#03 Parçacık Dengesi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. İki Diyagram, Tek Cümle

   

   A: 50 kg sandık, pürüzsüz 30° rampa, halat ∥ rampa → T = ? N = ?

   B: 20 kg lamba, kablolar tavanla 30° ve 60° → T₁ = ? T₂ = ?

   Statiğin çekirdeği — köprü, vinç, konsol hep buradan başlar

   Bugün: tek cümle → iki denklem → her adım sayıyla

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste iki serbest cisim diyagramı çizdik ve ikisini de sayıya dökmeye söz verdik. Birincisi: 30 derece eğimli pürüzsüz rampada, rampaya paralel bir halatla tutulan 50 kilogramlık sandık; halattaki gerilme ve normal kuvvet kaç Newton? İkincisi: tavana iki kabloyla asılı 20 kilogramlık bir lamba; kablolar tavanla 30 ve 60 derece yapıyor. Her kablo ne kadar çekiyor? Bugün bu iki soruyu tek bir cümleyle çözeceğiz: duran bir cisme etkiyen kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Bu cümle statiğin tamamının çekirdeğidir; köprüden vince kadar her hesap buradan başlar. Bugün onu iki denkleme çevirecek, her adımı sayıyla göstereceğiz.

2. 2. Kuvvetler Neden Sıfırı Toplar

   

   Newton 1: duruyorsa (ya da sabit hızlıysa) → net kuvvet = 0

   $\displaystyle ΣF = 0$

   Cambaz: sağa çeken her şeyi sola çeken, yukarıyı aşağı çeken karşılar

   Vektör toplamı sıfır = oklar uç uca kapalı şekil oluşturur

   ΣFₓ = 0 ve ΣF_y = 0

   İki denklem → en fazla iki bilinmeyen (rampa: T, N · lamba: T₁, T₂)

   Parçacık: boyut önemsiz, tüm kuvvetler tek noktadan

   Sesli anlatım metni

   Neden toplam sıfır? Newton'un birinci yasası: bir cisim duruyorsa ya da sabit hızla gidiyorsa, üzerine etkiyen net kuvvet sıfırdır. Statikte cisimler durur; öyleyse bütün kuvvetlerin vektör toplamı sıfırdır: sigma F eşittir sıfır. Sezgisi şu: ipin üstünde duran bir cambaz gibi. Sağa çeken ne varsa, sola çeken bir şey onu tam karşılamalı; yukarı çeken ne varsa, aşağı çeken onu tam karşılamalı. Yoksa cisim o yöne doğru harekete geçerdi. Vektör toplamı sıfır demek, okları uç uca eklediğinde kapalı bir şekil oluşması demektir; son okun ucu ilk okun başına döner. Bunu geçen derslerdeki uç uca ekleme kuralıyla zaten biliyorsun. Hesap için vektör denklemini iki skaler denkleme ayırırız: x bileşenlerinin toplamı sıfır, y bileşenlerinin toplamı sıfır. Sigma F x eşittir sıfır, sigma F y eşittir sıfır. Bu bize iki denklem verir; iki denklemle en fazla iki bilinmeyen bulunur. Rampada bilinmeyenler T ve N: iki tane, tamam. Lambada T1 ve T2: yine iki, tamam. Bir de kelime: parçacık. Cismin boyutunu önemsemiyoruz, bütün kuvvetler tek bir noktadan geçiyor kabul ediyoruz. Sandık ve lamba için bu kabul gayet iyi çalışır.

3. 3. Beş Adımlık Yöntem

   

   ① Serbest cisim diyagramı — hiçbir kuvveti unutma

   ② Eksenler — olabildiğince çok kuvvet eksen üzerine

   ③ Bileşenler — cos ↔ bitişik, sin ↔ karşı, işaret şekilden

   ④ İki denklem — ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0

   ⑤ Çöz ve sağla — büyüklük, işaret, ikinci yol

   Sesli anlatım metni

   Yöntem beş adım. Bir: serbest cisim diyagramını çiz; geçen dersteki gibi, hiçbir kuvveti unutmadan. İki: eksenleri seç. Küçük bir ipucu: eksenleri, kuvvetlerin olabildiğince çoğu eksen üzerine düşecek şekilde seç. Rampada eksenleri rampaya paralel ve dik alırsan T ve N zaten eksen üzerindedir; yalnız ağırlığı ayırırsın. Üç: eksen üzerinde olmayan her kuvveti bileşenlerine ayır; birinci dersteki kural: bitişik kenar kosinüs, karşı kenar sinüs; işareti şekilden. Dört: iki denklemi yaz. x bileşenlerini topla, sıfıra eşitle; y bileşenlerini topla, sıfıra eşitle. Beş: çöz ve sağla. Sonuç mantıklı mı; büyüklük doğru mu; işaret doğru mu; mümkünse ikinci bir yolla kontrol et. Hepsi bu. Şimdi iki problemi bu beş adımla çözelim.

