçekleme kuralları kullanır. Sentezi Si bir çarpı toplam, analizi Si iki çarpı integral olarak yazarsak, tek gereklilik Si bir çarpı Si ikinin bir bölü T'ye eşit olmasıdır. Oppenheim'ın kuralında Si bir eşittir bir, Si iki eşittir bir bölü T'dir. Haykin'in kuralında çarpanlar yer değiştirir. Her ikisi de doğrudur.

2. 2. Türev özelliği

   Uygun klasik veya dağılımsal koşullarda türev X[k]'yı jkω0 ile, n'inci türev (jkω0)ⁿ ile çarpar.

   Sıfır dışı indisler bölmeyle geri bulunur; kaybolan DC ayrıca hesaplanır. Pozitif ve negatif k'nın faz değişimleri ters yönlüdür.

   Sesli anlatım metni

   İşte en güçlü Fourier serisi özelliklerinden biri: türev alma. x t periyodik bir sinyalse ve Fourier katsayıları X alt k ise, türevi y t eşittir d x bölü d t'nin katsayıları Y alt k eşittir j k omega sıfır çarpı X alt k olur. Her katsayı j çarpı k çarpı temel frekansla çarpılır. j terimi doksan derece faz kayması yapar, k çarpanı yüksek harmonikleri daha fazla güçlendirir. n'inci türev için çarpanı n'inci kuvvete yükseltiriz: Y alt k eşittir j k omega sıfır üzeri n, çarpı X alt k. Daha önemlisi bu özellik tersten de çalışır. Türevin katsayılarını biliyorsak, orijinal sinyalin katsayılarını j k omega sıfıra bölerek bulabiliriz.

3. 3. İmpuls treni

   T saniyede bir tekrarlanan birim impuls için bütün tamsayılarda X[k]=1/T olur.

   Sonsuz sentez sıradan noktasal toplam olarak değil, periyodik dağılım olarak yorumlanır.

   Sesli anlatım metni

   Temel bir sinyalin Fourier katsayılarını bulalım: periyodik impuls treni. Delta T t, eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar T saniye aralıklı delta fonksiyonlarının toplamıdır. Analiz denklemini kullanarak, X alt k eşittir bir bölü T çarpı bir periyot üzerinden delta t çarpı e üzeri eksi j k omega sıfır t dt integralini alırız. Eleme özelliği, t eşittir sıfırdaki üstel değeri çıkarır ve bu e üzeri sıfır yani birdir. Dolayısıyla tüm k değerleri için X alt k eşittir bir bölü T'dir. Her katsayı aynı değere sahiptir. Bu bize güzel bir özdeşlik verir: periyodik impuls treni, bir bölü T çarpı e üzeri j k omega sıfır t toplamına eşittir.

4. 4. Düz genlik tekil değildir

   İmpuls treni τ kadar kaydırılırsa X[k]=exp(−jkω0τ)/T olur.

   Genlik yine 1/T iken faz ve zaman konumu değişir. Yalnız düz genlik spektrumu sinyali tek başına belirlemez.

   Sesli anlatım metni

   Bu dikkat çekici sonucu görselleştirelim. X alt k'nın büyüklüğünü k'ya karşı çizdiğimizde tamamen düz bir spektrum elde ederiz. Eksi sonsuzdan artı sonsuza her harmonik, bir bölü T ile tam olarak aynı genliğe sahiptir. İmpuls treninin sinyal işlemede bu kadar temel olmasının nedeni budur. Tüm frekansları eşit güçte içerir. Başka hiçbir periyodik sinyal bu düz spektrum özelliğine sahip değildir.

5. 5. Türev yöntemi

   Parçalı düzgün sinyalin her sıçramasına, sıçrama miktarı ağırlığında impuls ekleyerek dağılımsal türev al.

   Türev katsayılarını bul; k≠0 için jkω0'a böl; ortalamayı ayrıca tamamla.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi türev özelliğini türev hilesi dediğimiz pratik bir yöntemle kullanalım. Bir sinyal keskin geçişlere veya süreksizliklere sahip olduğunda, Fourier katsayılarını doğrudan hesaplamak çok zahmetli olabilir. Bunun yerine sinyalin türevini alırız. Süreksizlikler impulslara dönüşür ve impulsların bilinen basit Fourier katsayıları vardır. Orijinal katsayıları bölerek elde ederiz: X alt k eşittir Y alt k bölü j k omega sıfır. Bu teknik zor bir integral problemini basit cebire dönüştürür. Bunu bir kare dalga üzerinde gösterelim.

6. 6. Kare dalga katsayıları

   Periyot 2π; (0,π) aralığında +m, (−π,0) aralığında −m olan dalganın ortalaması sıfırdır.

   Türevde sıfırda +2m, diğer periyot sınırında bir kez sayılan −2m impulsu bulunur.

   Tek k için F[k]=−j2m/(kπ); sıfır dışı çift k için katsayı sıfırdır. F[0]=0.

   Sesli anlatım metni

   Genliği sıfırdan pi'ye kadar artı m, eksi pi'den sıfıra kadar eksi m olan bir kare dalga f t düşünelim. Periyot T eşittir iki pi'dir. F alt k'yı doğrudan hesaplamak dikkatli integral gerektirir. Bunun yerine türev alalım. Türev g t eşittir f üssü t, her süreksizlikte impuls çiftleri üretir: t eşittir sıfırda pozitif iki m çarpı delta, t eşittir artı eksi pi'de negatif iki m çarpı delta. İmpuls sonucumuzu kullanarak, G alt k eşittir m bölü pi çarpı bir eksi kosinüs k pi. Kosinüs k pi, eksi bir üzeri k'ya eşit olduğundan, tek k için iki m bölü pi, çift k için sıfır elde ederiz. F alt k'yı bulmak için j k'ya bölersek, tek k için F alt k eşittir eksi j çarpı iki m bölü k pi, çift k için sıfır buluruz.

