نظرية الدوائر 1 · أساسيات تحليل الدوائر

#12 طريقة العقدة الفائقة — المثال 1

يحل مصدراً بقيمة 10 V بين عقدتين مجهولتين بالعقدة الفائقة، ويتحقق من V₁=30 V وV₂=20 V بقانون KCL.

السؤال

دائرة عقدة فائقة فيها مصدر 10 V ومقاومة 13 Ω بين V₁ وV₂، ومقاومتان 5 Ω و4 Ω إلى الأرض، ومصدرا 3 A و14 A خارج الحدود.
تشمل الحدود البرتقالية المتقطعة V₁ وV₂ ومصدر 10 V ومقاومة 13 Ω، والطرف الموجب للمصدر على جهة V₁.

أوجد جهدي العقدتين V_1 وV_2 بطريقة العقدة الفائقة. اكتب معادلة KCL للعقدة الفائقة وقيد قطبية مصدر الجهد بصورة منفصلة.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

  1. 1. لماذا نحتاج عقدة فائقة؟

    دائرة عقدة فائقة فيها مصدر 10 V ومقاومة 13 Ω بين V₁ وV₂، ومقاومتان 5 Ω و4 Ω إلى الأرض، ومصدرا 3 A و14 A خارج الحدود.
    تشمل الحدود البرتقالية المتقطعة V₁ وV₂ ومصدر 10 V ومقاومة 13 Ω، والطرف الموجب للمصدر على جهة V₁.

    مصدر جهد بين عقدتين مجهولتين

    أحط العقدتين والمصدر بحدود واحدة

    KCL + قيد الجهد ⇒ معادلتان

    نص الشرح الصوتي

    في الفيديو السابق، رأينا مصدر جهد له طرف متصل بالأرض. كان الأمر سهلاً — جهد العقدة الأخرى كان معروفاً مباشرة. لكن ماذا يحدث عندما يربط مصدر الجهد بين عقدتين غير مرجعيتين — عقدتين جهداهما مجهولان؟ لا يمكننا كتابة معادلة KCL منفصلة عند أي من العقدتين، لأننا لا نعرف التيار المار خلال مصدر الجهد. الحل هو العقدة الفائقة. نرسم حدوداً تحيط بكلتا العقدتين ومصدر الجهد بينهما. ثم نكتب KCL لهذه المنطقة بأكملها وكأنها عقدة واحدة كبيرة. أي تيار يعبر الحدود يُحسب؛ أي تيار يبقى داخلها — مثل التيار في المقاومة التي تربط بين العقدتين — لا يظهر في المعادلة. أخيراً، مصدر الجهد يعطينا معادلة قيد: الفرق بين جهدي العقدتين يساوي جهد المصدر. إذن نحصل دائماً على معادلتين: واحدة من KCL، وأخرى من القيد. لنرَ ذلك عملياً.

  2. 2. قراءة الدائرة والحدود

    دائرة عقدة فائقة فيها مصدر 10 V ومقاومة 13 Ω بين V₁ وV₂، ومقاومتان 5 Ω و4 Ω إلى الأرض، ومصدرا 3 A و14 A خارج الحدود.
    تشمل الحدود البرتقالية المتقطعة V₁ وV₂ ومصدر 10 V ومقاومة 13 Ω، والطرف الموجب للمصدر على جهة V₁.

    العقدة الفائقة: V1 وV2 و10 V و13 Ω

    فروع الحدود: 5 Ω و4 Ω و3 A و14 A

    المقاومة الداخلية 13 Ω لا تظهر في KCL

    نص الشرح الصوتي

    هذه هي الدائرة. العقدتان V واحد و V اثنان تقعان على خط أفقي في المنتصف. مصدر جهد عشرة فولت يربط V واحد بـ V اثنان من الأعلى، قطبه الموجب على جانب V واحد. مقاومة ثلاثة عشر أوم تربط أيضاً V واحد بـ V اثنان مباشرةً. تحت الخط، مقاومة خمسة أوم تذهب من V واحد إلى الأرض، ومقاومة أربعة أوم تذهب من V اثنان إلى الأرض. على اليسار، مصدر ثلاثة أمبير يسحب التيار للأسفل من V واحد إلى الأرض. على اليمين، مصدر أربعة عشر أمبير يدفع التيار للأعلى من الأرض إلى V اثنان. مصدر العشرة فولت بين عقدتين مجهولتين — هذه هي حالة العقدة الفائقة بالضبط. نرسم حدوداً متقطعة حول V واحد و V اثنان ومصدر العشرة فولت ومقاومة الثلاثة عشر أوم. لاحظ: مقاومة الثلاثة عشر أوم داخل الحدود، فتيارها لن يظهر في KCL. المطلوب: إيجاد V واحد و V اثنان.

