#03 توازن الجسيم

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. مخططان وجملة واحدة

   

   A: صندوق 50 kg، منحدر أملس 30°، حبل موازٍ ← T = ? N = ?

   B: مصباح 20 kg، كابلان بزاويتي 30° و60° مع السقف ← T₁ = ? T₂ = ?

   جوهر الاستاتيكا — الجسور والرافعات والحوامل تبدأ من هنا

   اليوم: جملة واحدة ← معادلتان ← كل خطوة بالأرقام

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس الماضي رسمنا مخططي جسم حرّ ووعدنا بتحويلهما إلى أرقام. الأول: صندوق كتلته 50 كيلوغراماً على منحدر أملس ميله 30 درجة، يمسكه حبل موازٍ للمنحدر؛ كم نيوتن هو شدّ الحبل والقوة العمودية؟ الثاني: مصباح كتلته 20 كيلوغراماً معلّق بالسقف بكابلين؛ يصنع الكابلان 30 و60 درجة مع السقف. بكم يشدّ كل كابل؟ اليوم نحلّ السؤالين بجملة واحدة: القوى المؤثرة على جسم ساكن مجموعها صفر. هذه الجملة هي جوهر علم الاستاتيكا كله؛ من الجسور إلى الرافعات، كل حساب يبدأ من هنا. اليوم نحوّلها إلى معادلتين ونعرض كل خطوة بالأرقام.

2. 2. لماذا مجموع القوى صفر

   

   قانون نيوتن الأول: ساكن (أو بسرعة ثابتة) ← القوة المحصّلة = 0

   $\displaystyle ΣF = 0$

   لاعب الحبل: كل شدّ إلى اليمين يقابله شدّ إلى اليسار؛ وكل شدّ إلى الأعلى يقابله شدّ إلى الأسفل

   مجموع متجهي صفر = الأسهم رأساً إلى ذيل تكوّن شكلاً مغلقاً

   $\displaystyle ΣFₓ = 0 ,\quad ΣF_{y} = 0$

   معادلتان ← مجهولان على الأكثر (المنحدر: T, N · المصباح: T₁, T₂)

   الجسيم: نهمل الحجم، كل القوى تمرّ بنقطة واحدة

   نص الشرح الصوتي

   لماذا المجموع صفر؟ قانون نيوتن الأول: إذا كان الجسم ساكناً أو يتحرك بسرعة ثابتة، فالقوة المحصّلة عليه صفر. في الاستاتيكا الأجسام ساكنة؛ إذن المجموع المتجهي لكل القوى صفر: سيجما F تساوي صفراً. وإليك الحدس: فكّر في لاعب يقف ساكناً على حبل. كل ما يشدّ إلى اليمين يجب أن يقابله تماماً شيء يشدّ إلى اليسار؛ وكل ما يشدّ إلى الأعلى يجب أن يقابله تماماً شيء يشدّ إلى الأسفل. وإلا لبدأ الجسم يتحرك في ذلك الاتجاه. مجموع متجهي يساوي صفراً يعني أنك إذا وضعت الأسهم رأساً إلى ذيل حصلت على شكل مغلق؛ رأس السهم الأخير يعود إلى ذيل السهم الأول. وأنت تعرف هذا من قاعدة الرأس إلى الذيل في الدروس السابقة. وللحساب نفكك المعادلة المتجهية إلى معادلتين عدديتين: مجموع المركّبات السينية صفر، ومجموع المركّبات الصادية صفر. سيجما F x تساوي صفراً، سيجما F y تساوي صفراً. هذا يعطينا معادلتين؛ وبمعادلتين نجد مجهولين على الأكثر. على المنحدر المجهولان T وN: اثنان، حسناً. في المصباح T1 وT2: اثنان أيضاً، حسناً. وكلمة أخيرة: الجسيم. نهمل حجم الجسم ونفترض أن كل القوى تمرّ بنقطة واحدة. بالنسبة إلى الصندوق والمصباح يعمل هذا الافتراض جيداً.

