#03 Belirlilik ve Stabilite: Kirişler ve Çerçeveler

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: her mesnet 1, 2 ya da 3 bilinmeyen

   Bugün iki soru

   ① Tepkiler yalnız denge denklemleriyle bulunur mu?

   ② Yapı yerinde durur mu, kayar ya da döner mi?

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste gerçek yapıyı bir hesap modeline çevirdik: her mesnet bir, iki ya da üç bilinmeyen tepki veriyordu. Bugün iki soru soruyoruz. Birincisi: bu tepkileri yalnız denge denklemleriyle bulabilir miyiz? İkincisi: yapı yüklenince yerinde durur mu, yoksa kayar ya da döner mi?

2. 2. Üç Denklem, Üç Bilinmeyen… Yine de Kayıyor!

   

   Çelik kiriş üç kayıcı mesnette

   3 bilinmeyen, 3 denklem: sayılar tutuyor

   Eğik yük → kiriş kayıyor!

   Tepkilerin üçü de düşey: yatayı karşılayan yok

   Sabit mafsal + kayıcı: kiriş duruyor ✓

   Sayı yetmez; tepkilerin yerleşimi de önemli

   Sesli anlatım metni

   Bir çelik kiriş üç kayıcı mesnede oturuyor. Üç bilinmeyen tepki var; düzlemde de üç denge denklemimiz var. Sayılar tutuyor. Şimdi kirişe eğik bir yük uygulayalım. Kiriş yerinde durmuyor, kayıp gidiyor! Çünkü üç tepkinin üçü de düşey; yükün yatay bileşenini karşılayacak hiçbir tepki yok. Aynı kirişi bu kez bir sabit mafsala ve bir kayıcı mesnede oturtalım. Aynı yük geliyor ve kiriş kımıldamıyor. Demek ki bilinmeyen sayısı tek başına yetmiyor; tepkilerin nasıl yerleştiği de önemli. Bugün bu iki soruyu, sayma kuralı ve geometriyle cevaplayacağız.

3. 3. Sayma Kuralı

   

   bir parça:

   $\displaystyle ΣFx = 0 \cdot ΣFy = 0 \cdot ΣM = 0$

   n parça → 3n denklem

   r = mesnet + mafsal bilinmeyenleri

   r = 3n → izostatik (statikçe belirli)

   r > 3n → hiperstatik

   derece = r − 3n

   eksik denklem: uygunluk (yer değiştirme)

   r < 3n → kararsız

   Sesli anlatım metni

   Önce sayma kuralı. Düzlemde bir parça için üç denge denklemi yazabiliriz: yatay kuvvetler, düşey kuvvetler ve momentler. Yapı birkaç parçadan oluşuyorsa her parça için üç denklem var; toplam denklem sayısı, parça sayısının üç katıdır. Bilinmeyenler ise mesnetlerdeki ve parçaları birleştiren mafsallardaki kuvvet ve momentlerdir. Bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşitse yapı izostatiktir, yani statikçe belirlidir; bütün tepkiler denge denklemlerinden bulunur. Bilinmeyen sayısı daha büyükse yapı hiperstatiktir; aradaki fark, hiperstatiklik derecesidir. Eksik denklemleri yer değiştirmelerden gelen uygunluk koşullarıyla yazarız; onu ileriki derslerde göreceğiz. Bilinmeyen sayısı daha küçükse yapı kararsızdır: yeterince tutulmamıştır ve yük gelince hareket eder.

