#05 توازن الجسم الجاسئ

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. مسندان وحمل واحد — من يحمل ماذا؟

   

   عارضة 4 m · مسندان A (يسار) وB (يمين) · 600 N على بعد 1 m من A

   كم يحمل كل مسند؟ 300/300؟ 400/200؟

   اليوم: ثلاث معادلات · أنواع المساند · مسألتان محلولتان، كل رقم ظاهر

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس الماضي قلنا إن الاستاتيكا تطرح سؤالين: هل القوى متوازنة، وهل تأثيرات الدوران متوازنة. اليوم يجتمع السؤالان؛ الجسم الساكن لا ينزلق ولا يدور. لنبدأ بمسألة حقيقية مرة أخرى. عارضة خفيفة طولها 4 أمتار ترتكز على مسندين: A عند الطرف الأيسر وB عند الطرف الأيمن. يوضع على العارضة حمل مقداره 600 نيوتن، لكن ليس في المنتصف؛ بل على بعد متر واحد من المسند A. السؤال: كم نيوتن يحمل كل مسند؟ حدسك يقول إن المسند الأيسر يحمل أكثر، وهذا صحيح؛ لكن كم؟ 300 و300؟ 400 و200؟ في دروس الجسيم لم يكن مهمًا أين تُطبَّق القوة؛ كل شيء يلتقي عند نقطة واحدة. الآن الجسم عارضة، ومكان الحمل يغيّر النتيجة؛ نسمّي هذا جسمًا جاسئًا. ولهذا بالضبط تدخل معادلة العزم في اللعبة. اليوم نتعلم إيجاد ردود أفعال المساند بثلاث معادلات، ونتعرف على أنواع المساند، ونحل مسألتين كاملتين مع إظهار كل رقم.

2. 2. ثلاث معادلات وحيلة واحدة

   

   لا ينزلق ← ΣFₓ = 0، ΣF_y = 0

   لا يدور ← ΣM = 0

   O نقطة أي — للجسم المتوازن مجموع العزوم صفر حول كل نقطة

   ثلاث معادلات ← ثلاثة مجاهيل على الأكثر

   الحيلة: خذ العزوم حول النقطة التي تمر بها المجاهيل ← عزمها 0 ← معادلة واحدة، مجهول واحد

   نص الشرح الصوتي

   عن الجسم الجاسئ الساكن يمكننا قول شيئين. الأول: لا ينزلق؛ أي أن مجموع القوى صفر. ونعرف هذا مسبقًا: مجموع F x يساوي صفرًا ومجموع F y يساوي صفرًا. الثاني: لا يدور؛ أي أن مجموع العزوم صفر. مجموع M يساوي صفرًا. في المستوى يصبح لدينا ثلاث معادلات: مجموع F x صفر، مجموع F y صفر، مجموع M صفر. جمال معادلة العزم في هذا: أيًا كانت النقطة التي تأخذ العزوم حولها، فإن المجموع للجسم المتوازن يساوي صفرًا. اختيار النقطة متروك لك. ثلاث معادلات تعني ثلاثة مجاهيل على الأكثر. إذا رأيت في مسألة أربعة مجاهيل أو أكثر، فالاستاتيكا وحدها لا تكفي؛ في مسائل اليوم سيكون لدينا ثلاثة أو أقل. والآن أنفع حيلة: خذ العزوم حول النقطة التي تمر بها المجاهيل. القوة التي يمر خط تأثيرها بتلك النقطة عزمها صفر، فتسقط من المعادلة. يبقى لك معادلة واحدة بمجهول واحد، فتحلها مباشرة. هذه الحيلة ستنهي مسألتي اليوم بضربة واحدة.

