#04 Kuvvetin Momenti

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. İki Soru, Bir Paslı Cıvata

   

   Paslı cıvata · 250 mm İngiliz anahtarı · 80 N el kuvveti

   El anahtarın başında → kıpırdamıyor

   Aynı 80 N kolun ucunda → dönüyor

   Döndürme etkisi = kuvvet ve dönme noktasına uzaklık

   Bugün: tanım · işaret · iki yol · iki çözümlü problem, her adım sayıyla

   Sesli anlatım metni

   Statik aslında iki sorudan ibarettir. Birincisi: cisme etkiyen kuvvetler dengede mi? Bunu geçen derste sigma F eşittir sıfır ile çözdük. İkincisi: döndürme etkileri dengede mi? İşte bugün bu ikinci sorunun yapı taşını öğreniyoruz. Somut bir problemle başlayalım. Paslanmış bir cıvata var ve elinde 250 milimetrelik bir İngiliz anahtarı. Elini cıvatanın hemen yanına, anahtarın başına koyup 80 Newton ile bastırıyorsun: cıvata kıpırdamıyor. Aynı 80 Newton'u anahtarın en ucuna uyguluyorsun: cıvata dönüyor. Kuvvet aynı, sonuç bambaşka. Neden? Çünkü döndürme etkisi yalnız kuvvete değil, kuvvetin döndürme noktasına olan uzaklığına da bağlı. Bu etkinin adı moment. Bugün momenti tanımlayacak, işaretini öğrenecek, iki farklı yoldan hesaplayacak ve iki tam çözümlü problemde her adımı sayıyla göstereceğiz.

2. 2. Moment Nedir?

   

   Moment = bir nokta etrafında döndürme eğilimi (kapı, tornavida, pedal)

   $\displaystyle M = F \cdot d$

   d = O'dan etki çizgisine olan dik uzaklık — uygulama noktasına değil

   Birim: N·m — 1 m kolun ucunda 1 N

   İşaret: saat yönünün tersi +, saat yönü − (sağ el kuralı)

   Etki çizgisi O'dan geçerse → d = 0 → M = 0, F ne kadar büyük olursa olsun

   Aynı F, iki kat kol → iki kat moment: uzun anahtar, uzun levye

   Sesli anlatım metni

   Bir kuvvetin bir cismi bir nokta etrafında döndürme eğilimine moment diyoruz; kapıyı iterken, tornavidayı çevirirken, bisiklet pedalına basarken hep momenti kullanırsın. Tanımı basit: O noktasına göre moment, kuvvet çarpı moment koludur; M eşittir F çarpı d. Buradaki d, işin püf noktası: O noktasından kuvvetin etki çizgisine olan dik uzaklık. Kuvvetin uygulandığı noktaya olan uzaklık değil; etki çizgisine dik inilen uzaklık. Etki çizgisi dediğimiz şey, kuvvet okunu iki yöne sonsuza kadar uzatınca elde ettiğin doğru. Birimi Newton çarpı metre: Newton metre. 1 Newton metre demek, 1 metrelik kolun ucuna 1 Newton demek. İşaret meselesi: dönme iki yönlü olabilir. Saat yönünün tersini artı, saat yönünü eksi alacağız; bu, sağ el kuralının düzlemdeki karşılığıdır. Peki, kuvvetin etki çizgisi tam O noktasından geçiyorsa? O zaman dik uzaklık sıfır, moment sıfır; kuvvet ne kadar büyük olursa olsun döndüremez. Cıvatanın hemen yanına basınca olan buydu. Şimdi sezgiyi tamamlayalım: aynı 80 Newton ile momenti iki katına çıkarmanın en kolay yolu, kolu iki katına çıkarmak; uzun anahtar, uzun levye, uzun kapı kolu hep bu yüzden.