4. 4. Problem A — Rampadaki Sandık

   

   m = 50 kg → W = 490.5 N; rampa 30°, pürüzsüz; halat ∥ rampa

   kuvvetler: W ↓, N ⟂ rampa, T ∥ rampa (yukarı)

   x′ ∥ rampa (yukarı), y′ ⟂ rampa (dışarı)

   W ile −y′ arasındaki açı = 30°

   W_∥ = W sin30° (karşı kenar)

   490.5 × 0.5 = 245.25 N (rampa aşağı: −)

   W_⟂ = W cos30° (bitişik kenar)

   490.5 × 0.866 = 424.8 N (rampaya doğru: −)

   ΣF_{x′} = 0:

   $\displaystyle T - 245.25 = 0$

   $\displaystyle \to T = 245.25 N$

   ΣF_{y′} = 0:

   $\displaystyle N - 424.8 = 0$

   $\displaystyle \to N = 424.8 N$

   sağlama 1:

   $\displaystyle N = 424.8 < W = 490.5 ✓ \left(N \ne W\right)$

   sağlama 2:

   $\displaystyle T ⟂ N \to T² + N² = W²$

   $\displaystyle 60148 + 180455 = 240603 \approx 240590 ✓$

   sağlam — yalnız yuvarlama

   Sesli anlatım metni

   Problem A, rampadaki sandık. Verilenler: kütle 50 kilogram, ağırlık 490.5 Newton; rampa 30 derece, pürüzsüz; halat rampaya paralel. Diyagramda üç kuvvet var: W aşağı, N rampaya dik, T rampa boyunca yukarı. Eksenler: x eksenini rampa boyunca yukarı, y eksenini rampaya dik dışarı alıyorum. T ve N eksen üzerinde; yalnız W'yi ayıracağız. Şimdi dikkat: rampanın eğim açısı 30 derece, ağırlık ile rampanın dikmesi arasındaki açı da 30 derecedir. Ağırlığın rampaya paralel bileşeni karşı kenardır: W çarpı sinüs 30 derece. 490.5 çarpı 0.5 eşittir 245.25 Newton; rampa boyunca aşağı bakar, yani eksi. Ağırlığın rampaya dik bileşeni bitişik kenardır: W çarpı kosinüs 30 derece. 490.5 çarpı 0.866 eşittir 424.8 Newton; rampanın içine doğru bakar, yani eksi. x denklemi: T eksi 245.25 eşittir sıfır. Buradan T eşittir 245.25 Newton. y denklemi: N eksi 424.8 eşittir sıfır. Buradan N eşittir 424.8 Newton. Sağlama bir: N 424.8, ağırlık 490.5; normal kuvvet ağırlıktan küçük çıktı. Geçen dersteki uyarıyı hatırla: rampada N, W'ye eşit değildir. Sağlama iki: T ve N birbirine dik; ikisi birlikte ağırlığı taşıyor. O zaman T'nin karesi artı N'nin karesi, W'nin karesine eşit olmalı. 245.25'in karesi 60148; 424.8'in karesi 180455; toplam 240603. 490.5'in karesi 240590. Fark yalnızca yuvarlama. Çözüm sağlam.

5. 5. Problem B — İki Kablolu Lamba

   

   m = 20 kg

   $\displaystyle W = 20 \times 9.81 = 196.2 N$

   kablo 1: 30° sol · kablo 2: 60° sağ · bilinmeyen T₁, T₂

   kuvvetler: W ↓, T₁ ↖, T₂ ↗ · eksenler x, y

   T₁: −T₁cos30° (x), +T₁sin30° (y)

   T₂: +T₂cos60° (x), +T₂sin60° (y)

   ΣFₓ = 0:

   $\displaystyle -0.866 T₁ + 0.5 T₂ = 0$

   $\displaystyle \to T₂ =\frac{ 0.866}{0.5 }\cdot T₁ = 1.732 T₁$

   ΣF_{y} = 0:

   $\displaystyle 0.5 T₁ + 0.866 T₂ - 196.2 = 0$

   $\displaystyle 0.866 \times 1.732 = 1.5 \to 0.5 T₁ + 1.5 T₁ = 196.2$

   $\displaystyle 2 T₁ = 196.2 \to T₁ = 98.1 N$

   $\displaystyle T₂ = 1.732 \times 98.1 = 169.9 N$

   sağlama:

   $\displaystyle 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} \to T₁² + T₂² = W²$