3. 3. المساند ومخطط الجسم الجاسئ

   

   الكابل: يشد على امتداده ← مجهول واحد (T)

   البكرة: رد فعل واحد ⟂ على السطح، تنزلق بحرية ← مجهول واحد

   المفصل: لا ينزلق، يدور ← Aₓ، A_y ← مجهولان

   الوثيق: لا ينزلق ولا يدور ← Aₓ، A_y، M ← ثلاثة مجاهيل (دروس لاحقة)

   مخطط الجسم الجاسئ: اعزل · المساند ← ردود أفعال · الأحمال في مكانها · الوزن من المركز · اكتب الأطوال

   الوصفة: اعزل · ردود الأفعال · الأطوال · ثلاث معادلات · حُل · تحقق حول نقطة ثانية

   نص الشرح الصوتي

   لإيجاد ردود أفعال المساند علينا أولًا أن نعرف ما يفعله كل مسند؛ فهرس قصير. الحبل أو الكابل: يشد فقط، على امتداد الكابل؛ مجهول واحد، الشد. البكرة أو المسند المتحرك: يعطي رد فعل واحدًا عموديًا على السطح وينزلق بحرية جانبيًا؛ مجهول واحد. المفصل أو المسند الثابت: لا ينزلق لكنه يدور؛ يعطي مركّبتي رد فعل، أفقية ورأسية، A x وA y؛ مجهولان. المسند الوثيق، كعارضة مثبتة في جدار: لا ينزلق ولا يدور؛ مركّبتا قوة زائد عزم، ثلاثة مجاهيل. اليوم نتعرف عليه فقط، وسنستخدمه في دروس لاحقة. مخطط الجسم الحر للجسم الجاسئ يتبع الوصفة نفسها: اعزل الجسم، استبدل كل مسند بردود أفعاله، أبقِ الأحمال في أماكنها، والوزن من المركز إن وُجد، واكتب الأطوال دائمًا؛ العزوم تحتاج إلى مسافات. الوصفة باختصار: اعزل، حوّل المساند إلى ردود أفعال، اكتب الأطوال، أنشئ المعادلات الثلاث، حُل، وتحقق بعزم حول نقطة ثانية.

4. 4. المسألة A — عارضة بسيطة الارتكاز

   

   المعطيات: L = 4 m · مفصل A، بكرة B · F = 600 N ↓ على بعد 1.0 m من A

   المخطط: Aₓ، A_y عند A · B_y عند B · 600 N عند 1 m · الأطوال 1 m، 4 m

   المجاهيل: Aₓ، A_y، B_y ← 3 = 3 معادلات

   ΣFₓ = 0 ← Aₓ = 0 (لا حمل أفقي)

   ΣM_A = 0 — Aₓ، A_y تمران بـ A ← تسقطان

   $\displaystyle B_{y} \cdot 4 \left(↺ +\right) - 600 \cdot 1 \left(↻ -\right) = 0$

   $\displaystyle B_{y} =\frac{ 600 }{ 4 }= 150 N$

   ΣF_{y} = 0:

   $\displaystyle A_{y} + 150 - 600 = 0$

   $\displaystyle A_{y} = 600 - 150 = 450 N$

   التحقق ΣM_B: −A_y · 4 + 600 · 3

   $\displaystyle -1800 + 1800 = 0 ✓$

   أقرب إلى A بثلاث مرات ← A يحمل 3× (450 : 150) · المجموع 600 ✓

   نص الشرح الصوتي

   المسألة A: عارضة المقدمة. 4 أمتار، مفصل عند A، بكرة عند B، 600 نيوتن إلى الأسفل، على بعد متر واحد من A. مخطط الجسم الحر: عند A ردا فعل، أفقي ورأسي، A x وA y؛ عند B رد فعل رأسي فقط، B y؛ الحمل 600 نيوتن عند متر واحد؛ الأطوال 1 و4 أمتار. ثلاثة مجاهيل: A x وA y وB y. وثلاث معادلات أيضًا؛ تكفي تمامًا. السهل أولًا: لا توجد قوة أفقية، فمجموع F x يساوي صفرًا يعطي A x يساوي صفرًا. المفصل لا يحمل شيئًا أفقيًا. والآن الحيلة: خذ العزوم حول النقطة A؛ A x وA y تمران بها، فتسقطان معًا. مجموع M A: B y في 4، عكس عقارب الساعة، موجب؛ ناقص 600 في 1، مع عقارب الساعة. يساوي صفرًا. إذن B y في 4 يساوي 600؛ B y يساوي 600 على 4، أي 150 نيوتن. التوازن الرأسي: مجموع F y: A y زائد B y ناقص 600 يساوي صفرًا. A y يساوي 600 ناقص 150، أي 450 نيوتن. التحقق: خذ العزوم حول B هذه المرة. ناقص A y في 4 زائد 600 في 3: ناقص 450 في 4 يساوي ناقص 1800؛ 600 في 3 يساوي 1800؛ المجموع صفر. يتحقق تمامًا. هل هذا منطقي؟ الحمل على بعد متر من A و3 أمتار من B؛ أقرب إلى A بثلاث مرات، فيحمل A ثلاثة أضعاف: 450 مقابل 150، ثلاثة إلى واحد. والمجموع 600، الحمل كله. كان الحدس صحيحًا، وصار له رقم الآن.