3. 3. طريقة الخطوات الخمس

   

   ① مخطط الجسم الحرّ — لا تنسَ أي قوة

   ② المحاور — أكبر عدد ممكن من القوى عليها

   ③ المركّبات — cos ↔ المجاور، sin ↔ المقابل، الإشارة من الشكل

   ④ المعادلتان — ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0

   ⑤ حلّ وتحقق — المقدار، الإشارة، طريق ثانٍ

   نص الشرح الصوتي

   الطريقة خمس خطوات. أولاً: ارسم مخطط الجسم الحرّ، كما في الدرس الماضي تماماً، دون نسيان أي قوة. ثانياً: اختر المحاور. تلميح صغير: اختر المحاور بحيث يقع عليها أكبر عدد ممكن من القوى. على المنحدر، إذا أخذت المحورين موازياً وعمودياً على المنحدر، فإن T وN على المحورين أصلاً؛ ولا تحلّل إلا الوزن. ثالثاً: حلّل كل قوة لا تقع على محور إلى مركّباتها؛ قاعدة الدرس الأول: جيب التمام مع الضلع المجاور، والجيب مع الضلع المقابل، والإشارة من الشكل. رابعاً: اكتب المعادلتين. اجمع المركّبات السينية وساوِها بالصفر؛ اجمع المركّبات الصادية وساوِها بالصفر. خامساً: حلّ وتحقق. هل النتيجة منطقية؛ هل المقدار صحيح؛ هل الإشارة صحيحة؛ وإن أمكن تحقق بطريق ثانٍ. هذا كل شيء. والآن لنحلّ المسألتين بهذه الخطوات الخمس.

4. 4. المسألة A — الصندوق على المنحدر

   

   m = 50 kg → W = 490.5 N؛ منحدر 30° أملس؛ حبل موازٍ

   القوى: W ↓، N ⟂ المنحدر، T ∥ المنحدر (أعلى)

   x′ ∥ المنحدر (أعلى)، y′ ⟂ المنحدر (خارج)

   الزاوية بين W و−y′ = 30°

   W_∥ = W sin30° (الضلع المقابل)

   490.5 × 0.5 = 245.25 N (أسفل المنحدر: −)

   W_⟂ = W cos30° (الضلع المجاور)

   490.5 × 0.866 = 424.8 N (نحو المنحدر: −)

   ΣF_{x′} = 0:

   $\displaystyle T - 245.25 = 0$

   $\displaystyle \to T = 245.25 N$

   ΣF_{y′} = 0:

   $\displaystyle N - 424.8 = 0$

   $\displaystyle \to N = 424.8 N$

   التحقق 1:

   $\displaystyle N = 424.8 < W = 490.5 ✓ \left(N \ne W\right)$

   التحقق 2:

   $\displaystyle T ⟂ N \to T² + N² = W²$

   $\displaystyle 60148 + 180455 = 240603 \approx 240590 ✓$

   متين — تقريب فقط

   نص الشرح الصوتي

   المسألة A، الصندوق على المنحدر. المعطيات: الكتلة 50 كيلوغراماً، الوزن 490.5 نيوتن؛ المنحدر 30 درجة، أملس؛ الحبل موازٍ للمنحدر. في المخطط ثلاث قوى: W إلى الأسفل، N عمودية على المنحدر، T إلى الأعلى على امتداد المنحدر. المحاور: آخذ المحور x إلى الأعلى على امتداد المنحدر، والمحور y عمودياً على المنحدر إلى الخارج. T وN على المحورين؛ ولا نحلّل إلا W. والآن انتبه: ميل المنحدر 30 درجة، والزاوية بين الوزن والعمودي على المنحدر هي أيضاً 30 درجة. مركّبة الوزن الموازية للمنحدر هي الضلع المقابل: W في جيب 30 درجة. 490.5 في 0.5 يساوي 245.25 نيوتن؛ تتجه إلى أسفل المنحدر، إذن سالبة. مركّبة الوزن العمودية على المنحدر هي الضلع المجاور: W في جيب تمام 30 درجة. 490.5 في 0.866 يساوي 424.8 نيوتن؛ تتجه إلى داخل المنحدر، إذن سالبة. معادلة x: T ناقص 245.25 يساوي صفراً. ومنها T تساوي 245.25 نيوتن. معادلة y: N ناقص 424.8 يساوي صفراً. ومنها N تساوي 424.8 نيوتن. التحقق الأول: N تساوي 424.8 والوزن 490.5؛ خرجت القوة العمودية أصغر من الوزن. تذكّر تحذير الدرس الماضي: على المنحدر N لا تساوي W. التحقق الثاني: T وN متعامدتان، ومعاً تحملان الوزن. إذن مربع T زائد مربع N يجب أن يساوي مربع W. مربع 245.25 يساوي 60148؛ ومربع 424.8 يساوي 180455؛ والمجموع 240603. ومربع 490.5 يساوي 240590. الفرق تقريب فقط. الحلّ متين.

