#05 Rijit Cisim Dengesi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. İki Mesnet, Bir Yük — Kim Ne Kadar Taşır?

   

   4 m kiriş · mesnetler A (sol) ve B (sağ) · 600 N, A'dan 1 m uzakta

   Her mesnet kaç N taşır? 300/300 mü? 400/200 mü?

   Bugün: üç denklem · mesnet çeşitleri · iki çözümlü problem, her adım sayıyla

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste statiğin iki sorusundan bahsettik: kuvvetler dengede mi, dönmeler dengede mi. Bugün bu iki soru birleşiyor; duran bir cisim hem kaymaz hem dönmez. Yine gerçek bir problemle başlayalım. 4 metre uzunluğunda hafif bir kiriş iki mesnet üstünde duruyor: sol uçta A, sağ uçta B. Kirişin üstüne 600 Newton'luk bir yük konuyor, ama ortaya değil; A mesnetinden 1 metre uzağa. Soru şu: her mesnet kaç Newton taşır? İçgüdün sana sol mesnetin daha çok taşıdığını söylüyor, doğru; ama kaç Newton? 300 300 mü, 400 200 mi? Parçacık derslerinde kuvvetlerin nereye uygulandığı önemsizdi; hepsi tek noktadaydı. Şimdi cisim bir kiriş, yükün yeri sonucu değiştiriyor; buna rijit cisim diyoruz. İşte bu yüzden moment denklemi devreye giriyor. Bugün üç denklemle mesnet tepkilerini bulmayı öğrenecek, mesnet çeşitlerini tanıyacak ve iki tam çözümlü problemde her adımı sayıyla göstereceğiz.

2. 2. Üç Denklem, Bir Hile

   

   Kaymıyor → ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0

   Dönmüyor → ΣM = 0

   O herhangi bir nokta — dengedeki cisimde her noktaya göre moment toplamı sıfır

   Üç denklem → en çok üç bilinmeyen

   Hile: momenti bilinmeyenlerin geçtiği noktaya göre al → momentleri 0 → tek denklem, tek bilinmeyen

   Sesli anlatım metni

   Duran bir rijit cisim için iki şey söyleyebiliriz. Birincisi: kaymıyor; yani kuvvetlerin toplamı sıfır. Bunu zaten biliyoruz: sigma F x eşittir sıfır ve sigma F y eşittir sıfır. İkincisi: dönmüyor; yani momentlerin toplamı sıfır. Sigma M eşittir sıfır. Düzlemde toplam üç denklem: sigma F x sıfır, sigma F y sıfır, sigma M sıfır. Moment denklemindeki güzellik şu: momenti hangi noktaya göre alırsan al, dengede olan cisim için toplam sıfırdır. Nokta seçimi sana kalmış. Üç denklem, en çok üç bilinmeyen demek. Bir problemde dörtten fazla bilinmeyen görürsen, statik tek başına yetmez; bugünkü problemlerimizde üç ya da daha az olacak. Şimdi en işe yarar hile: momenti, bilinmeyenlerin geçtiği noktaya göre al. Bir kuvvetin etki çizgisi o noktadan geçiyorsa momenti sıfırdır, denklemden düşer. Böylece tek denklemde tek bilinmeyen kalır ve doğrudan çözersin. Bu hile bugün iki problemde de işi bir çırpıda bitirecek.

3. 3. Mesnetler ve Rijit Cisim SCD'si

   

   Kablo: kablo boyunca çeker → 1 bilinmeyen (T)

   Makara: yüzeye ⟂ tek tepki, yatayda serbest → 1 bilinmeyen

   Menteşe: kaymaz, döner → Aₓ, A_y → 2 bilinmeyen

   Ankastre: ne kayar ne döner → Aₓ, A_y, M → 3 bilinmeyen (sonraki dersler)

   Rijit cisim SCD'si: yalıt · mesnetler → tepkiler · yükler yerinde · ağırlık merkezden · uzunlukları yaz

   Reçete: yalıt · tepkiler · uzunluklar · üç denklem · çöz · ikinci noktaya göre sağla

   Sesli anlatım metni

   Mesnet tepkilerini bulmak için önce her mesnetin ne yaptığını bilmemiz lazım; kısa bir katalog. Halat ya da kablo: yalnız çeker, kablo boyunca; tek bilinmeyen, gerilme. Makara ya da hareketli mesnet: yüzeye dik tek bir tepki verir, yatayda serbest kayar; tek bilinmeyen. Menteşe ya da sabit mesnet: kayamaz ama dönebilir; yatay ve düşey iki tepki bileşeni verir, A x ve A y; iki bilinmeyen. Ankastre mesnet, duvara gömülü kiriş gibi: ne kayar ne döner; iki kuvvet bileşeni artı bir moment, üç bilinmeyen. Bugün yalnız tanıyoruz, sonraki derslerde kullanacağız. Rijit cismin serbest cisim diyagramı da aynı reçeteyle çizilir: cismi yalıt, her mesneti tepkisiyle değiştir, yükleri yerlerinde bırak, ağırlık varsa merkezden aşağı, ve uzunlukları mutlaka yaz; moment için uzaklık lazım. Reçete kısaca: yalıt, mesnetleri tepkiye çevir, uzunlukları yaz, üç denklemi kur, çöz ve ikinci bir noktaya göre momentle sağla.