5. 5. المسألة B — مفصل وكابل

   

   المعطيات: L = 3 m · مفصل A · كابل عند B بزاوية 30° مع العارضة · F = 300 N ↓ عند 1.5 m

   المخطط: Aₓ، A_y عند A · T على امتداد الكابل (أعلى-يسار) عند B · 300 N في المنتصف

   المجاهيل: Aₓ، A_y، T ← 3

   T ← ⟂ T sin30° = 0.5 T (أعلى) · ∥ T cos30° = 0.866 T (يسار)

   ΣM_A = 0 — Aₓ، A_y و0.866 T (عبر A) تسقط

   $\displaystyle 0.5 T \cdot 3 - 300 \cdot 1.5 = 0 ← 1.5 T = 450 ← T = 300 N$

   ΣFₓ = 0:

   $\displaystyle Aₓ - 0.866 T = 0$

   $\displaystyle Aₓ = 0.866 \times 300 = 259.8 N ←$

   ΣF_{y} = 0:

   $\displaystyle A_{y} + 0.5 T - 300 = 0$

   $\displaystyle A_{y} = 300 - 150 = 150 N$

   التحقق ΣM_{B}:

   $\displaystyle -150 \cdot 3 + 300 \cdot 1.5 = -450 + 450 = 0 ✓$

   المنتصف ← رأسيًا 150 + 150 · الكابل المائل: 300 داخله ليعطي 150 (sin30° = 0.5)

   نص الشرح الصوتي

   المسألة B: هذه المرة أحد المسندين كابل. عارضة خفيفة طولها 3 أمتار؛ طرفها الأيسر مثبت بمفصل عند A؛ وطرفها الأيمن B معلق بكابل يصنع مع العارضة زاوية 30 درجة ويمتد إلى الأعلى نحو جدار. يتدلى حمل مقداره 300 نيوتن من منتصف العارضة، عند 1.5 متر. ما شد الكابل وما ردود أفعال المفصل؟ مخطط الجسم الحر: عند A، A x وA y؛ عند B الشد T يشد على امتداد الكابل، إلى الأعلى واليسار؛ 300 نيوتن إلى الأسفل في المنتصف. ثلاثة مجاهيل مرة أخرى: A x وA y وT. T مائل؛ نحلله إلى مركّبتين كما في الدرس الماضي. عمودية على العارضة، إلى الأعلى: T في جيب 30، أي 0.5 T. على امتداد العارضة، إلى اليسار: T في جيب تمام 30، أي 0.866 T. الحيلة نفسها: خذ العزوم حول A. تسقط A x وA y. والمركّبة الأفقية للكابل تؤثر على امتداد محور العارضة، على خط يمر بـ A، فعزمها صفر أيضًا. يبقى عزمان. مجموع M A: 0.5 T في 3، موجب؛ ناقص 300 في 1.5. صفر. 0.5 في 3 يساوي 1.5؛ 300 في 1.5 يساوي 450. إذن 1.5 T يساوي 450؛ T يساوي 450 على 1.5، أي 300 نيوتن. التوازن الأفقي: مجموع F x: A x ناقص 0.866 T يساوي صفرًا. A x يساوي 0.866 في 300، أي 259.8 نيوتن، إلى اليمين. المفصل يقاوم شد الكابل نحو اليسار. التوازن الرأسي: مجموع F y: A y زائد 0.5 T ناقص 300 يساوي صفرًا. A y يساوي 300 ناقص 150، أي 150 نيوتن. التحقق: العزوم حول B: ناقص A y في 3 زائد 300 في 1.5؛ ناقص 450 زائد 450؛ صفر. يتحقق. هل هذا منطقي؟ الحمل في المنتصف تمامًا، فيتقاسم المفصل والكابل الحمل الرأسي بالتساوي: 150 و150. لكن الكابل مائل؛ ولكي يعطي 150 رأسيًا يحتاج إلى 300 في داخله، لأن جيب 30 يساوي النصف. الكابل المائل يعمل ضعف الكابل الرأسي؛ والرقم يقول ذلك.