3. 3. İki Yol, Aynı Sayı

   

   ① Dik kol:

   $\displaystyle d = r \sin \theta \to M = F \cdot r \sin \theta$

   ② Bileşenler: F⊥ = F sinθ (kol r) · F∥ = F cosθ (O'dan geçer → 0)

   Varignon: kuvvetin momenti = bileşenlerinin momentleri toplamı

   θ = kuvvet ile kol arasındaki açı: ⟂ ↔ sin, ∥ ↔ cos

   Geometri açıksa → yol ①; şekil karışıksa → yol ②; ikisi = en iyi sağlama

   Sesli anlatım metni

   Momenti hesaplamanın iki yolu var ve ikisi de aynı sayıyı verir. Birinci yol, dik kol yolu: kuvvetin etki çizgisini çiz, O noktasından bu çizgiye dik in, dik uzaklığı bul, kuvvetle çarp. Kuvvet, r uzunluğundaki bir kolun ucuna kolla teta açısı yaparak uygulanıyorsa, dik uzaklık r çarpı sinüs teta olur; moment de F çarpı r çarpı sinüs teta. İkinci yol, bileşen yolu: geçen derslerdeki gibi kuvveti iki bileşene ayır; biri kola dik, biri kol boyunca. Kola dik bileşen F çarpı sinüs teta; onun kolu tam r; momenti F sinüs teta çarpı r. Kol boyunca giden bileşen F çarpı kosinüs teta ise etki çizgisi O noktasından geçtiği için moment vermez, sıfır. İkisini topla: yine F çarpı r çarpı sinüs teta. Bu, Varignon ilkesidir: bir kuvvetin momenti, bileşenlerinin momentlerinin toplamına eşittir. Açı kuralına dikkat: teta, kuvvet ile kol arasındaki açı. Kola dik olan bileşen sinüs, kol boyunca olan bileşen kosinüs; tıpkı birinci dersteki açıya bak kuralı gibi. Hangi yol daha iyi? Dik uzaklığı geometriden kolayca görüyorsan birinci yol; şekil karışıksa bileşen yolu daha güvenli. Sınavda ikisini de kullanıp aynı sayıyı görmek en iyi sağlamadır.

4. 4. Problem A — İngiliz Anahtarı

   

   r = 250 mm = 0.25 m · F = 80 N · θ = 60° (kolla)

   d = r sin60° (etki çizgisine dik)

   $\displaystyle 0.25 \times 0.866 = 0.2165 m$

   $\displaystyle M = 80 \times 0.2165 = 17.32 N\cdot m ↺ \left(+\right)$

   $\displaystyle F_{⟂} = 80 \sin 60^{\circ}$

   $\displaystyle 80 \times 0.866 = 69.28 N$

   M = 69.28 × 0.25 = 17.32 N·m ✓ aynı

   $\displaystyle F_{∥} = 80 \cos 60^{\circ} = 80 \times 0.5 = 40 N$

   etki çizgisi O'dan geçer → M = 0 (boşa)

   en büyük (θ = 90°):

