#09 Kafes Sistemler II: Kesit Yöntemi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Tek Bir Çubuk İçin Bütün Köprüyü Çözmek mi?

   

   Köprü büyüdü: 12 m açıklık, 2 m yükseklik, 15 çubuk

   Ortadaki alt düğüm C'de 24 kN

   Soru: ortadaki üst çubuk GH ne kadar sıkışıyor?

   Düğüm yöntemiyle: A → F → B → G, 4 düğüm, 8 denklem

   Bugün: 1 kesit, 1 denklem

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste yedi çubuklu küçük köprümüzün bütün düğümlerini tek tek çözdük. Şimdi köprüyü büyütelim: 12 metre açıklık, 2 metre yükseklik, dört panel ve 15 çubuk. Tam ortasındaki alt düğüme 24 kilonewtonluk bir yük geliyor. Merak ettiğimiz tek bir şey var: köprünün tam ortasındaki üst çubuk ne kadar sıkışıyor? Düğüm yöntemiyle bu çubuğa ulaşmak için A'dan başlayıp F, B ve G düğümlerini sırayla çözmeniz gerekir: dört düğüm, sekiz denklem. Bugün aynı cevabı tek bir kesit ve tek bir denklemle bulacağız.

2. 2. Kesit Yönteminin Fikri

   

   Kafes dengede → her parçası da dengede

   Kesilen çubukların iç kuvvetleri parçaya dış kuvvet olur

   İki parçada eşit ve zıt: etki–tepki

   Bir parçaya 3 denklem: ΣFₓ, ΣF_y, ΣM

   Kesit en fazla 3 bilinmeyen çubuktan geçer

   Kesilen çubukları çekme varsay: ok parçadan dışarı, kesime doğru; eksi → basınç

   Sesli anlatım metni

   Kesit yönteminin fikri basit: kafes dengedeyse, onun herhangi bir parçası da dengededir. Köprüyü hayali bir çizgiyle ikiye kesin. Kesilen çubukların iç kuvvetleri, artık o parçaya etki eden dış kuvvetler gibi görünür. Sol parçayla sağ parçada bu kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yöndedir: etki ve tepki. Bir parçaya yalnızca üç denge denklemi yazabiliriz: sigma F x, sigma F y ve bir moment denklemi. Bu yüzden kesit, kuvveti bilinmeyen en fazla üç çubuktan geçmeli. Bir de alışkanlığımız aynı: kesilen her çubuğu çekmede varsayarız; yani çubuk, parçayı kesime doğru çeker. Sonuç eksi çıkarsa çubuk basınçtadır.

3. 3. Köprü: Geometri ve Tepkiler

   

   alt: A (menteşe) · B · C · D · E (makara) — aralar 3 m

   üst: F, G, H, K — 2 m yukarıda, alttakilerin ortasında

   eğik çubuk:

   $\displaystyle \sqrt{1.5² + 2²} = \sqrt{2.25 + 4} = \surd 6.25 = 2.5 m$

   $\displaystyle \sin \theta =\frac{ 2 }{ 2.5 }= 0.8$

   $\displaystyle \cos \theta =\frac{ 1.5 }{ 2.5 }= 0.6$

   ΣM_{A} = 0:

   $\displaystyle E_{y} \cdot 12 - 24 \cdot 6 = 0$

   $\displaystyle 24 \cdot 6 = 144$

   E_y = 144 / 12 = 12 kN

   ΣF_y → A_y = 24 − 12 = 12 kN

   Sesli anlatım metni

   Önce köprüyü tanıyalım. Alt başlıkta beş düğüm var: solda menteşe A, sonra B, C, D ve sağda makara E; aralarında 3'er metre. Üstte dört düğüm: F, G, H ve K; her biri 2 metre yukarıda, alttaki iki düğümün tam ortasında. Eğik çubukların boyu: yatayda 1.5, düşeyde 2 metre. 1.5'in karesi 2.25, 2'nin karesi 4; toplam 6.25, karekökü 2.5 metre. Yani sinüs 2 bölü 2.5, eşittir 0.8; kosinüs 1.5 bölü 2.5, eşittir 0.6. Mesnet tepkileri: yük tam ortada, köprü simetrik. Yine de hesaplayalım. A'ya göre moment: E y çarpı 12, eksi 24 çarpı 6, eşittir sıfır. 24 çarpı 6, 144; 144 bölü 12, 12 kilonewton. A y de 12 kilonewton.