6. 6. أربعة فخاخ وعادة واحدة

   

   ① اختيار نقطة العزم عشوائيًا ← كل المجاهيل في معادلة واحدة. اختر النقطة التي تمر بها المجاهيل

   ② نسيان Aₓ عند المفصل — كانت 0 في A لكنها 259.8 N في B؛ دع الحساب يقرر

   ③ إشارة العزم — الإشارة نفسها للاثنين ← B_y سالبة، "البكرة تشد" ✗

   ④ توازن القوى وحده — A_y + B_y = 600 معادلة واحدة لمجهولين؛ تحتاج ΣM

   العادة: تحقق بـ ΣM حول نقطة ثانية — الصفر يعني الصواب

   نص الشرح الصوتي

   أربعة فخاخ كلاسيكية وعادة واحدة. الأول: اختيار نقطة العزم عشوائيًا. خذها في المنتصف فتدخل المجاهيل الثلاثة كلها في المعادلة ويطول العمل. اختر النقطة التي تمر بها المجاهيل؛ حول A اختفت A x وA y دفعة واحدة. الثاني: نسيان رد الفعل الأفقي عند المفصل. المفصل يعطي مركّبتين؛ في المسألة A خرجت A x صفرًا، لكنها في المسألة B كانت 259.8 نيوتن. إن كانت ستكون صفرًا فليقل الحساب ذلك؛ لا تمحُها مسبقًا. الثالث: إشارة العزم. عكس عقارب الساعة موجب، ومعها سالب؛ اجمعهما بالإشارة نفسها فتخرج B y سالبة، كأن البكرة تشد العارضة إلى الأسفل؛ البكرة لا تشد، بل تدفع. الرابع: محاولة الحل بتوازن القوى وحده. A y زائد B y يساوي 600 معادلة واحدة؛ لا تعطي مجهولين؛ بلا معادلة العزم لا توجد ردود أفعال للمساند. العادة: عندما تحصل على الجواب، خذ العزوم حول نقطة ثانية. إن خرج صفرًا فالحساب صحيح؛ وإلا فالخطأ هناك في مكان ما.

7. 7. خلاصة ما تعلمناه

   

   الجسم الجاسئ الساكن: ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0 — ثلاث معادلات، ثلاثة مجاهيل

   المساند: الكابل يشد · البكرة تدفع ⟂ · المفصل مركّبتان · الوثيق 2 + M

   العزوم حول نقطة المجاهيل: العارضة B = 150, A = 450 N · عارضة الكابل T = 300, Aₓ = 259.8, A_y = 150 N

   تحقق دائمًا بـ ΣM حول نقطة ثانية

   التالي: الأحمال الموزعة والازدواجات

   نص الشرح الصوتي

   لنجمع ما تعلمناه. الجسم الجاسئ الساكن لا ينزلق ولا يدور: مجموع F x صفر، مجموع F y صفر، مجموع M صفر؛ ثلاث معادلات، ثلاثة مجاهيل على الأكثر. المساند: الكابل يشد، البكرة تدفع عموديًا على السطح، المفصل يعطي مركّبتين، والمسند الوثيق يعطي مركّبتين زائد عزم. خذ العزوم حول النقطة التي تمر بها المجاهيل: في العارضة B 150 وA 450 نيوتن؛ وفي عارضة الكابل T 300 وA x 259.8 وA y 150 نيوتن؛ وتحققنا من الاثنتين بعزم حول نقطة ثانية. عادة التحقق من كل جواب بعزم حول نقطة ثانية ستنقذك في الامتحان وفي الميدان. في الدرس القادم لن تجلس الأحمال عند نقطة واحدة، بل ستتوزع على طول العارضة: الأحمال الموزعة والازدواجات. إلى اللقاء.

الفيديو المصدر: توازن الجسم الجاسئ (11:36)