#13 Süper düğüm yöntemi — örnekler 2 ve 3

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Yöntemi hatırla

   

   Süper düğüm = sınır KCL'si + kaynak kısıtı

   Örnek 2: normal düğüm + süper düğüm

   Örnek 3: iki gerilim kaynağı, tek üst düğüm

   Sesli anlatım metni

   Önceki derste süper düğümün temel fikrini öğrendik. İdeal bir gerilim kaynağı iki referans olmayan düğümü bağlıyorsa, iki düğümü ve kaynağı aynı sınır içine alırız. Bu sınırı geçen akımlara Kirchhoff akım yasasını uygular, kaynağın polaritesinden de bir gerilim kısıtı yazarız. Şimdi iki örnek çözeceğiz. İkinci örnekte normal bir düğüm ile bir süper düğüm birlikte bulunuyor. Üçüncü örnekte ise ortak bir üst düğüme bağlı iki gerilim kaynağı var. Her iki devrede de yalnız sınırı geçen akımları sayacağız ve kaynak kısıtlarını işaretlerine dikkat ederek kullanacağız.

2. 2. Örnek 2 — devre ve sınır

   

   Normal düğüm: V_A

   Süper düğüm: V_B, 6 V kaynağı ve V₁

   Aranan: V₁

   Sesli anlatım metni

   İkinci örneği okuyalım. Soldaki V A düğümü, altı kiloohmluk dirençle toprağa; yukarı yönlü on dört miliamperlik akım kaynağına ve on iki kiloohmluk direnç üzerinden V B düğümüne bağlıdır. V B ile V bir arasında altı voltluk bir kaynak vardır. Kaynağın pozitif ucu V B, negatif ucu V bir tarafındadır. V birden toprağa üç kiloohmluk direnç ve aşağı yönlü iki miliamperlik kaynak bağlıdır. Süper düğüm yalnız V B, altı voltluk kaynak ve V bir düğümünü kapsar. V A sınırın dışında kalan normal düğümdür. Bu yüzden V A için ayrı KCL, süper düğüm için sınır KCL'si ve kaynak için bir kısıt denklemi yazacağız. Aradığımız gerilim V birdir.

3. 3. Örnek 2 — üç denklem

   

   $3V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{B}}=168$

   $-V_{\mathrm{A}}+V_{\mathrm{B}}+4V_{1}=-24$

   $V_{\mathrm{B}}-V_{1}=6$

   Sesli anlatım metni

   Önce normal V A düğümüne KCL yazalım. Çıkan akımların toplamı sıfır seçilirse V A bölü altı k, artı V A eksi V B bölü on iki k, eksi on dört mili eşittir sıfır olur. On iki k ile çarpınca üç V A eksi V B eşittir yüz altmış sekiz elde edilir. Şimdi süper düğüm sınırını geçen akımları sayalım. V B eksi V A bölü on iki k, artı V bir bölü üç k, artı aşağı yönlü iki miliamper eşittir sıfırdır. On iki k ile çarpınca eksi V A artı V B artı dört V bir eşittir eksi yirmi dört olur. Kaynağın pozitif ucu V B tarafında olduğundan son denklem V B eksi V bir eşittir altıdır.

4. 4. Örnek 2 — sonuç ve kontrol

   

   $V_{\mathrm{A}}-5V_{1}=30$

   $14V_{1}=84$

   $V_{1}=6 V, V_{\mathrm{B}}=12 V, V_{\mathrm{A}}=60 V$

   Sesli anlatım metni

   Üç denklemi çözelim. Kısıttan V B eşittir V bir artı altı yazılır. Bunu süper düğüm denkleminde kullanınca V A eksi beş V bir eşittir otuz çıkar. Aynı ifadeyi normal düğüm denklemine yerleştirince üç V A eksi V bir eşittir yüz yetmiş dört elde edilir. İlk sade denklemden V A eşittir beş V bir artı otuzdur. İkinci denklemde yerine koyarsak üç çarpı beş V bir artı otuz, eksi V bir, eşittir yüz yetmiş dört olur. Buradan on dört V bir eşittir seksen dört ve V bir eşittir altı volt bulunur. Ardından V B on iki volt, V A altmış volttur. Sınır KCL kontrolü eksi dört mili artı iki mili artı iki mili eşittir sıfırdır.

