#09 تحليل العقد، المثال 2 — جهود مصادر التيار

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. الطريقة نفسها مع إضافتين

   مصدر بين عقدتين ⇒ إشارتان متعاكستان في KCL

   أوجد أولاً V₁ وV₂

   ثم احسب جهود المصادر

   نص الشرح الصوتي

   أهلاً بكم من جديد. في الدرس السابق تعلّمنا الطريقة المنهجية لتحليل العقد بأربع خطوات، وطبّقناها على دائرة بسيطة تحتوي على عقدتين. اليوم نستخدم نفس الطريقة على دائرة أكثر ثراءً مع بعض الإضافات الجديدة. أولاً، أحد مصادر التيار يقع بين عقدتين غير مرجعيتين، وليس بين عقدة والأرض. ثانياً، السؤال هذه المرة يطلب إيجاد الجهد عبر كل مصدر تيار، وليس فقط جهود العقد. لنرَ كيف تتعامل الخطوات الأربع نفسها مع هذه الحالة.

2. 2. قراءة الدائرة واتجاهات المصادر

   

   $R_{1g}=2 \Omega,\; R_{12}=4 \Omega,\; R_{2g}=4 \Omega$

   3 A → V₁، 5 A: V₁→V₂، 6 A → V₂

   طرف الجهد الموجب للمصدر هو جهة رأس السهم

   نص الشرح الصوتي

   هذه دائرتنا. لدينا عقدتان مجهولتان، V واحد و V اثنان. العقدة V واحد متصلة بمقاومة اثنين أوم نحو الأرض، وبمقاومة أربعة أوم نحو V اثنان. العقدة V اثنان متصلة بمقاومة أربعة أوم نحو الأرض. والآن مصادر التيار. مصدر تيار قيمته ثلاثة أمبير يدخل العقدة V واحد من الأسفل. مصدر تيار قيمته خمسة أمبير يتدفق من V واحد نحو V اثنان. هذه هي الإضافة الجديدة، مصدر يجلس بين عقدتين غير مرجعيتين. ومصدر تيار قيمته ستة أمبير يدخل العقدة V اثنان من الأسفل. هدفنا أولاً هو إيجاد V واحد و V اثنان، ثم إيجاد الجهد عبر كلٍّ من مصادر التيار الثلاثة.

3. 3. KCL عند العقدة V₁

   

   $V_{1}/2 + (V_{1}-V_{2})/4 - 3 + 5 = 0$

   نضرب في 4: 2V₁+(V₁−V₂)+8=0

   $3V_{1} - V_{2} = -8$

   نص الشرح الصوتي

   نكتب قانون التيار لكيرشوف عند العقدة V واحد. أربعة حدود هذه المرة. أولاً، مقاومة الاثنين أوم نحو الأرض تعطي V واحد على اثنين. ثانياً، مقاومة الأربعة أوم نحو V اثنان تعطي V واحد ناقص V اثنان، مقسوماً على أربعة. والآن المصادر. مصدر الثلاثة أمبير يدخل V واحد، فبحسب قاعدة الإشارة نكتبه بإشارة سالبة، أي ناقص ثلاثة. مصدر الخمسة أمبير يخرج من V واحد متجهاً نحو V اثنان، فنكتبه بإشارة موجبة، أي زائد خمسة. نجمع كل هذا: V واحد على اثنين، زائد V واحد ناقص V اثنان على أربعة، ناقص ثلاثة، زائد خمسة، يساوي صفراً. نضرب الطرفين في أربعة لإزالة المقامات. نحصل على ضعفي V واحد، زائد V واحد ناقص V اثنان، زائد ثمانية، يساوي صفراً. بجمع المتشابهات: ثلاثة V واحد ناقص V اثنان يساوي ناقص ثمانية. هذه هي معادلتنا الأولى.

4. 4. KCL عند العقدة V₂

   

   $V_{2}/4 + (V_{2}-V_{1})/4 - 5 - 6 = 0$

   نضرب في 4: V₂+(V₂−V₁)−44=0

   $-V_{1} + 2V_{2} = 44$

   نص الشرح الصوتي

   نكرّر نفس الخطوات للعقدة V اثنان. مرة أخرى أربعة حدود. أولاً، مقاومة الأربعة أوم نحو الأرض تعطي V اثنان على أربعة. ثانياً، نفس مقاومة الأربعة أوم التي رأيناها قبل قليل، ولكن من منظور V اثنان، تعطي V اثنان ناقص V واحد، مقسوماً على أربعة. والآن المصادر. مصدر الخمسة أمبير يدخل V اثنان قادماً من V واحد، فنكتبه بإشارة سالبة، أي ناقص خمسة. ومصدر الستة أمبير يدخل أيضاً V اثنان، فنكتبه بإشارة سالبة، أي ناقص ستة. نجمع كل هذا: V اثنان على أربعة، زائد V اثنان ناقص V واحد على أربعة، ناقص خمسة، ناقص ستة، يساوي صفراً. نضرب الطرفين في أربعة. نحصل على V اثنان، زائد V اثنان ناقص V واحد، ناقص أربعة وأربعين، يساوي صفراً. بجمع المتشابهات: ناقص V واحد زائد ضعفي V اثنان يساوي أربعة وأربعين. هذه هي معادلتنا الثانية.