4. 4. Problem A — Basit Mesnetli Kiriş

   

   L = 4 m · A menteşe, B makara · F = 600 N ↓ A'dan 1.0 m

   SCD: A'da Aₓ, A_y · B'de B_y · 600 N 1 m'de · uzunluklar 1 m, 4 m

   bilinmeyenler: Aₓ, A_y, B_y → 3 = 3 denklem

   ΣFₓ = 0 → Aₓ = 0 (yatay yük yok)

   ΣM_A = 0 — Aₓ, A_y A'dan geçer → düşer

   $\displaystyle B_{y} \cdot 4 \left(↺ +\right) - 600 \cdot 1 \left(↻ -\right) = 0$

   $\displaystyle B_{y} =\frac{ 600 }{ 4 }= 150 N$

   ΣF_{y} = 0:

   $\displaystyle A_{y} + 150 - 600 = 0$

   $\displaystyle A_{y} = 600 - 150 = 450 N$

   sağlama ΣM_B: −A_y · 4 + 600 · 3

   $\displaystyle -1800 + 1800 = 0 ✓$

   A'ya 3 kat yakın → A 3 kat taşır (450 : 150) · toplam 600 ✓

   Sesli anlatım metni

   Problem A: girişteki kiriş. 4 metre, A'da menteşe, B'de makara, 600 Newton aşağı, A'dan 1 metre uzakta. Serbest cisim diyagramı: A'da yatay ve düşey iki tepki, A x ve A y; B'de yalnız düşey tepki, B y; yük 600 Newton 1 metrede; uzunluklar 1 ve 4 metre. Bilinmeyenler üç: A x, A y, B y. Denklemler de üç; tam yetiyor. Önce kolay olan: yatay kuvvet yok; sigma F x sıfır dediğimizde A x sıfır çıkar. Menteşe yatayda hiçbir şey taşımıyor. Şimdi hile: momenti A noktasına göre alalım; A x ve A y oradan geçiyor, ikisi de düşer. Sigma M A: B y çarpı 4, saat yönünün tersine, artı; eksi 600 çarpı 1, saat yönünde. Eşittir sıfır. Yani B y çarpı 4 eşittir 600; B y eşittir 600 bölü 4, yani 150 Newton. Düşey denge: sigma F y: A y artı B y eksi 600 eşittir sıfır. A y eşittir 600 eksi 150, yani 450 Newton. Sağlama: momenti bu sefer B'ye göre alalım. Eksi A y çarpı 4 artı 600 çarpı 3: eksi 450 çarpı 4 eşittir eksi 1800; 600 çarpı 3 eşittir 1800; toplam sıfır. Tam tutuyor. Mantıklı mı? Yük A'ya 1 metre, B'ye 3 metre; A'ya üç kat yakın, A üç kat taşıyor: 450'ye 150, üçe bir. Toplam da 600, yükün tamamı. İçgüdü doğruydu, artık sayısı da var.

5. 5. Problem B — Menteşe ve Kablo

   

   L = 3 m · A menteşe · B'de kablo, kirişle 30° · F = 300 N ↓ 1.5 m'de

   SCD: A'da Aₓ, A_y · B'de kablo boyunca T (yukarı-sol) · ortada 300 N

   bilinmeyenler: Aₓ, A_y, T → 3

   T → ⟂ T sin30° = 0.5 T (yukarı) · ∥ T cos30° = 0.866 T (sola)

   ΣM_A = 0 — Aₓ, A_y ve 0.866 T (A'dan geçer) düşer

   $\displaystyle 0.5 T \cdot 3 - 300 \cdot 1.5 = 0 \to 1.5 T = 450 \to T = 300 N$

   ΣFₓ = 0:

   $\displaystyle Aₓ - 0.866 T = 0$

   $\displaystyle Aₓ = 0.866 \times 300 = 259.8 N \to$

   ΣF_{y} = 0:

   $\displaystyle A_{y} + 0.5 T - 300 = 0$

   $\displaystyle A_{y} = 300 - 150 = 150 N$

   sağlama ΣM_{B}:

   $\displaystyle -150 \cdot 3 + 300 \cdot 1.5 = -450 + 450 = 0 ✓$

   orta → düşeyde 150 + 150 · eğik kablo: 150 yukarı için içinde 300 (sin30° = 0.5)

