نظرية الدوائر 1 · تحليل السوبرمش

#18 السوبرمش #18 — المثال الثالث: ثلاثة تيارات حلقية

يجمع قيد مصدر التيار المشترك مع معادلتي KVL للسوبرمش السفلي والحلقة العلوية.

السؤال

دائرة من ثلاث حلقات وبها مصدرا جهد 100 V و50 V ومصدر تيار 5 A إلى أعلى في الفرع المشترك.
تظهر تيارات الحلقات i_1 وi_2 وi_3 مع عقارب الساعة، ويعطي المصدر الأوسط القيد i_3−i_1=5 A.

استخدم قيد مصدر التيار وتحليل السوبرمش لإيجاد تيارات الحلقات i_1 وi_2 وi_3 في الدائرة ذات الحلقات الثلاث.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

  1. 1. مراجعة السوبرمش

    دائرة من ثلاث حلقات وبها مصدرا جهد 100 V و50 V ومصدر تيار 5 A إلى أعلى في الفرع المشترك.
    تظهر تيارات الحلقات i_1 وi_2 وi_3 مع عقارب الساعة، ويعطي المصدر الأوسط القيد i_3−i_1=5 A.

    ثلاثة تيارات حلقية ومصدر تيار مشترك واحد

    اكتب قيد المصدر أولا

    ثم KVL للسوبرمش السفلي وKVL للحلقة العلوية

    نص الشرح الصوتي

    في الدرس السابق استخدمنا قيود مصادر التيار في تحليل تيارات الحلقات. والآن نكمل الفكرة بمثال قصير فيه ثلاثة تيارات حلقية. مصدر التيار بقيمة 5 أمبير يقع بين الحلقة السفلية اليسرى والحلقة السفلية اليمنى، لذلك يعطي قيد سوبرمش. بعد ذلك نحتاج إلى معادلتي جهد: واحدة حول السوبرمش السفلي، وواحدة حول الحلقة العلوية.

  2. 2. دائرة المثال الثالث

    دائرة من ثلاث حلقات وبها مصدرا جهد 100 V و50 V ومصدر تيار 5 A إلى أعلى في الفرع المشترك.
    تظهر تيارات الحلقات i_1 وi_2 وi_3 مع عقارب الساعة، ويعطي المصدر الأوسط القيد i_3−i_1=5 A.

    i1 وi2 وi3 مع عقارب الساعة

    المصدر الأوسط: 5 A ↑

    السهم يوافق i3 ويعاكس i1

    i3−i1=5Ai_{3}-i_{1}=5 A

    نص الشرح الصوتي

    في هذه الدائرة يوجد مصدر 100 فولت في اليسار، ومصدر 50 فولت في اليمين، ومصدر 5 أمبير في الفرع الأوسط. نختار تيارات الحلقات الثلاثة باتجاه عقارب الساعة: i واحد في النافذة السفلية اليسرى، و i اثنان في النافذة العلوية، و i ثلاثة في النافذة السفلية اليمنى. سهم مصدر التيار الأوسط يتجه إلى أعلى، لذلك يوافق اتجاه i ثلاثة ويعاكس اتجاه i واحد في الفرع المشترك. إذن قيد المصدر هو i ثلاثة ناقص i واحد يساوي 5 أمبير.

  3. 3. اكتب المعادلات وحلها

    دائرة من ثلاث حلقات وبها مصدرا جهد 100 V و50 V ومصدر تيار 5 A إلى أعلى في الفرع المشترك.
    تظهر تيارات الحلقات i_1 وi_2 وi_3 مع عقارب الساعة، ويعطي المصدر الأوسط القيد i_3−i_1=5 A.

    السوبرمش السفلي: تجاوز فرع مصدر التيار

    100−3(i1−i2)−2(i3−i2)−50−4i3−6i1=0100-3(i_{1}-i_{2})-2(i_{3}-i_{2})-50-4i_{3}-6i_{1}=0

    9i1−5i2+6i3=509i_{1}-5i_{2}+6i_{3}=50

    الحلقة العلوية: 10 Ω و2 Ω و3 Ω

    3i1−15i2+2i3=03i_{1}-15i_{2}+2i_{3}=0

    i1=7/4A,  i2=5/4A,  i3=27/4Ai_{1}=7/4 A,\; i_{2}=5/4 A,\; i_{3}=27/4 A

    التحقق: i3−i1=5 A ✓

    نص الشرح الصوتي

    أولا نكتب معادلة السوبرمش السفلي، مع تجاوز فرع مصدر التيار. عند المرور خلال مصدر 100 فولت كارتفاع في الجهد نحصل على 100 ناقص 3 في الكمية i واحد ناقص i اثنين، ناقص 2 في الكمية i ثلاثة ناقص i اثنين، ناقص 50، ناقص 4 i ثلاثة، ناقص 6 i واحد يساوي صفرا. تختصر هذه المعادلة إلى 9 i واحد ناقص 5 i اثنين زائد 6 i ثلاثة يساوي 50. أما الحلقة العلوية فتحتوي فقط على المقاومات 10 أوم و2 أوم و3 أوم. معادلتها هي ناقص 10 i اثنين، ناقص 2 في الكمية i اثنين ناقص i ثلاثة، ناقص 3 في الكمية i اثنين ناقص i واحد يساوي صفرا. إذن المعادلة الثالثة هي 3 i واحد ناقص 15 i اثنين زائد 2 i ثلاثة يساوي صفرا. بحل المعادلات الثلاث نحصل على i واحد يساوي 7 على 4 أمبير، و i اثنان يساوي 5 على 4 أمبير، و i ثلاثة يساوي 27 على 4 أمبير. والتحقق مباشر: i ثلاثة ناقص i واحد يساوي 27 على 4 ناقص 7 على 4، أي 5 أمبير.

  4. 4. ملخص الطريقة

    دائرة من ثلاث حلقات وبها مصدرا جهد 100 V و50 V ومصدر تيار 5 A إلى أعلى في الفرع المشترك.
    تظهر تيارات الحلقات i_1 وi_2 وi_3 مع عقارب الساعة، ويعطي المصدر الأوسط القيد i_3−i_1=5 A.

    مصدر التيار المشترك ⇒ قيد تيار

    KVL ⇒ مسار سوبرمش لا يقطع المصدر

    i1=1.75A,  i2=1.25A,  i3=6.75Ai_{1}=1.75 A,\; i_{2}=1.25 A,\; i_{3}=6.75 A

    نص الشرح الصوتي

    هذا المثال يعطي نمطا مهما يجب تذكره. مصدر التيار بين حلقتين يعطي قيد تيار، وليس هبوط جهد. لذلك يجب أن تمر معادلة K V L حول مسار لا يقطع هذا المصدر. بعد ذلك نستطيع استخدام معادلات الحلقات العادية لبقية المسارات. في هذه الدائرة النتيجة هي i واحد يساوي 1.75 أمبير، و i اثنان يساوي 1.25 أمبير، و i ثلاثة يساوي 6.75 أمبير.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر #18 - مثال السوبرمش الثالث: ثلاثة تيارات حلقية (3:14)