#04 Mesnet Tepkileri: Denge Denklemlerinin Uygulanması

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: izostatik mi? Sayım + geometri

   Bugün: tepkileri sayılarla buluyoruz

   Araçlar: serbest cisim diyagramı + üç denge denklemi

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste bir yapının izostatik mi, hiperstatik mi, yoksa kararsız mı olduğunu saymayı öğrendik. Bugün izostatik yapılarda bir adım ileri gidiyoruz: mesnet tepkilerini sayılarla buluyoruz. Araçlarımız belli: serbest cisim diyagramı ve üç denge denklemi.

2. 2. Yük Düşey… Tepki Neden Yatay?

   

   Çelik çerçeve, iki ayakta sabit mafsal → üç mafsallı

   Yalnız düşey yük; yatayda yük yok

   Mesnetlerde yatay tepki olur mu?

   Sağ ayaktaki mafsal → kayıcı mesnet

   Ayak kayıyor, tepe iniyor: katlanıyor!

   Sabit mafsal ayağı içeri itiyormuş: düşey yükte bile yatay tepki

   Sesli anlatım metni

   Çelik bir çerçeve düşünelim: iki kolon, ortasında mafsal olan bir kiriş, iki ayakta da sabit mafsal. Buna üç mafsallı çerçeve dedik. Sol kirişe yalnız düşey bir yük asıyoruz; yatayda hiçbir yük yok. Peki mesnetlerde yatay tepki olur mu? Sağ ayaktaki mafsalı kayıcı mesnetle değiştirelim ve izleyelim. Ayak dışarı kayıyor, tepe mafsalı aşağı iniyor, çerçeve katlanıyor! Demek ki o sabit mafsal, ayağı yatay olarak içeri doğru itiyormuş. Yük düşey olsa bile yatay tepki var. Bu kuvvetin kaç kilonewton olduğunu dersin sonunda birlikte hesaplayacağız.

3. 3. Yöntem: Serbest Cisim ve Üç Denklem

   

   ① serbest cisim diyagramı: mesnetleri kaldır, tepkileri çiz

   yayılı yük → bileşke = alan, ağırlık merkezinde

   ② bilinmeyenleri say

   ③ ΣM: bilinmeyenlerin kesiştiği noktaya göre → onlar düşer

   $\displaystyle ④ ΣFx = 0 \cdot ΣFy = 0$

   negatif sonuç → yön ters (hata değil)

   ⑤ kullanılmayan bir denklemle kontrol

   Sesli anlatım metni

   Önce yöntem. Birinci adım: serbest cisim diyagramı. Mesnetleri kaldırır, yerlerine tepki kuvvetlerini ok olarak çizeriz. Sabit mafsalda yatay ve düşey iki bileşen, kayıcı mesnette yüzeye dik tek bir kuvvet, ankastrede iki kuvvet ve bir moment. Yayılı yükü, alanına eşit bir tekil yükle değiştiririz; bu bileşke, yükün ağırlık merkezinden geçer. İkinci adım: bilinmeyenleri sayarız. Üçüncü adım: moment denklemini, bilinmeyenlerin çoğunun geçtiği bir noktaya göre yazarız; o bilinmeyenler denklemden düşer. Dördüncü adım: yatay ve düşey kuvvet denklemleri. Bir sonuç negatif çıkarsa panik yok: kuvvet, çizdiğimiz yönün tersine etkiyor demektir. Son adım: kullanmadığımız bir denklemle kontrol.

4. 4. Örnek 1: Konsol Uçlu Kiriş

   

   $\displaystyle ΣFx = 0 \to Ax = 0$

   ΣMA = 0 (A'daki bilinmeyenler düşer)

   $\displaystyle By \cdot 6 = 24 \cdot 3 + 12 \cdot 8$

   $\displaystyle 24 \cdot 3 = 72$

   $\displaystyle 12 \cdot 8 = 96$

   $\displaystyle 72 + 96 = 168$

   By = 168 / 6 = 28 kN

   ΣFy:

   $\displaystyle Ay + 28 = 24 + 12 = 36$

   Ay = 36 − 28 = 8 kN

   kontrol: ΣMB = 0

   Ay:

   $\displaystyle 8 \cdot 6 = 48 ↻$

   24 kN:

   $\displaystyle 24 \cdot 3 = 72 ↺$

   12 kN:

   $\displaystyle 12 \cdot 2 = 24 ↻$

   $\displaystyle ↻ 48 + 24 = 72 = ↺ 72 ✓$

   B, 24 kN'dan fazlasını taşır: 28 kN

   uç yük: tahterevalli → A hafifler

   Sesli anlatım metni

   İlk örnek: 8 metrelik, konsol uçlu bir kiriş. A'da sabit mafsal, A'dan 6 metre ötede B'de kayıcı mesnet; kirişin son 2 metresi mesnetin dışına taşıyor. A'dan 3 metrede 24 kilonewton, uçta 12 kilonewton var. Yatay yük olmadığı için A'nın yatay tepkisi sıfır. Momenti A'ya göre yazalım; A'daki bilinmeyenler düşer. B'nin tepkisi çarpı 6, iki yükün momentine eşit olmalı. 24 çarpı 3, 72. 12 çarpı 8, 96. Toplam: 72 artı 96, 168. B'nin tepkisi 168 bölü 6, 28 kilonewton. Şimdi düşey denge: A'nın tepkisi artı 28, iki yükün toplamına, yani 36'ya eşit. A'nın tepkisi 36 eksi 28, 8 kilonewton. Kontrol için momenti B'ye göre yazalım: A'daki 8 kilonewton çarpı 6 metre, 48, saat yönünde. Açıklıktaki 24 kilonewton çarpı 3 metre, 72, ters yönde. Uçtaki 12 kilonewton çarpı 2 metre, 24, saat yönünde. 48 artı 24, 72. Denge tamam. Dikkat edin: B, açıklıktaki 24 kilonewtondan fazlasını, 28 kilonewton taşıyor; çünkü uçtaki yük kirişi B üzerinde bir tahterevalli gibi kaldırıyor ve A'yı hafifletiyor.

5. 5. Örnek 2: Konsol

   

   bileşke W = 5 · 4 = 20 kN

   dikdörtgen → ortada: A'dan 2 m

   $\displaystyle ΣFx = 0 \to Ax = 0$

   ΣFy: Ay = 20 + 10 = 30 kN

   ΣMA: MA = 20 · 2 + 10 · 4

   $\displaystyle 20 \cdot 2 = 40$

   $\displaystyle 10 \cdot 4 = 40$

   MA = 40 + 40 = 80 kN·m

   tek mesnet: hem kuvvet hem moment

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnek bir konsol: 4 metre boyunda, A'da duvara ankastre. Bütün boyunca metrede 5 kilonewton yayılı yük, uçta da 10 kilonewton tekil yük var. Önce yayılı yükün bileşkesi: 5 çarpı 4, 20 kilonewton. Dikdörtgen bir yükün ağırlık merkezi ortasındadır; yani 20 kilonewton, A'dan 2 metrede. Yatay yük yok; A'nın yatay tepkisi sıfır. Düşey denge: A'nın tepkisi 20 artı 10, 30 kilonewton. Moment dengesi A'ya göre: ankastre momenti, yayılı yükün ve uçtaki yükün momentlerini karşılamalı. Yayılı yük: 20 çarpı 2, 40. Uçtaki yük: 10 çarpı 4, yine 40. Ankastre momenti 40 artı 40, 80 kilonewton metre. Konsolun bütün yükü tek bir mesnete biner; bu yüzden ankastrede hem 30 kilonewtonluk bir kuvvet, hem de 80 kilonewton metrelik bir moment oluşur.

6. 6. Örnek 3: Gerber Kirişi — Parçalara Ayır

   

   mesnet bilinmeyenleri:

   $\displaystyle 3 + 1 = 4$

   bütün kirişe yalnız 3 denklem

   mafsalda katlanır → parçalara ayır

   mafsal kuvvetleri: eşit ve ters

   BC parçası: W = 4 · 6 = 24 kN, B'den 3 m

   ΣMB:

   $\displaystyle Cy \cdot 6 = 24 \cdot 3 = 72$

   Cy = 72 / 6 = 12 kN

   ΣFy: By = 24 − 12 = 12 kN

   AB parçasına aynı 12 kN, aşağı

   ΣFy: Ay = 10 + 12 = 22 kN

   MA = 10 · 2 + 12 · 4

   $\displaystyle 10 \cdot 2 = 20; 12 \cdot 4 = 48$

   MA = 20 + 48 = 68 kN·m

   kontrol:

   $\displaystyle 22 + 12 = 34 = 10 + 24 ✓$

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü örnek, geçen dersin Gerber kirişi. A'da ankastre, A'dan 4 metrede B mafsalı, 10 metrede C'de kayıcı mesnet. A'dan 2 metrede 10 kilonewton; B ile C arasında metrede 4 kilonewton yayılı yük. Mesnet bilinmeyenleri: ankastrede 3, kayıcıda 1; toplam 4. Bütün kirişe ise yalnız 3 denklem yazabiliriz. Mesnetleri kaldırınca kiriş mafsalda katlanır; o zaman parçalara ayırırız. Mafsalda iki parça birbirine eşit ve ters kuvvetler uygular. Önce B C parçası: yayılı yük 4 çarpı 6, 24 kilonewton, B'den 3 metrede. Momenti B'ye göre yazalım: C'nin tepkisi çarpı 6, eşittir 24 çarpı 3, yani 72. C'nin tepkisi 72 bölü 6, 12 kilonewton. Düşey dengeden mafsal kuvveti: 24 eksi 12, yine 12 kilonewton. Bu kuvvet B C parçasını yukarı iter; A B parçasına ise aynı büyüklükte, aşağı doğru etkir. Şimdi A B parçası: A'nın düşey tepkisi 10 artı 12, 22 kilonewton. Ankastre momenti: 10 çarpı 2, 20; mafsal kuvveti 12 çarpı 4, 48; toplam 68 kilonewton metre. Kontrol: bütün kirişte düşey tepkiler 22 artı 12, 34; yükler 10 artı 24, yine 34.