4. 4. Kirişler: Sayalım

   

   basit: r = 2 + 1 = 3; 3 = 3 → izostatik

   konsol: r = 3 → izostatik

   konsol + kayıcı:

   $\displaystyle r = 3 + 1 = 4$

   4 − 3 = 1 → 1. derece

   iki ucu ankastre:

   $\displaystyle r = 3 + 3 = 6$

   6 − 3 = 3 → 3. derece

   Gerber kirişi: 2 parça

   $\displaystyle r = 3 + 2 + 1 = 6$

   $\displaystyle 3n = 2 \cdot 3 = 6$

   6 = 6 → izostatik

   mafsal: +3 denklem, +2 bilinmeyen

   Sesli anlatım metni

   Kirişlerle başlayalım. Basit kirişte bir sabit mafsal ve bir kayıcı mesnet var: 2 artı 1, 3 bilinmeyen. Tek parça, 3 denklem. 3 eşittir 3, izostatik. Konsol kirişte tek bir ankastre mesnet var: yine 3 bilinmeyen, izostatik. Konsolun ucuna bir kayıcı mesnet ekleyelim: 3 artı 1, 4 bilinmeyen; 4 eksi 3, birinci dereceden hiperstatik. İki ucu ankastre kirişte 3 artı 3, 6 bilinmeyen; 6 eksi 3, üçüncü dereceden hiperstatik. Şimdi ilginç bir durum: iki parçalı, mafsallı bir kiriş. Sol parça duvara ankastre, iki parça ortada bir mafsalla birleşiyor, sağ parça bir kayıcı mesnede oturuyor. Bilinmeyenler: ankastrede 3, mafsalda 2, kayıcıda 1; toplam 6. İki parça var: 2 çarpı 3, 6 denklem. 6 eşittir 6: izostatik. Bu tür kirişlere Gerber kirişi denir. Mafsal yapıyı ikiye bölerek üç yeni denklem, iki yeni bilinmeyen getirir; yani bir mesnet fazlasına izin verir.

5. 5. Çerçeveler: Sayalım

   

   mafsal + kayıcı: r = 3 → izostatik

   iki mafsal: r = 2 + 2 = 4 → 1. derece

   iki ankastre: r = 3 + 3 = 6 → 3. derece

   üç mafsallı: 2 parça, 3n = 6

   r = 2 + 2 + 2 = 6 → izostatik

   kapalı göz: içeride 3 bilinmeyen

   hayali kesim: N, V, M da sayılır

   Sesli anlatım metni

   Çerçevelerde de aynı sayım geçerli. Tek katlı, tek açıklıklı bir çerçeve düşünelim. Ayaklarında bir sabit mafsal ve bir kayıcı mesnet varsa 3 bilinmeyen: izostatik. İki ayak da sabit mafsalsa 2 artı 2, 4 bilinmeyen: birinci dereceden hiperstatik. İki ayak da ankastreyse 3 artı 3, 6 bilinmeyen: üçüncü dereceden. Tepesine bir mafsal koyarsak üç mafsallı çerçeve olur: iki parça, 6 denklem; bilinmeyenler 2 artı 2 artı 2, 6. Yine izostatik. Bir de kapalı çerçeveye dikkat: mesnetleri izostatik olsa bile kapalı bir göz, içeride üç bilinmeyen saklar. Gözü hayali olarak kesip kesimdeki üç iç kuvveti de saymamız gerekir.

6. 6. Sayım Yetmez: Geometri

   

   ① paralel tepkiler (üç kayıcı)