4. 4. Kesiti Seçmek

   

   Hedef: ortadaki üst çubuk GH

   Kesit a–a, G ile C arasından: GH, GC, BC

   3 bilinmeyen = 3 denklem ✓

   Sol parçada yalnız A_y = 12 kN; sağda 24 kN ve E_y → sol parça daha sade

   Sol parçanın serbest cisim diyagramı: üç kesik çubuk çekme (ok kesime doğru)

   Sesli anlatım metni

   Şimdi kesiti seçelim. Ortadaki üst çubuk G H'yi kesmek istiyoruz. Hayali çizgimizi G ile C arasından geçirelim: tam üç çubuk kesiliyor; üst başlık G H, köşegen G C ve alt başlık B C. Üç bilinmeyen, üç denklem. Hangi parçayı kullanalım? Sol parçada dış kuvvet olarak yalnız A y var ve onu biliyoruz: 12 kilonewton. Sağ parçada ise 24 kilonewtonluk yük ve E y var. Sol parça daha sade. Sol parçanın serbest cisim diyagramında kesilen üç çubuğun kuvvetlerini çekme varsayıyoruz: oklar parçadan dışarı, kesime doğru.

5. 5. G'ye Göre Moment → Alt Başlık

   

   iki bilinmeyenin kesiştiği noktaya göre moment → o ikisi düşer

   GH ∩ GC = G

   ΣM_G = 0 → yalnız F_BC kalır

   A_y: kol 4.5 m, saat yönü → −12 · 4.5

   F_BC: kol 2 m, saat tersi → +2 F_BC

   $\displaystyle -12 \cdot 4.5 + 2 F_{\mathrm{BC}} = 0$

   $\displaystyle 12 \cdot 4.5 = 54$

   F_BC = 54 / 2 = 27 kN

   artı → BC çekmede

   Sesli anlatım metni

   İşin püf noktası moment noktasını seçmek. İki bilinmeyen kuvvetin etki çizgilerinin kesiştiği noktaya göre moment alırsak, o iki kuvvet denklemden düşer ve geriye tek bilinmeyen kalır. G H ve G C, G noktasında kesişiyor. G'ye göre moment alalım: geriye yalnız F B C kalıyor. A y 12 kilonewton; G'ye yatay uzaklığı 4.5 metre ve saat yönünde döndürür: eksi 12 çarpı 4.5. F B C ise sağa doğru çekiyor ve G'nin 2 metre altında; saat tersine döndürür: artı 2 çarpı F B C. Denklem: eksi 12 çarpı 4.5, artı 2 F B C, eşittir sıfır. 12 çarpı 4.5, 54. F B C eşittir 54 bölü 2, yani 27 kilonewton. Artı çıktı: alt başlık çekmede.

6. 6. C'ye Göre Moment → Üst Başlık

   

   GC ∩ BC = C — parçanın dışında olabilir

   ΣM_C = 0 → yalnız F_GH kalır

   A_y: kol 6 m, saat yönü → −12 · 6 = −72

   F_GH (çekme, sağa), C'nin 2 m üstünde, saat yönü → −2 F_GH

   $\displaystyle -72 - 2 F_{\mathrm{GH}} = 0$

   $\displaystyle F_{\mathrm{GH}} = -\frac{72 }{ 2}$

   F_GH = −36 kN

   eksi → GH basınçta, 36 kN

   1 kesit · 1 denklem · hiç düğüm yok ✓

   Sesli anlatım metni

   Şimdi asıl sorumuz: üst çubuk G H. Bu kez G C ile B C'nin kesiştiği noktayı arıyoruz: ikisi de C düğümünde birleşiyor. C'ye göre moment alalım. A y'nin C'ye yatay uzaklığı 6 metre: eksi 12 çarpı 6, yani eksi 72. F G H çekme varsayımıyla sağa doğru ve C'nin 2 metre üstünde; saat yönünde döndürür: eksi 2 çarpı F G H. Denklem: eksi 72, eksi 2 F G H, eşittir sıfır. F G H eşittir eksi 72 bölü 2, yani eksi 36 kilonewton. Eksi işaret: G H basınçta, 36 kilonewton. Tek bir denklem, tek bir cevap; hiçbir düğüm çözmeden.