5. 5. Örnek 3 — devre ve kısıtlar

   

   $V_{\mathrm{A}}=V_{0}-30, V_{\mathrm{B}}=V_{0}-20$

   Sınırı geçen: 2 kΩ, 5 kΩ ve 4 kΩ kolları

   Aranan: V₀

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü örnekte V sıfır adlı ortak bir üst düğüm ve toprağa giden üç paralel kol vardır. Sol kolda üstte otuz voltluk kaynak, altında iki kiloohmluk direnç bulunur. Orta kolda üstte yirmi voltluk kaynak, altında beş kiloohmluk direnç vardır. Sağ kol yalnız dört kiloohmluk dirençtir. İki kaynağın pozitif uçları ortak üst düğümdedir. Bu nedenle kaynakların altındaki düğümler için V A eşittir V sıfır eksi otuz, V B eşittir V sıfır eksi yirmi yazılır. Süper düğüm üst düğümü, iki kaynağı ve V A ile V B iç düğümlerini kapsar. Sınırı yalnız üç direnç kolunun akımı geçer. Aradığımız V sıfırdır.

6. 6. Örnek 3 — süper düğüm KCL'si

   

   $(V_{0}-30)/2k+(V_{0}-20)/5k+V_{0}/4k=0$

   $10(V_{0}-30)+4(V_{0}-20)+5V_{0}=0$

   $19V_{0}-380=0$

   Sesli anlatım metni

   Kaynak kısıtlarını KCL denklemine yerleştirelim. Sol direnç akımı V A bölü iki k, yani V sıfır eksi otuz bölü iki k olur. Orta direnç akımı V B bölü beş k, yani V sıfır eksi yirmi bölü beş k olur. Sağ koldaki akım V sıfır bölü dört k'dır. Üçü de sınırdan toprağa doğru seçildiğinde toplamları sıfırdır: V sıfır eksi otuz bölü iki k, artı V sıfır eksi yirmi bölü beş k, artı V sıfır bölü dört k eşittir sıfır. Yirmi k ile çarparsak on çarpı V sıfır eksi otuz, artı dört çarpı V sıfır eksi yirmi, artı beş V sıfır eşittir sıfır olur. Açınca on dokuz V sıfır eksi üç yüz seksen eşittir sıfırdır.

7. 7. Örnek 3 — sonuç ve kontrol

   

   $V_{0}=20 V$

   $V_{\mathrm{A}}=-10 V, V_{\mathrm{B}}=0 V$

   −5 mA+0+5 mA=0

   Sesli anlatım metni

   Son denklemden on dokuz V sıfır eşittir üç yüz seksen, dolayısıyla V sıfır eşittir yirmi volt bulunur. İç düğümler kaynak kısıtlarından gelir. V A eşittir yirmi eksi otuz, yani eksi on volttur. V B eşittir yirmi eksi yirmi, yani sıfır volttur. Akımlarla doğrulayalım. İki kiloohmluk kolda eksi on bölü iki k, yani eksi beş miliamper; beş kiloohmluk kolda sıfır; dört kiloohmluk kolda yirmi bölü dört k, yani artı beş miliamper akar. Eksi beş mili artı sıfır artı beş mili eşittir sıfırdır. KCL sağlanır.

8. 8. Yöntem özeti

   

   1) Yalnız sınırı geçen akımları say

   2) Her iç gerilim kaynağı bir kısıt verir

   3) Dışarıdaki normal düğüme ayrı KCL yaz

   Sesli anlatım metni

   Bu iki örnek süper düğüm yönteminin farklı yapılarda aynı mantıkla çalıştığını gösterdi. İkinci örnekte sınırın dışında kalan V A düğümüne ayrı bir KCL denklemi gerekti. Üçüncü örnekte iki kaynak kısıtını önce yazıp tek sınır denklemiyle V sıfırı bulduk. Üç kuralı unutmayın. Yalnız süper düğüm sınırını geçen akımları sayın. Sınır içindeki her ideal gerilim kaynağı için polariteye uygun bir kısıt yazın. Sınır dışında kalan her normal düğüme kendi KCL denklemini uygulayın. Sonraki derste bağımlı kaynak içeren süper düğümlere geçeceğiz.

Kaynak video: Kaynak kompozisyon: Circuit Theory #13 — Süper düğüm örnekleri 2 ve 3 (7:05)