#07 İki ve Üç Kuvvetli Elemanlar, Statik Belirlilik

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Üçüncü Mesnet — Kim Ne Kadar Taşır?

   

   6 m kiriş · düzgün yayılı, toplam 12 kN

   Ortaya üçüncü mesnet: A · C · B

   Her mesnet kaç kN taşır? Eşit mi, 4 / 4 / 4? Denklemlerle mi?

   Cevap dersin sonunda — şaşırtabilir

   Önce: iki ve üç kuvvetli elemanlar · sonra statik belirlilik

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste kirişi iki mesnet taşıyordu ve mesnet kuvvetlerini üç denge denklemiyle bulduk. Bugün aynı 6 metrelik kirişe düzgün yayılı, toplam 12 kilonewtonluk bir yük koyuyoruz ve daha sağlam olsun diye ortasına üçüncü bir mesnet ekliyoruz: solda A, ortada C, sağda B. Soru şu: her mesnet kaç kilonewton taşır? Çoğu kişi ya eşit paylaşırlar, dörder kilonewton der, ya da denklemleri yazar çözerim der. Bu soruya dersin sonunda döneceğiz; cevap sizi şaşırtabilir. Önce işimizi çok kolaylaştıran iki özel durumu öğreneceğiz: iki kuvvetli ve üç kuvvetli elemanlar. Sonra bir yapının statikle çözülebilir olup olmadığını, yani statik belirliliği göreceğiz.

2. 2. İki Kuvvetli Eleman

   

   İki kuvvetli eleman: yalnız iki noktadan yüklenir; arada yük, ağırlık, moment yok

   ΣF = 0 → iki kuvvet eşit ve zıt

   ΣM = 0 → aynı doğru üzerinde (yoksa kuvvet çifti → döner)

   Doğrultu belli: iki noktayı birleştiren doğru · bilinmeyen yalnız büyüklük

   Çekiyorsa çekme, itiyorsa basınç

   Hidrolik silindir · bağlantı çubuğu · eğik dikme · kafes çubukları

   Sesli anlatım metni

   İki kuvvetli eleman, yalnız iki noktadan yüklenen bir elemandır; arada hiçbir yük, ağırlık ya da moment yoktur. Dengede olması için bu iki kuvvet hakkında çok şey söyleyebiliriz. Birincisi: kuvvetlerin toplamı sıfır olmalı; demek ki iki kuvvet eşit büyüklükte ve zıt yönde. İkincisi: moment toplamı da sıfır olmalı. Eşit ve zıt iki kuvvet aynı doğru üzerinde değilse ne olur? Geçen dersten biliyoruz: bir kuvvet çifti oluşur ve eleman döner. O hâlde iki kuvvet aynı doğru üzerinde olmak zorunda; o doğru da iki yük noktasını birleştiren doğrudur. Sonuç: iki kuvvetli bir elemandaki kuvvetin doğrultusunu hesap yapmadan biliriz; bilinmeyen yalnız büyüklüğüdür. Çekiyorsa çekme, itiyorsa basınç deriz. Hayattan örnekler: iki ucu mafsallı bir hidrolik silindir, bir bağlantı çubuğu, bir tabelayı tutan eğik dikme. Önümüzdeki derslerde göreceğimiz kafes sistemlerin bütün çubukları da iki kuvvetli elemandır.

3. 3. Örnek: Duvar Kolu ve Eğik Dikme

   

   kol AB = 2.4 m · A menteşe · B'de 3 kN tabela

   dikme DC: D, A'nın 0.9 m altı · C, A'dan 1.2 m

   DC iki kuvvetli → F, D→C doğrultusunda

   üçgen: 1.2 · 0.9 · 1.5 m

   $\displaystyle \sin \theta =\frac{ 0.9 }{ 1.5 }= 0.6 \cdot \cos \theta =\frac{ 1.2 }{ 1.5 }= 0.8$

   bilinmeyenler: Aₓ, A_y, F → 3

   ΣM_{A} = 0:

   $\displaystyle 0.6 F \cdot 1.2 - 3 \cdot 2.4 = 0$

   $\displaystyle 0.6 \cdot 1.2 = 0.72 ; 3 \cdot 2.4 = 7.2$

   F = 7.2 / 0.72 = 10 kN (basınç)

   ΣFₓ: Aₓ + 0.8 · 10 = 0 → Aₓ = −8 kN (duvara)

   ΣF_y: A_y + 6 − 3 = 0 → A_y = −3 kN (aşağı)

   dikme 6 kN yukarı verir, tabela 3 kN ister → fazla 3 kN'u menteşe aşağı çeker

   sağlama ΣM_{B}:

   $\displaystyle 3 \cdot 2.4 - 6 \cdot 1.2 = 7.2 - 7.2$

   $\displaystyle = 0 ✓$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi bir örnek. Duvara menteşeyle bağlı, 2.4 metrelik yatay bir kol düşünün; menteşe duvardaki A noktasında. Kolun ucu B'de 3 kilonewtonluk bir tabela asılı. Kolu, duvarda A'nın 0.9 metre altındaki D noktasından çıkan eğik bir dikme destekliyor; dikme kola, A'dan 1.2 metre uzaktaki C noktasında bağlı. Dikmenin iki ucu da mafsallı ve arasında yük yok: iki kuvvetli eleman. Demek ki dikme kuvveti D'den C'ye uzanan doğru boyunca. Bu doğrunun eğimini üçgenden bulalım: yatayda 1.2, düşeyde 0.9 metre; hipotenüs 1.5 metre. Yani sinüs 0.9 bölü 1.5, eşittir 0.6; kosinüs 1.2 bölü 1.5, eşittir 0.8. Kolun serbest cisim diyagramında bilinmeyenler üç: A x, A y ve dikme kuvveti F. Momenti A'ya göre alalım; A x ve A y düşer. F'nin düşey bileşeni 0.6 F, A'ya 1.2 metre uzakta; tabela 3 kilonewton, 2.4 metre uzakta. 0.6 F çarpı 1.2, eksi 3 çarpı 2.4, eşittir sıfır. 0.6 çarpı 1.2, 0.72; 3 çarpı 2.4, 7.2. F eşittir 7.2 bölü 0.72, yani 10 kilonewton. Dikme kolu itiyor; yani basınçta. Yatay denge: A x artı 0.8 çarpı 10, eşittir sıfır; A x eksi 8 kilonewton: menteşe kolu duvara doğru çekiyor. Düşey denge: A y artı 0.6 çarpı 10, eksi 3, eşittir sıfır; A y eksi 3 kilonewton. Eksi işaret şaşırtabilir: menteşe kolu aşağı çekiyor. Neden? Dikme, tabelanın gerektirdiğinden daha büyük bir yukarı kuvvet veriyor: 6 kilonewton. Fazlasını, yani 3 kilonewtonu, menteşe aşağı çekerek dengeliyor. Sağlama: momenti B'ye göre alalım. Menteşenin aşağı 3 kilonewtonu B'ye 2.4 metre uzakta: 3 çarpı 2.4, 7.2. Dikmenin yukarı 6 kilonewtonu B'ye 1.2 metre uzakta: 6 çarpı 1.2, yine 7.2, ama ters yönde. Farkı sıfır. Tutuyor.

4. 4. Üç Kuvvetli Eleman: Tek Noktada Kesişme

   

   Kolda üç kuvvet: menteşe, dikme, tabela → üç kuvvetli eleman

   Kural: üç kuvvetin etki çizgileri tek noktada kesişir ya da paraleldir

   Neden? İkisinin kesiştiği noktaya göre moment al → üçüncüsünün de oradan geçmesi gerekir