7. 7. Örnek 4: Üç Mafsallı Çerçeve

   

   bilinmeyen: 2 + 2 = 4; bütüne 3 denklem

   eksik denklem: ΣMC = 0 (mafsal)

   bütün, ΣMA:

   $\displaystyle By \cdot 8 = 24 \cdot 2 = 48$

   By = 48 / 8 = 6 kN

   ΣFy: Ay = 24 − 6 = 18 kN

   sağ parça CB: üzerinde yük yok

   iki kuvvet elemanı: kuvvet C–B doğrusunda

   4 m yana, 4 m aşağı → 45°

   45°: yatay bileşen = düşey bileşen

   Bx = By = 6 kN (içeri)

   ΣFx: Ax = Bx = 6 kN (içeri)

   kontrol, sol parça: ΣMC = 0

   Ay:

   $\displaystyle 18 \cdot 4 = 72 ↻$

   Ax:

   $\displaystyle 6 \cdot 4 = 24 ↺$

   yük:

   $\displaystyle 24 \cdot 2 = 48 ↺$

   $\displaystyle 24 + 48 = 72 ✓$

   düşey yükte bile itki: 6 kN içeri

   kayıcı → itki yok → katlanır

   Sesli anlatım metni

   Şimdi açılıştaki soruya dönelim. Üç mafsallı çerçeve: A ve B ayakları 8 metre arayla, kolonlar 4 metre, tepe mafsalı C tam ortada. Sol kirişte, A'dan 2 metre içeride, 24 kilonewton düşey yük. Bilinmeyenler: iki mafsalda ikişer, toplam 4; bütün çerçeveye 3 denklem. Eksik denklemi C mafsalından alacağız. Önce bütün çerçevede momenti A'ya göre yazalım: B'nin düşey tepkisi çarpı 8, eşittir 24 çarpı 2, yani 48. B'nin düşey tepkisi 48 bölü 8, 6 kilonewton. Düşey dengeden A'nınki 24 eksi 6, 18 kilonewton. Şimdi sağ parçaya bakalım: C ile B arasında hiç yük yok. İki ucundan mafsallı ve yüksüz bir parça iki kuvvet elemanıdır: iki uçtaki kuvvetler eşit, ters ve C'den B'ye giden doğru üzerindedir. Bu doğru 4 metre yana, 4 metre aşağı gidiyor; yani 45 derece. 45 derecede yatay ve düşey bileşenler eşittir: B'nin yatay tepkisi de 6 kilonewton, içeri doğru. Yatay dengeden A'nın yatay tepkisi de 6 kilonewton, o da içeri doğru. Kontrol için sol parçada momenti C'ye göre yazalım. A'nın düşey tepkisi: 18 çarpı 4, 72, saat yönünde. A'nın yatay tepkisi: 6 çarpı 4, 24, ters yönde. Yük, C'den 2 metre solda: 24 kilonewton çarpı 2 metre, 48, ters yönde. 24 artı 48, 72. Tutuyor. İşte açılıştaki kuvvet: yük tamamen düşey olduğu hâlde her iki mesnet 6 kilonewtonla ayakları içeri itiyor. Sağ mafsalı kayıcıyla değiştirince bu itki kayboldu ve çerçeve katlandı.

8. 8. Üç Tuzak

   

   ① Yayılı yükü yanlış yere koymak → bileşke ortadan geçer

   ② Ortak kuvveti iki parçada aynı yönde çizmek → eşit ve ters

   ③ Negatif sonucu hata sanmak → yalnız yön ters

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: yayılı yükü yanlış yere koymak. Dikdörtgen yükün bileşkesi yükün ortasından geçer; mesnetten ya da uçtan değil. İki: mafsallı yapıyı parçalara ayırırken ortak kuvveti iki parçada aynı yönde çizmek. Bir parçayı yukarı itiyorsa öbürünü aşağı itmelidir. Üç: negatif çıkan sonucu hata sanmak. Negatif işaret yalnızca okun yönünün ters olduğunu söyler; büyüklük doğrudur.

9. 9. Özet ve Sıradaki Ders

   

   Serbest cisim diyagramı, bileşke, bilinmeyen sayısı

   Dağılan yapı: mafsaldan ayır, ortak kuvvet eşit ve ters

   Sonucu her zaman kontrol et

   Sıradaki ders: kafes sistemler

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Serbest cisim diyagramını çiz, yayılı yükleri bileşkeye çevir, bilinmeyenleri say. Momenti, bilinmeyenlerin kesiştiği noktaya göre yaz. Mesnetler kaldırılınca yapı dağılıyorsa mafsallardan ayır ve ortak kuvvetleri eşit ve ters çiz. Sonucu her zaman kullanmadığın bir denklemle kontrol et. Bir sonraki derste kafes sistemlere geçiyoruz: hangi kafesler izostatik, ve hangi çubuklar hiç kuvvet taşımaz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Mesnet Tepkileri: Denge Denklemlerinin Uygulanması (7:49)