   $\displaystyle 80 \times 0.25 = 20 N\cdot m \to 17.32 = \%86.6 ✓$

   80 N × 250 mm = 20000 N·mm = 20 N·m (÷ 1000)

   Sesli anlatım metni

   Problem A: İngiliz anahtarı. Kol uzunluğu 250 milimetre, yani 0.25 metre. El kuvveti 80 Newton, ama tam dik değil: kuvvet kolla 60 derece açı yapıyor. Cıvata merkezine göre moment kaç Newton metre? Önce birinci yol, dik kol. Dik uzaklık d eşittir r çarpı sinüs 60 derece. Sinüs 60 derece 0.866. 0.25 çarpı 0.866 eşittir 0.2165 metre. Moment eşittir 80 çarpı 0.2165, bu da 17.32 Newton metre. Kuvvet anahtarı saat yönünün tersine döndürüyor; işaret artı. Şimdi ikinci yol, bileşenler. Kola dik bileşen: 80 çarpı sinüs 60, yani 80 çarpı 0.866 eşittir 69.28 Newton. Bu bileşenin kolu tam 0.25 metre: 69.28 çarpı 0.25 eşittir 17.32 Newton metre. Aynı sayı. Kol boyunca giden bileşen: 80 çarpı kosinüs 60, yani 80 çarpı 0.5 eşittir 40 Newton. Bu 40 Newton anahtarı cıvataya doğru itiyor; etki çizgisi cıvata merkezinden geçiyor; momenti sıfır. Boşa giden kuvvet. Mantıklı mı? En büyük momenti kuvveti kola tam dik uyguladığında alırsın: 80 çarpı 0.25 eşittir 20 Newton metre. Bizim sonucumuz 17.32; 20'den küçük, 20'nin yüzde 86.6'sı, tam da sinüs 60'ın söylediği kadar. Bir de birim tuzağı: 80 Newton çarpı 250 milimetre eşittir 20000 Newton milimetre yazar, sonra bunu Newton metre sanırsın. Milimetreyi 1000'e böl: 20 Newton metre. Kolu hesaba her zaman metre olarak sok.

5. 5. Problem B — Menteşeli Kiriş

   

   kiriş 3 m, menteşe O · F₁ = 400 N ↓ 1.0 m'de · F₂ = 200 N 3.0 m'de, kirişle 30°

   F₁ ⟂ kiriş → d = 1.0 m

   $\displaystyle M₁ = -400 \times 1.0 = -400 N\cdot m ↻$

   $\displaystyle F₂ \to ⟂ = 200 \sin 30^{\circ} \cdot ∥ = 200 \cos 30^{\circ}$

   ⟂:

   $\displaystyle 200 \times 0.5 = 100 N ↑$

   ∥: 200 × 0.866 = 173.2 N, O'dan geçer → M = 0

   ⟂ bileşenin kolu = 3.0 m

   $\displaystyle M₂ = +100 \times 3.0 = +300 N\cdot m ↺$

   $\displaystyle ΣM_{O} = -400 + 300$

   ΣM_O = −100 N·m ↻ saat yönü

   yük kazanır — kirişin ucu aşağı iner

   denge:

   $\displaystyle F \times 0.5 \times 3.0 = 400 \to F \times 1.5 = 400$

   $\displaystyle F =\frac{ 400 }{ 1.5 }= 266.7 N$

   Sesli anlatım metni

   Problem B: menteşeli kiriş. Hafif, 3 metre uzunluğunda bir kiriş; sol ucu O noktasında menteşeli, yani orada serbestçe dönebiliyor. İki kuvvet var. Birincisi: menteşeden 1 metre uzakta, aşağı doğru 400 Newton; mesela asılı bir yük. İkincisi: kirişin tam ucunda, 3 metrede, bir halat kirişi yukarı sağa, kirişle 30 derece açı yaparak 200 Newton ile çekiyor. Soru: menteşeye göre toplam moment kaç, kiriş hangi yöne dönmek ister? Kuvvetleri tek tek alalım. 400 Newton aşağı, kol 1 metre; kuvvet kirişe dik, dik uzaklık doğrudan 1 metre. Moment 400 çarpı 1.0 eşittir 400 Newton metre. Yönü: sağ taraftaki aşağı itiş kirişi saat yönünde döndürür; eksi 400. Şimdi 200 Newton. Kirişle 30 derece yapıyor; bileşenlere ayıralım. Kirişe dik bileşen 200 çarpı sinüs 30, yani 200 çarpı 0.5 eşittir 100 Newton, yukarı. Kiriş boyunca bileşen 200 çarpı kosinüs 30, yani 200 çarpı 0.866 eşittir 173.2 Newton; bu bileşen kirişin ekseni boyunca etkiyor, etki çizgisi menteşeden geçiyor, moment sıfır. Dik bileşenin kolu 3 metre: 100 çarpı 3.0 eşittir 300 Newton metre. Yönü: sağ taraftan yukarı çekiş kirişi saat yönünün tersine döndürür; artı 300. Toplayalım: eksi 400 artı 300 eşittir eksi 100 Newton metre. Sonuç eksi: kiriş saat yönünde dönmek ister; yani asılı yük kazanır, kirişin ucu aşağı gider. Küçük bir soru daha: halattaki kuvvet kaç olsaydı kiriş dengede kalırdı? Halatın momenti 400'e eşit olmalı: F çarpı 0.5 çarpı 3.0 eşittir 400; F çarpı 1.5 eşittir 400; F eşittir 400 bölü 1.5, yani 266.7 Newton. Mantıklı mı? Halat üç kat uzak ama sinüs 30 yüzünden ancak yarısı işe yarıyor; 200 Newton, 1.5 metrede 200 Newton gibi davranıyor, 300 çıkması bundan. Dengelemek için 266.7 Newton'a, yani daha fazlasına ihtiyaç var; sayı tutarlı.