   Tabela çizgisi (B'den düşey) ∩ dikme çizgisi → O: B'nin 0.9 m üstü

   Menteşe kuvvetinin çizgisi de O'dan geçer: eğim 0.9 / 2.4 = 0.375

   Bileşenlerden: 3 / 8 = 0.375 ✓ — denklemsiz doğrultu

   |F_A| = √(8² + 3²) = √73 ≈ 8.54 kN

   Sesli anlatım metni

   Aynı kola bir de şöyle bakalım. Kolu yükleyen üç kuvvet var: menteşe kuvveti, dikme kuvveti ve tabela. Bu bir üç kuvvetli eleman. Üç kuvvetli elemanda denge için çok güzel bir kural var: üç kuvvetin etki çizgileri ya tek bir noktada kesişir ya da üçü birbirine paraleldir. Neden? İki kuvvetin kesiştiği noktaya göre moment alın: o iki kuvvetin momenti sıfırdır. Geriye kalan üçüncü kuvvetin momenti de sıfır olmalı; bu ancak onun etki çizgisi de o noktadan geçerse olur. Kolumuzda tabelanın etki çizgisi B'den geçen düşey doğru; dikmenin etki çizgisi C'den eğimle yükselen doğru. Bu iki doğru, B'nin 0.9 metre üstünde, O noktasında kesişiyor. O zaman menteşe kuvvetinin etki çizgisi de O'dan geçmek zorunda: A'dan O'ya eğim 0.9 bölü 2.4, yani 0.375. Az önce bulduğumuz bileşenlere bakalım: 3 bölü 8, yine 0.375. Hiç denklem çözmeden menteşe kuvvetinin doğrultusunu bulmuş olduk. Büyüklüğü ise bileşenlerden: 8'in karesi 64, 3'ün karesi 9; toplamı 73, karekökü yaklaşık 8.54 kilonewton.

5. 5. Statik Belirlilik: Bilinmeyen mi Denklem mi?

   

   Düzlemde 3 denklem: ΣFₓ, ΣF_y, ΣM

   Bilinmeyen = 3 → statikçe belirli

   Bilinmeyen > 3 → statikçe belirsiz

   Fazla mesnet: daha rijit, ama statik yetmez → eğilmeden ek denklem

   Bunu Mukavemet dersinde çözeceğiz

   Sesli anlatım metni

   Şimdi büyük soruya geçelim: bir yapıyı yalnız statikle çözebilir miyiz? Düzlemde elimizde üç denge denklemi var: sigma F x, sigma F y ve sigma M. Mesnetlerin getirdiği bilinmeyenleri sayalım. Menteşe artı makara: iki artı bir, üç bilinmeyen; üç denklem. Tam yetiyor; buna statikçe belirli diyoruz. İki menteşe: dört bilinmeyen, üç denklem. Bir bilinmeyen fazla; buna statikçe belirsiz diyoruz. Ankastre artı makara da öyle: üç artı bir, dört bilinmeyen. Fazla mesnet yapıyı daha rijit yapar ama statiği yetersiz bırakır: eksik denklemi, kirişin ne kadar eğildiğinden bulmamız gerekir. Bunu Mukavemet dersinde yapacağız.

6. 6. Dengesiz Mesnet Dizilişleri

   

   ① Tüm tepkiler paralel → yatay yükü karşılayan yok → kayar

   ② Tüm tepkiler tek noktadan geçer → o nokta etrafında döner

   ③ Tepki az → kısmen tutulmuş

   Kural: tepkiler ne hepsi paralel ne hepsi tek noktadan

   Sesli anlatım metni

   Bilinmeyen sayısı üç olsa bile her şey yolunda olmayabilir; mesnetlerin nasıl dizildiği de önemli. Birinci tehlike: bütün tepkiler paralel. Bir kirişi iki makara üstüne koyarsanız iki tepki de düşeydir; yatay bir itme gelince hiçbir şey karşı koymaz ve kiriş kayar. Bakın: soldaki kiriş menteşe ve makarada, sağdaki iki makarada; aynı yatay itmeyle soldaki yerinde kalıyor, sağdaki kayıp gidiyor. İkinci tehlike: bütün tepkilerin tek bir noktadan geçmesi. O zaman o noktaya göre hiçbir tepki moment üretemez ve cisim o nokta etrafında döner. Üçüncüsü: tepki sayısının denklem sayısından az olması; cisim yalnız kısmen tutulmuş olur. Bu üç durumda yapı dengesizdir; mühendislikte asla istenmez. Kural kısaca: tepkiler ne hepsi paralel olsun ne de hepsi tek noktadan geçsin.