7. 7. Fazör yorumu

   Pozitif-negatif frekans çiftleri, pozitif tek k için 4m/(kπ) genlikli gerçek sinüs terimleri oluşturur.

   Tek bir karmaşık katsayının büyüklüğü 2m/(abs(k)π)'dir; bunu çiftin sinüs genliğiyle karıştırma.

   Sesli anlatım metni

   Sezgi geliştirmek için Fourier sentezini dönen fazörler olarak görselleştirelim. Temel harmonik k eşittir bir, karmaşık düzlemde büyük bir daire çizer. Yarıçapı dört m bölü pi'dir. Üçüncü harmonik k eşittir üç, üçte bir yarıçaplı daha küçük bir daire çizer ama üç kat hızlı döner. Beşinci harmonik daha da küçüktür, beşte bir yarıçap, beş kat hız. Bu fazörler dönerken uçlarını toplayın. Toplam, zaman domeni sinyalini oluşturur. Sadece üç harmonikle bile kare dalga şekillenmeye başlar.

8. 8. Kısmi toplamlar

   Tek harmonikleri sırayla ekle.

   Standart parçalı düzgünlük koşullarında süreklilik noktalarında sinyale, sıçramada iki tek taraflı limitin ortalamasına yakınsanır.

   Sesli anlatım metni

   Yakınsamayı adım adım izleyelim. Sadece temel harmonikle başlayalım: f bir t eşittir dört m bölü pi çarpı sinüs t. Düz bir sinüzoid, mümkün olan en kaba yaklaşım. Üçüncü harmoniği eklersek f iki t elde ederiz, sinüs üç t bölü üç dahil edilir. Dalga formu düz bir tepe oluşturmaya başlar. Beşinci harmonikle f üç t daha belirgin köşeler ve daha düz platolar gösterir. Yedi harmoniğe ulaştığımızda şekil tartışmasız bir kare dalgadır. Ama geçişlere dikkatli bakın. Hedef genliği aşan keskin salınımlar var. Bu dalgalanmalar kaç terim eklersek ekleyelim kaybolmaz.

9. 9. Gibbs olgusu

   Sıçrama yakınındaki kısmi toplam taşması, sıçrama büyüklüğünün yaklaşık %8.949'una yaklaşır.

   Terimler arttıkça bölge daralır; sınırdaki tepe taşması kaybolmaz. Tam sıçrama noktasında seri orta değere yakınsar.

   Sesli anlatım metni

   Bu kalıcı aşma, ünlü Gibbs olgusudur. Her süreksizlikte, kesilmiş Fourier serisi toplam sıçramanın yaklaşık yüzde dokuzunu aşar. Kare dalgamızda sıçrama büyüklüğü iki m olduğundan, aşma yaklaşık sıfır nokta on sekiz m'dir. Daha fazla harmonik ekledikçe aşma daralır ama tepe değeri yüzde dokuzda kalır. Salınımlar süreksizlik çevresinde daha ince bir bölgeye sıkışır, ancak maksimum aşma asla yok olmaz. Bu Fourier serisinin bir başarısızlığı değildir. Sonsuz seri doğru değere yakınsar. Bu etki özellikle sonlu terimle kesilmekten kaynaklanır.

10. 10. Katsayı spektrumu

    Yalnız tek harmonikler kalır; karmaşık genlik 2m/(abs(k)π) olur.

    1/abs(k) zarfı sıçramaları yansıtır. Periyot sınırlarında da uygun türev eşleşmesini içeren daha güçlü düzgünlük, daha hızlı azalma sağlayabilir.

    Sesli anlatım metni

    Kare dalgamızın katsayı spektrumunu inceleyelim. F alt k'nın büyüklüğünü k'ya karşı çizdiğimizde çarpıcı bir desen görürüz. Yalnızca tek harmoniklerin sıfırdan farklı katsayıları vardır. Bu yarım dalga simetrisini yansıtır. Büyüklükler kesikli çizgiyle gösterilen bir bölü k zarfını takip eder. Bu yavaş bir bölü k azalma, sıçrama süreksizliği olan sinyallerin karakteristiğidir. Daha pürüzsüz sinyallerin spektrumları çok daha hızlı azalır.

11. 11. Özet

    

    Normalizasyonu belirt, türevde bütün impulsları koru ve DC'yi ayrıca bul.

    İmpuls treninin genliği düzdür fakat fazı nedeniyle bu özellik tekil değildir. Sinüs genliğini, karmaşık katsayıyı ve Gibbs davranışını ayır.

    Sesli anlatım metni

    Bugünkü beş temel sonucu gözden geçirelim. Birincisi, ölçekleme kuralları: herhangi bir Fourier çiftinde Si bir çarpı Si iki, bir bölü T'ye eşit olmalıdır. İkincisi, zamanda türev alma katsayıları j k omega sıfır ile çarpar. Üçüncüsü, periyodik impuls treninin düz bir spektrumu vardır: tüm k için X alt k eşittir bir bölü T. Dördüncüsü, türev hilesi süreksizlikleri impulslara dönüştürerek katsayı hesabını kolaylaştırır. Ve beşincisi, kesilmiş Fourier serileri Gibbs olgusunu sergiler: süreksizliklerde yüzde dokuzluk kalıcı bir aşma. Bu araçlar mühendislikte herhangi bir periyodik sinyali analiz etmek için vazgeçilmezdir.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #23 | Fourier Serisi Özellikleri - Kare Dalga, Türev Hilesi ve Gibbs Olgusu (7:50)