   $\displaystyle 9624 + 28866 = 38490 \approx 38494 ✓$

   dike yakın kablo (60°) daha çok taşır ✓

   Sesli anlatım metni

   Problem B, iki kablolu lamba. Verilenler: kütle 20 kilogram. Ağırlık: 20 çarpı 9.81 eşittir 196.2 Newton. Kablo 1 sola doğru, tavanla 30 derece; kablo 2 sağa doğru, tavanla 60 derece. Bilinmeyenler T1 ve T2. Diyagramda üç kuvvet: W aşağı, T1 kablo 1 boyunca sol yukarı, T2 kablo 2 boyunca sağ yukarı. Eksenler yatay ve düşey. Bileşenler: T1'in yatay bileşeni T1 çarpı kosinüs 30, sola, eksi; düşey bileşeni T1 çarpı sinüs 30, yukarı, artı. T2'nin yatay bileşeni T2 çarpı kosinüs 60, sağa, artı; düşey bileşeni T2 çarpı sinüs 60, yukarı, artı. x denklemi: eksi T1 çarpı 0.866 artı T2 çarpı 0.5 eşittir sıfır. Buradan T2 eşittir T1 çarpı 0.866 bölü 0.5, yani T2 eşittir 1.732 çarpı T1. y denklemi: T1 çarpı 0.5 artı T2 çarpı 0.866 eksi 196.2 eşittir sıfır. T2 yerine 1.732 T1 yazalım: 1.732 çarpı 0.866 eşittir 1.5. Denklem şu hale gelir: 0.5 T1 artı 1.5 T1 eşittir 196.2. Yani 2 T1 eşittir 196.2; T1 eşittir 98.1 Newton. T2 eşittir 1.732 çarpı 98.1 eşittir 169.9 Newton. Sağlama: 30 artı 60, 90 derece; kablolar birbirine dik. O zaman T1'in karesi artı T2'nin karesi W'nin karesine eşit olmalı. 98.1'in karesi 9624; 169.9'un karesi 28866; toplam 38490. 196.2'nin karesi 38494. Tutuyor. Bir de mantık: dike daha yakın olan kablo, yani 60 derecelik kablo, yükün daha büyük kısmını taşıyor. Beklediğimiz gibi.

6. 6. Dört Tuzak ve Bir Alışkanlık

   

   ① N = W ezberi — rampada N = W cos30° = 424.8 N

   ② Yanlış açı → sin/cos karışır — 30°, W ile dikme arasındadır

   ③ İşaret hatası — rampa-aşağı bileşen artı yazılırsa T eksi çıkar → "halat iter" ✗

   ④ İki bilinmeyen, tek denklem — x denklemi yalnız T₂'yi T₁ cinsinden verir

   Alışkanlık: büyüklük? işaret? ikinci yol?

   Bugünkü ikinci yol: Pisagor (dik çiftler)

   Sesli anlatım metni

   Dört klasik tuzak. Bir: N eşittir W ezberi. Rampada N eşittir W çarpı kosinüs 30, yani 424.8; 490.5 yazarsan bütün çözüm kayar. İki: açıyı yanlış yerden alıp sinüs ile kosinüsü karıştırmak. Rampada ağırlığın paralel bileşeni sinüs, dik bileşeni kosinüs; çünkü 30 derece ağırlık ile dikme arasındaki açıdır. Emin değilsen dik üçgeni çiz ve kenarlara bak. Üç: işaret hatası. Sola ve aşağı bakan bileşen eksidir; ağırlığın rampa aşağı bileşenini artı yazarsan T eksi çıkar ve halatın ittiğini söylersin. Halat itmez. Dört: iki bilinmeyeni tek denklemle çözmeye çalışmak. Lambada x denklemi tek başına T1'i vermez; yalnız T2'yi T1 cinsinden verir. Mutlaka ikinci denklemi yaz. Ve bir alışkanlık edin: her çözümün sonunda üç soru. Büyüklük mantıklı mı? İşaret mantıklı mı? İkinci bir yol var mı? Bugün iki problemde de ikinci yol Pisagor'du; her zaman olmaz, ama olduğunda kullan.

7. 7. Toparlayalım

   

   Duran cisim: ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0 — iki denklem, iki bilinmeyen

   Beş adım: diyagram · eksen · bileşen · denklemler · çöz + sağla

   Eksenleri kuvvetlerin üstüne koy — rampada ∥ ve ⟂

   Rampa: T = 245.25 N, N = 424.8 N · Lamba: T₁ = 98.1 N, T₂ = 169.9 N — Pisagor ✓

   Sıradaki: cismin boyutu işe giriyor — kuvvetin momenti

   Sesli anlatım metni

   Toparlayalım. Duran cisimde kuvvetlerin toplamı sıfırdır: sigma F x eşittir sıfır, sigma F y eşittir sıfır; iki denklem, en fazla iki bilinmeyen. Beş adım: diyagram, eksen, bileşen, iki denklem, çöz ve sağla. Eksenleri kuvvetlerin çoğu üzerlerine düşecek şekilde seç; rampada paralel ve dik. Rampadaki sandıkta T 245.25 Newton, N 424.8 Newton çıktı; lambada T1 98.1, T2 169.9 Newton. İkisinde de Pisagor sağladı. Bir sonraki derste cisimlerin boyutu işin içine giriyor: kuvvet nereye uygulanırsa döndürme etkisi değişir. Moment kavramı. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Parçacık Dengesi (9:13)