6. 6. Dört Tuzak ve Bir Alışkanlık

   

   ① Uygulama noktasına uzaklık ≠ moment kolu — dik uzaklık (0.2165, 0.25 değil)

   ② İşareti unutmak — 400 + 300 = 700 ✗ → −400 + 300 = −100 ✓

   ③ N × mm, N·m değildir — kol her zaman metre

   ④ Büyük kuvvet ≠ büyük moment — O'dan geçince moment 0 (173.2 N hiç katkı vermedi)

   Alışkanlık: etki çizgisi → dik in → yönü söyle → çarp

   Sesli anlatım metni

   Dört klasik tuzak ve bir alışkanlık. Bir: uzaklığı yanlış almak. Moment kolu, O noktasından kuvvetin uygulandığı noktaya olan uzaklık değil; etki çizgisine olan dik uzaklıktır. Anahtar örneğinde 0.25 değil, 0.2165 metre. İki: işareti unutmak. Momentleri toplarken saat yönü ile tersini ayırmazsan, 400 ile 300'ü toplayıp 700 bulursun; oysa biri diğerine karşı çalışıyor, doğru cevap eksi 100. Üç: birim karışıklığı. Milimetre ile Newton'u çarpıp Newton metre sanmak; kolu hesaba her zaman metre olarak sok. Dört: büyük kuvvet eşittir büyük moment sanmak. Etki çizgisi O noktasından geçen kuvvetin momenti sıfırdır; kirişteki 173.2 Newton'luk bileşen kocaman ama momente katkısı yok. Alışkanlık: her momentte önce etki çizgisini çiz, O noktasından dik in, yönü söyle, sonra çarp.

7. 7. Toparlayalım

   

   Moment = döndürme etkisi: M = F · d, d etki çizgisine dik, birim N·m, ↺ +

   İki yol, aynı sayı: F · (r sinθ) = (F sinθ) · r — Varignon

   Anahtar: 17.32 N·m · Kiriş: −400 + 300 = −100 N·m ↻

   Etki çizgisi O'dan geçen kuvvet → moment 0

   Sıradaki: ΣF = 0 ve ΣM = 0 birlikte — kirişler, mesnetler, gerçek yapılar

   Sesli anlatım metni

   Toparlayalım. Moment, kuvvetin bir noktaya göre döndürme etkisidir: M eşittir F çarpı d; d, etki çizgisine dik uzaklık; birim Newton metre; saat yönünün tersi artı. İki yol aynı sayıyı verir: dik kol çarpı kuvvet, ya da kola dik bileşen çarpı kol; Varignon ilkesi. Anahtarda 80 Newton, 0.25 metre ve 60 derece ile 17.32 Newton metre bulduk; kirişte eksi 400 artı 300 eşittir eksi 100 Newton metre, saat yönü. Etki çizgisi O'dan geçen kuvvetin momenti sıfırdır. Bir sonraki derste bu iki soruyu birleştiriyoruz: sigma F eşittir sıfır ve sigma M eşittir sıfır; kirişler, mesnetler, gerçek yapılar. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Kuvvetin Momenti (9:24)