5. 5. المسألة B — المصباح بكابلين

   

   m = 20 kg

   $\displaystyle W = 20 \times 9.81 = 196.2 N$

   كابل 1: 30° يسار · كابل 2: 60° يمين · المجهولان T₁, T₂

   القوى: W ↓, T₁ ↖, T₂ ↗ · المحاور x, y

   T₁: −T₁cos30° (x), +T₁sin30° (y)

   T₂: +T₂cos60° (x), +T₂sin60° (y)

   ΣFₓ = 0:

   $\displaystyle -0.866 T₁ + 0.5 T₂ = 0$

   $\displaystyle \to T₂ =\frac{ 0.866}{0.5 }\cdot T₁ = 1.732 T₁$

   ΣF_{y} = 0:

   $\displaystyle 0.5 T₁ + 0.866 T₂ - 196.2 = 0$

   $\displaystyle 0.866 \times 1.732 = 1.5 \to 0.5 T₁ + 1.5 T₁ = 196.2$

   $\displaystyle 2 T₁ = 196.2 \to T₁ = 98.1 N$

   $\displaystyle T₂ = 1.732 \times 98.1 = 169.9 N$

   التحقق:

   $\displaystyle 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} \to T₁² + T₂² = W²$

   $\displaystyle 9624 + 28866 = 38490 \approx 38494 ✓$

   الكابل الأقرب إلى الرأسي (60°) يحمل أكثر ✓

   نص الشرح الصوتي

   المسألة B، المصباح بكابلين. المعطيات: الكتلة 20 كيلوغراماً. الوزن: 20 في 9.81 يساوي 196.2 نيوتن. الكابل 1 إلى اليسار بزاوية 30 درجة مع السقف؛ والكابل 2 إلى اليمين بزاوية 60 درجة مع السقف. المجهولان T1 وT2. في المخطط ثلاث قوى: W إلى الأسفل، T1 إلى الأعلى واليسار على امتداد الكابل 1، T2 إلى الأعلى واليمين على امتداد الكابل 2. المحاور أفقي ورأسي. المركّبات: المركّبة الأفقية لـ T1 هي T1 في جيب تمام 30، إلى اليسار، سالبة؛ ومركّبتها الرأسية T1 في جيب 30، إلى الأعلى، موجبة. المركّبة الأفقية لـ T2 هي T2 في جيب تمام 60، إلى اليمين، موجبة؛ ومركّبتها الرأسية T2 في جيب 60، إلى الأعلى، موجبة. معادلة x: سالب T1 في 0.866 زائد T2 في 0.5 يساوي صفراً. ومنها T2 تساوي T1 في 0.866 على 0.5، أي T2 تساوي 1.732 في T1. معادلة y: T1 في 0.5 زائد T2 في 0.866 ناقص 196.2 يساوي صفراً. نعوّض عن T2 بـ 1.732 T1: 1.732 في 0.866 يساوي 1.5. فتصبح المعادلة: 0.5 T1 زائد 1.5 T1 يساوي 196.2. أي 2 T1 يساوي 196.2؛ T1 تساوي 98.1 نيوتن. T2 تساوي 1.732 في 98.1 يساوي 169.9 نيوتن. التحقق: 30 زائد 60 يساوي 90 درجة؛ الكابلان متعامدان. إذن مربع T1 زائد مربع T2 يجب أن يساوي مربع W. مربع 98.1 يساوي 9624؛ ومربع 169.9 يساوي 28866؛ والمجموع 38490. ومربع 196.2 يساوي 38494. صحيح. والمنطق: الكابل الأقرب إلى الرأسي، أي كابل الستين درجة، يحمل النصيب الأكبر من الحمل. كما توقعنا تماماً.