5. 5. الحل والتحقق

   

   $V_{2}=3V_{1}+8$

   $-V_{1}+2(3V_{1}+8)=44 \Rightarrow V_{1}=5.6 V$

   $V_{2}=24.8 V$

   التحقق من معادلتي KCL يعطي صفراً

   نص الشرح الصوتي

   الآن نحلّ المعادلتين معاً. المعادلة الأولى: ثلاثة V واحد ناقص V اثنان يساوي ناقص ثمانية. المعادلة الثانية: ناقص V واحد زائد ضعفي V اثنان يساوي أربعة وأربعين. هذه المرة سنستخدم طريقة التعويض. من المعادلة الأولى، نحصل على V اثنان يساوي ثلاثة V واحد زائد ثمانية. نعوّض في المعادلة الثانية: ناقص V واحد، زائد ضعفي الكمية ثلاثة V واحد زائد ثمانية، يساوي أربعة وأربعين. بالتبسيط: ناقص V واحد زائد ستة V واحد زائد ستة عشر يساوي أربعة وأربعين. خمسة V واحد يساوي ثمانية وعشرين. إذن V واحد يساوي خمسة فاصلة ستة فولت. بالتعويض العكسي: V اثنان يساوي ثلاثة في خمسة فاصلة ستة، زائد ثمانية، أي أربعة وعشرين فاصلة ثمانية فولت. تحقّق سريع عند V واحد: خمسة فاصلة ستة على اثنين يساوي اثنين فاصلة ثمانية. خمسة فاصلة ستة ناقص أربعة وعشرين فاصلة ثمانية على أربعة، يساوي ناقص أربعة فاصلة ثمانية. نضيف حدود المصادر: ناقص ثلاثة زائد خمسة يساوي زائد اثنين. المجموع: اثنين فاصلة ثمانية ناقص أربعة فاصلة ثمانية زائد اثنين، يساوي صفراً. حلّنا صحيح.

6. 6. الجهود عبر مصادر التيار

   

   الطرف + عند رأس السهم حيث يخرج تيار المصدر

   $v_{3A}=V_{1}-0=5.6 V$

   $v_{5A}=V_{2}-V_{1}=19.2 V$

   $v_{6A}=V_{2}-0=24.8 V$

   عكس القطبية يغيّر الإشارة فقط

   نص الشرح الصوتي

   والآن الجزء الثاني من السؤال: إيجاد الجهد عبر كل مصدر تيار. نستخدم قانون الجهد لكيرشوف، والذي يقول ببساطة: الجهد عبر أي عنصر يساوي فرق جهود العقد عند طرفيه. مصدر الثلاثة أمبير يجلس بين V واحد والأرض. إذن جهده يساوي V واحد ناقص صفر، أي خمسة فاصلة ستة فولت. مصدر الخمسة أمبير يجلس بين V واحد و V اثنان، والتيار يتدفق من V واحد نحو V اثنان. جهده يساوي V اثنان ناقص V واحد، أي أربعة وعشرين فاصلة ثمانية ناقص خمسة فاصلة ستة، يساوي تسعة عشر فاصلة اثنين فولت. ومصدر الستة أمبير يجلس بين V اثنان والأرض. جهده يساوي V اثنان ناقص صفر، أي أربعة وعشرين فاصلة ثمانية فولت. لاحظوا الاتفاقية: الطرف الموجب لكل مصدر هو الجانب الذي يخرج منه التيار.

7. 7. ملخص النتيجة والإشارات

   اكتب مصدر العقدتين بإشارتين متعاكستين

   $جهد العنصر = فرق جهدي طرفيه المختارين$

   حدّد القطبية قبل الحساب

   تحقق من النتيجة بقانون KCL

   نص الشرح الصوتي

   ثلاث نقاط مهمة من هذا المثال. أولاً: الطريقة نفسها بأربع خطوات تعمل حتى عندما يقع مصدر تيار بين عقدتين غير مرجعيتين. فقط نكتب المصدر في معادلتي العقدتين بإشارتين متعاكستين. ثانياً: بمجرّد معرفة جهود العقد، يعطينا قانون الجهد لكيرشوف الجهد عبر أي عنصر، ببساطة بأخذ الفرق بين جهدي طرفيه. ثالثاً: الطرف الموجب لمصدر التيار يقع دائماً على الجانب الذي يخرج منه التيار. في الدرس القادم، سنتناول مثالاً بثلاث عقد.

الفيديو المصدر: تحليل العقد — مثال محلول 2: الجهد عبر كل مصدر | نظرية الدوائر #09 (7:14)