7. 7. Düşey Denge → Köşegen

   

   başlıklar yatay → düşey bileşen yok

   $\displaystyle ΣF_{y} = 0$

   $\displaystyle 12 - 0.8 F_{\mathrm{GC}} = 0$

   F_GC = 12 / 0.8 = 15 kN (Ç)

   sağlama ΣFₓ: 27 − 36 + 0.6 · 15

   $\displaystyle 0.6 \cdot 15 = 9$

   $\displaystyle 27 - 36 + 9 = 0$

   tutuyor ✓

   Sesli anlatım metni

   Son çubuk köşegen G C. Başlıklar yatay; düşey bileşenleri yok. O yüzden düşey denge yeter. Sol parçada yukarı doğru A y var, 12 kilonewton. G C'nin düşey bileşeni 0.8 çarpı F G C, aşağı doğru. 12 eksi 0.8 F G C eşittir sıfır; F G C eşittir 12 bölü 0.8, yani 15 kilonewton, çekme. Sağlamayı yatay dengeyle yapalım: 27, eksi 36, artı G C'nin yatay bileşeni; 0.6 çarpı 15, yani 9. 27 eksi 36 artı 9, sıfır. Tutuyor.

8. 8. Üç Klasik Tuzak

   

   ① Dört bilinmeyenli kesit → parçada yalnız 3 denklem

   ② Moment noktasını rastgele seçmek → denklemler bağlanır; iki bilinmeyenin kesişimini seç

   ③ Kesik çubuğun okunu parçanın içine çizmek → çekme: ok dışarı, kesime doğru

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: dört bilinmeyenli çubuktan geçen bir kesit çizmek. Parçada yalnız üç denklem var; en fazla üç bilinmeyen kesin. İki: moment noktasını rastgele seçmek. O zaman denklemler birbirine bağlanır; iki bilinmeyenin kesiştiği noktayı seçin. Üç: kesilen çubuğun okunu parçanın içine doğru çizmek. Çekme varsayımında ok parçadan dışarı, kesime doğrudur; eksi sonuç basınç demektir.

9. 9. Bütün Köprü ve Özet

   

   Ortaya doğru büyür: A_y'nin moment kolu uzar (1.5 → 3 → 4.5 → 6 m)

   Köşegenler hep 15 kN: sol yarıda düşeyde yalnız A_y = 12 → 0.8 · 15 = 12

   Sıradaki: çerçeveler ve makineler — iki kuvvetli olmayan elemanlar

   Sesli anlatım metni

   Köprünün tamamına bakalım; bütün çubukları aynı yolla bulabiliriz. Alt başlık çekmede: kenarlarda 9, ortada 27 kilonewton. Üst başlık basınçta: kenarlarda 18, ortada 36 kilonewton. En çok zorlanan yine köprünün sırtındaki orta çubuk. Neden ortaya doğru büyüyor? Başlık kuvvetini moment denklemi veriyor; A y'nin moment kolu ortaya yaklaştıkça uzuyor. Köşegenlere bakın: hepsi 15 kilonewton, sırayla çekme ve basınç. Neden hepsi aynı? Sol yarıda nereden keserseniz kesin, sol parçada düşey olarak yalnız 12 kilonewtonluk A y var; köşegenin düşey bileşeni onu dengeler: 0.8 çarpı 15, 12. Toparlayalım. Kesit yönteminde kafesi hayali bir çizgiyle keser, bir parçanın dengesini yazarız. En fazla üç bilinmeyen kesilir; moment noktası, iki bilinmeyenin kesiştiği yer seçilir; böylece her denklem tek bir cevap verir. Bir sonraki derste çubukların iki kuvvetli olmadığı yapılara geçiyoruz: çerçeveler ve makineler. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Kafes Sistemler II: Kesit Yöntemi (6:36)