6. 6. أربعة فخاخ وعادة واحدة

   

   ① عادة N = W — على المنحدر N = W cos30° = 424.8 N

   ② زاوية خاطئة ← تبديل sin/cos — 30° بين W والعمودي

   ③ خطأ الإشارة — مركّبة أسفل المنحدر موجبة ← T سالبة ← "الحبل يدفع" ✗

   ④ مجهولان بمعادلة واحدة — معادلة x تعطي T₂ بدلالة T₁ فقط

   العادة: المقدار؟ الإشارة؟ طريق ثانٍ؟

   الطريق الثاني اليوم: فيثاغورس (أزواج متعامدة)

   نص الشرح الصوتي

   أربعة فخاخ كلاسيكية. أولاً: عادة N تساوي W. على المنحدر N تساوي W في جيب تمام 30، أي 424.8؛ إذا كتبت 490.5 انحرف الحلّ كله. ثانياً: أخذ الزاوية من المكان الخطأ وتبديل الجيب بجيب التمام. على المنحدر مركّبة الوزن الموازية بالجيب والعمودية بجيب التمام، لأن 30 درجة هي الزاوية بين الوزن والعمودي. إن لم تكن متأكداً، ارسم المثلث القائم وانظر إلى الأضلاع. ثالثاً: خطأ الإشارة. المركّبة المتجهة إلى اليسار أو الأسفل سالبة؛ إذا كتبت مركّبة الوزن نحو أسفل المنحدر موجبة خرجت T سالبة، وكأن الحبل يدفع. الحبل لا يدفع. رابعاً: محاولة حلّ مجهولين بمعادلة واحدة. في المصباح معادلة x وحدها لا تعطي T1؛ بل تعطي T2 بدلالة T1 فقط. اكتب المعادلة الثانية دائماً. واكتسب عادة: في نهاية كل حلّ ثلاثة أسئلة. هل المقدار منطقي؟ هل الإشارة منطقية؟ هل هناك طريق ثانٍ؟ اليوم كان الطريق الثاني فيثاغورس في المسألتين؛ ليس متاحاً دائماً، لكن عندما يتاح استخدمه.

7. 7. خلاصة ما تعلمناه

   

   الجسم الساكن: ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0 — معادلتان، مجهولان

   خمس خطوات: المخطط · المحاور · المركّبات · المعادلتان · الحلّ والتحقق

   ضع المحاور على القوى — على المنحدر: موازٍ وعمودي

   المنحدر: T = 245.25 N, N = 424.8 N · المصباح: T₁ = 98.1 N, T₂ = 169.9 N — فيثاغورس ✓

   التالي: حجم الجسم يدخل الحساب — عزم القوة

   نص الشرح الصوتي

   لنجمع ما تعلمناه. في الجسم الساكن مجموع القوى صفر: سيجما F x تساوي صفراً، سيجما F y تساوي صفراً؛ معادلتان، ومجهولان على الأكثر. خمس خطوات: المخطط، المحاور، المركّبات، المعادلتان، الحلّ والتحقق. اختر المحاور بحيث يقع عليها معظم القوى؛ على المنحدر موازياً وعمودياً. في صندوق المنحدر وجدنا T تساوي 245.25 نيوتن وN تساوي 424.8 نيوتن؛ وفي المصباح T1 تساوي 98.1 وT2 تساوي 169.9 نيوتن. وأكّد فيثاغورس الاثنين. في الدرس القادم يدخل حجم الجسم في الحساب: مكان تأثير القوة يغيّر أثرها الدوراني. مفهوم العزم. إلى اللقاء.

الفيديو المصدر: توازن الجسيم (12:15)