   P = 10 kN, düşeyle 30°

   yatay = 10 · sin 30°

   $\displaystyle \sin 30^{\circ} = 0.5$

   yatay = 10 · 0.5 = 5 kN

   ΣFx = 5 ≠ 0 → kayar

   ② kesişen tepkiler: ikisi de A'dan geçer

   ΣMA = 10 · 2 = 20 kN·m ≠ 0 → döner

   ③ mekanizma: bir parça oynarsa çöker

   Sesli anlatım metni

   Sayma kuralı gerekli ama yeterli değil. Bilinmeyen sayısı yetse bile yapı, geometrisi yüzünden kararsız olabilir. Birincisi paralel tepkiler: açılıştaki üç kayıcı mesnet gibi. Kirişe 10 kilonewtonluk bir yük, düşeyle 30 derecelik açı yaparak geliyor. Yükün yatay bileşeni, 10 çarpı 30 derecenin sinüsü. 30 derecenin sinüsü 0.5; yani yatay bileşen 5 kilonewton. Yatay tepki olmadığı için yatay denge sağlanamaz: kiriş kayar. İkincisi kesişen tepkiler. Bir kirişi bir sabit mafsalla ve doğrultusu o mafsaldan geçen eğik bir pandülle tutalım. İki tepkinin doğrultusu da mafsaldan geçiyor. 10 kilonewtonluk yük ise mafsaldan 2 metre uzakta. 10 çarpı 2, 20 kilonewton metrelik bir moment karşılıksız kalır; kiriş mafsalın çevresinde döner. Üçüncüsü mekanizma: parçalardan biri kendi başına oynayabiliyorsa yapı çöker; örneğin Gerber kirişine bir mafsal daha eklersek.

7. 7. Dört Yapıyı Sınıflandıralım

   

   Dört yapıyı birlikte sınıflandıralım

   ① Sürekli kiriş: 1. derece hiperstatik

   ② Gerber kirişi: izostatik

   ③ Ankastre + mafsal çerçeve: 2. derece

   ④ Üç kayıcılı kiriş: kararsız (paralel)

   Sayımı her zaman geometriyle birlikte yap

   Sesli anlatım metni

   Şimdi dört yapıyı birlikte sınıflandıralım. Birincisi iki açıklıklı sürekli kiriş: bir sabit mafsal, iki kayıcı mesnet. 2 artı 1 artı 1, 4 bilinmeyen; tek parça, 3 denklem: birinci dereceden hiperstatik. İkincisi az önceki Gerber kirişi: 6 bilinmeyen, 6 denklem; izostatik. Üçüncüsü bir ayağı ankastre, öbürü sabit mafsallı bir çerçeve: 3 artı 2, 5 bilinmeyen; 5 eksi 3, ikinci dereceden hiperstatik. Dördüncüsü üç kayıcı mesnetli kiriş: sayım 3'e 3 diyor, ama tepkiler paralel; yapı kararsız. Sayımı her zaman geometriyle birlikte yap.

8. 8. Üç Tuzak

   

   ① Yalnız sayıya bakıp kararlı demek → üç kayıcılı kiriş kayar

   ② Mafsallı kirişi tek parça saymak → üçüncü derece sanılır; oysa izostatik

   ③ Hiperstatiği çözülemez sanmak → denge + uygunluk

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: yalnız sayıya bakıp yapı kararlı demek. Üç kayıcı mesnetli kirişte sayı tutuyor ama kiriş kayıyor. İki: mafsallı birleşik kirişi tek parça saymak. Gerber kirişini tek parça sayarsak 6 bilinmeyen, 3 denklem, yani üçüncü dereceden hiperstatik deriz; oysa izostatiktir. Üç: hiperstatik yapıyı çözülemez sanmak. Hiperstatik yapılar da çözülür; yalnız denge denklemlerine yer değiştirme koşulları eklenir.

9. 9. Özet ve Sıradaki Ders

   

   Parça sayısının üç katı denklem: r = 3n izostatik, r > 3n hiperstatik, r < 3n kararsız

   Sayım yetmez: paralel, kesişen tepkiler ya da mekanizma → kararsız

   Sıradaki ders: kiriş ve çerçevelerde mesnet tepkileri

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Parça sayısının üç katı kadar denge denklemi var. Bilinmeyen sayısı buna eşitse yapı izostatik, fazlaysa hiperstatik, azsa kararsızdır. Ama sayım yetmez: tepkiler paralelse, tek bir noktada kesişiyorsa ya da bir parça mekanizma oluşturuyorsa yapı yine kararsızdır. Bir sonraki derste izostatik kiriş ve çerçevelerin mesnet tepkilerini denge denklemleriyle adım adım bulacağız. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Belirlilik ve Stabilite: Kirişler ve Çerçeveler (6:03)