   Sesli anlatım metni

   Problem B: bu sefer mesnetlerden biri kablo. 3 metrelik hafif kiriş; sol ucu A'da menteşeli; sağ ucu B, kirişle 30 derece açı yapan bir kabloyla yukarıdaki duvara bağlı. Kirişin tam ortasına, 1.5 metreye, 300 Newton asılı. Kablodaki gerilme ve menteşe tepkileri kaç Newton? Serbest cisim diyagramı: A'da A x ve A y; B'de kablo boyunca, yukarı sola çeken T; ortada 300 Newton aşağı. Bilinmeyenler yine üç: A x, A y ve T. T eğik; geçen dersteki gibi bileşenlere ayıralım. Kirişe dik, yukarı bileşen T çarpı sinüs 30, yani 0.5 T. Kiriş boyunca, sola bileşen T çarpı kosinüs 30, yani 0.866 T. Hile yine aynı: momenti A'ya göre al. A x ve A y düşer. Kablonun yatay bileşeni de kiriş ekseni boyunca, A'dan geçen doğru üstünde; onun da momenti sıfır. Geriye iki moment kalır. Sigma M A: 0.5 T çarpı 3, artı; eksi 300 çarpı 1.5. Sıfır. 0.5 çarpı 3 eşittir 1.5; 300 çarpı 1.5 eşittir 450. Yani 1.5 T eşittir 450; T eşittir 450 bölü 1.5, yani 300 Newton. Yatay denge: sigma F x: A x eksi 0.866 T eşittir sıfır. A x eşittir 0.866 çarpı 300, yani 259.8 Newton, sağa doğru. Menteşe kablonun sola çekişini karşılıyor. Düşey denge: sigma F y: A y artı 0.5 T eksi 300 eşittir sıfır. A y eşittir 300 eksi 150, yani 150 Newton. Sağlama: momenti B'ye göre al: eksi A y çarpı 3 artı 300 çarpı 1.5; eksi 450 artı 450; sıfır. Tutuyor. Mantıklı mı? Yük tam ortada; düşey yükü menteşe ile kablo yarı yarıya paylaşır: 150 ve 150. Ama kablo eğik; düşeyde 150 verebilmek için içinde 300 Newton olması gerekiyor, çünkü sinüs 30 yarımdır. Eğik kablo, düşey kablodan iki kat çalışıyor; sayı bunu söylüyor.

6. 6. Dört Tuzak ve Bir Alışkanlık

   

   ① Moment noktasını rastgele seçmek → tüm bilinmeyenler tek denklemde. Bilinmeyenlerin geçtiği noktayı seç

   ② Menteşede Aₓ'i unutmak — A'da 0 çıktı ama B'de 259.8 N; hesap karar versin

   ③ Moment işareti — ikisi aynı işaretle → B_y eksi, "makara çeker" ✗

   ④ Yalnız kuvvet dengesi — A_y + B_y = 600 iki bilinmeyene tek denklem; ΣM şart

   Alışkanlık: ikinci bir noktaya göre ΣM ile sağla — sıfır çıkıyorsa doğru

   Sesli anlatım metni

   Dört klasik tuzak ve bir alışkanlık. Bir: moment noktasını rastgele seçmek. Ortadan alırsan üç bilinmeyen birden denkleme girer, işin uzar. Bilinmeyenlerin geçtiği noktayı seç; A'ya göre alınca A x ve A y bir anda kayboldu. İki: menteşede yatay tepkiyi unutmak. Menteşe iki bileşen verir; problem A'da A x sıfır çıktı ama problem B'de 259.8 Newton'du. Sıfır olacaksa hesap söylesin, sen baştan silme. Üç: moment işareti. Saat yönünün tersi artı, saat yönü eksi; ikisini aynı işaretle toplarsan B y eksi çıkar, makara kirişi aşağı çekiyor gibi olur; makara çekemez, iter. Dört: yalnız kuvvet dengesiyle çözmeye çalışmak. A y artı B y eşittir 600 tek denklemdir, iki bilinmeyeni vermez; moment denklemi olmadan mesnet tepkileri bulunmaz. Alışkanlık: sonucu bulunca momenti ikinci bir noktaya göre bir daha al. Sıfır çıkıyorsa hesap doğru; çıkmıyorsa hata orada bir yerde.

7. 7. Toparlayalım

   

   Duran rijit cisim: ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0 — üç denklem, üç bilinmeyen

   Mesnetler: kablo çeker · makara ⟂ iter · menteşe 2 bileşen · ankastre 2 + M

   Bilinmeyenlerin noktasına göre moment: kiriş B = 150, A = 450 N · kablolu kiriş T = 300, Aₓ = 259.8, A_y = 150 N

   Her zaman ikinci noktaya göre ΣM ile sağla

   Sıradaki: yayılı yükler ve kuvvet çiftleri

   Sesli anlatım metni

   Toparlayalım. Duran rijit cisim ne kayar ne döner: sigma F x sıfır, sigma F y sıfır, sigma M sıfır; üç denklem, en çok üç bilinmeyen. Mesnetler: kablo çeker, makara yüzeye dik iter, menteşe iki bileşen verir, ankastre iki bileşen artı moment. Momenti bilinmeyenlerin geçtiği noktaya göre al: kirişte B 150, A 450 Newton; kablolu kirişte T 300, A x 259.8, A y 150 Newton; ikisini de ikinci noktaya göre momentle sağladık. Her sonucu ikinci bir noktaya göre momentle kontrol etme alışkanlığı seni sınavda da sahada da kurtarır. Bir sonraki derste yükler tek noktada değil, kirişin üstüne yayılmış olacak: yayılı yükler ve kuvvet çiftleri. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Rijit Cisim Dengesi (8:53)