7. 7. Üç Klasik Tuzak

   

   ① İki kuvvetli elemanın kuvvetine iki bilinmeyen yazmak → doğrultu belli, tek bilinmeyen

   ② Eksi sonucu hata sanmak → A_y = −3 kN: yalnız yön ters

   ③ Daha çok mesnet = daha kolay sanmak → statikçe belirsiz olur

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: iki kuvvetli elemanın kuvvetini iki bilinmeyenle yazmak. Doğrultusu belli; tek bilinmeyen büyüklüğüdür. İki bileşen yazarsanız bilinmeyen sayısını boşuna artırırsınız. İki: eksi çıkan sonucu hata sanmak. Menteşede A y eksi 3 çıktı; bu yalnızca yönün varsaydığımızın tersi olduğunu söyler. Üç: daha çok mesnedin her zaman daha kolay çözüm demek olduğunu sanmak. Fazla mesnet yapıyı sağlamlaştırır ama statikçe belirsiz yapar; denklemler yetmez.

8. 8. Cevap ve Toparlama

   

   Bilinmeyenler: A'da 2, C'de 1, B'de 1 → 4 > 3 → statikçe belirsiz

   Aynı yük, aynı kiriş → üç farklı cevap: 2.25/7.5 · 4.125/3.75 · 6/0 kN

   Cevap kirişin eğilmesine ve mesnet yüksekliğine bağlı → Mukavemet

   İki kuvvetli: kuvvet iki noktayı birleştiren doğru boyunca

   Üç kuvvetli: etki çizgileri tek noktada ya da paralel

   Bilinmeyen > denklem → statikçe belirsiz

   Tepkiler hep paralel ya da tek noktadan → dengesiz

   Sıradaki: kafes sistemler — bütün çubuklar iki kuvvetli

   Sesli anlatım metni

   Girişteki soruya dönelim: 6 metrelik kiriş, düzgün yayılı 12 kilonewton, üç mesnet. Bilinmeyenler: A'da iki, C'de bir, B'de bir; dört bilinmeyen, üç denklem. Statikçe belirsiz. Peki mesnetler gerçekte ne okur? Bakın: orta mesnet tam hizadayken A ve B 2.25, C ise 7.5 kilonewton okuyor. Şimdi orta mesnedi yalnızca birkaç milimetre aşağı indirelim; yük aynı, ama ibreler değişiyor: kenarlar 4.125 kilonewtona çıkıyor, orta 3.75'e iniyor. Biraz daha indirelim: orta mesnet kirişe artık değmiyor; kenarlar 6'şar kilonewton, orta sıfır. Aynı yük, aynı kiriş; üç farklı cevap. Demek ki bu sorunun cevabı yalnız statikten gelmiyor; kirişin ne kadar eğildiğine ve mesnetlerin yüksekliğine bağlı. Bunu Mukavemet dersinde çözeceğiz. Toparlayalım. İki kuvvetli elemanda kuvvet, iki noktayı birleştiren doğru boyuncadır. Üç kuvvetli elemanda üç kuvvet tek noktada kesişir ya da paraleldir. Bilinmeyenler denklemlerden fazlaysa yapı statikçe belirsizdir. Tepkilerin hepsi paralelse ya da tek noktadan geçiyorsa yapı dengesizdir. Bir sonraki derste kafes sistemlere geçiyoruz: bütün çubukları iki kuvvetli elemanlardan oluşan yapılar. Görüşmek üzere.

Kaynak video: İki ve Üç Kuvvetli Elemanlar, Statik Belirlilik (8:44)