  3. 3. معادلة KCL للعقدة الفائقة

    دائرة عقدة فائقة فيها مصدر 10 V ومقاومة 13 Ω بين V₁ وV₂، ومقاومتان 5 Ω و4 Ω إلى الأرض، ومصدرا 3 A و14 A خارج الحدود.
    تشمل الحدود البرتقالية المتقطعة V₁ وV₂ ومصدر 10 V ومقاومة 13 Ω، والطرف الموجب للمصدر على جهة V₁.

    V1/5+V2/4+3−14=0V_{1}/5+V_{2}/4+3-14=0

    نضرب في 20: 4V1+5V2+60−280=0

    4V1+5V2=2204V_{1}+5V_{2}=220

    نص الشرح الصوتي

    لنكتب KCL للعقدة الفائقة. نحسب كل تيار يعبر الحدود. مقاومة الخمسة أوم تحمل V واحد على خمسة، تخرج من العقدة الفائقة نحو الأسفل. مقاومة الأربعة أوم تحمل V اثنان على أربعة، تخرج أيضاً نحو الأسفل. مصدر الثلاثة أمبير: سهمه يشير للأسفل من V واحد. التيار يخرج من العقدة الفائقة — فنضيف موجب ثلاثة. مصدر الأربعة عشر أمبير: سهمه يشير للأعلى إلى V اثنان. التيار يدخل العقدة الفائقة — فنطرح أربعة عشر. نضع المجموع مساوياً للصفر: V واحد على خمسة، زائد V اثنان على أربعة، زائد ثلاثة، ناقص أربعة عشر، يساوي صفراً. لإزالة المقامات، نضرب كل شيء في عشرين. نحصل على أربعة V واحد، زائد خمسة V اثنان، زائد ستين، ناقص مئتين وثمانين، يساوي صفراً. بالتبسيط: أربعة V واحد زائد خمسة V اثنان يساوي مئتين وعشرين. هذه هي معادلتنا الأولى.

  4. 4. قيد الجهد

    دائرة عقدة فائقة فيها مصدر 10 V ومقاومة 13 Ω بين V₁ وV₂، ومقاومتان 5 Ω و4 Ω إلى الأرض، ومصدرا 3 A و14 A خارج الحدود.
    تشمل الحدود البرتقالية المتقطعة V₁ وV₂ ومصدر 10 V ومقاومة 13 Ω، والطرف الموجب للمصدر على جهة V₁.

    الطرف الموجب لمصدر 10 V عند V1

    V1−V2=10V_{1}-V_{2}=10

    V1=V2+10V_{1}=V_{2}+10

    نص الشرح الصوتي

    الآن معادلة القيد من مصدر الجهد. مصدر العشرة فولت له قطبه الموجب عند V واحد والسالب عند V اثنان. إذن V واحد أعلى من V اثنان بعشرة فولت. بصيغة معادلة: V واحد ناقص V اثنان يساوي عشرة. هذه هي معادلتنا الثانية. معادلتان، مجهولان — يمكننا الحل.

  5. 5. إيجاد V₁ وV₂ والتحقق

    دائرة عقدة فائقة فيها مصدر 10 V ومقاومة 13 Ω بين V₁ وV₂، ومقاومتان 5 Ω و4 Ω إلى الأرض، ومصدرا 3 A و14 A خارج الحدود.
    تشمل الحدود البرتقالية المتقطعة V₁ وV₂ ومصدر 10 V ومقاومة 13 Ω، والطرف الموجب للمصدر على جهة V₁.

    4(V2+10)+5V2=2204(V_{2}+10)+5V_{2}=220

    V2=20V,V1=30VV_{2}=20 V, V_{1}=30 V

    6A+5A+3A=14A6 A+5 A+3 A=14 A

    نص الشرح الصوتي

    من معادلة القيد: V واحد يساوي V اثنان زائد عشرة. نعوّض في معادلة KCL: أربعة في V اثنان زائد عشرة، زائد خمسة V اثنان، يساوي مئتين وعشرين. بفك الأقواس: أربعة V اثنان زائد أربعين زائد خمسة V اثنان يساوي مئتين وعشرين. تسعة V اثنان تساوي مئة وثمانين. V اثنان يساوي عشرين فولت. ثم V واحد يساوي عشرين زائد عشرة، أي ثلاثين فولت. للتحقق: V واحد على خمسة هو ستة أمبير خارج. V اثنان على أربعة هو خمسة أمبير خارج. مصدر الثلاثة يخرج ثلاثة. مصدر الأربعة عشر يدخل أربعة عشر. إجمالي الخارج: ستة زائد خمسة زائد ثلاثة يساوي أربعة عشر. إجمالي الداخل: أربعة عشر. متساويان. صحيح.

  6. 6. قواعد العقدة الفائقة الثلاث

    دائرة عقدة فائقة فيها مصدر 10 V ومقاومة 13 Ω بين V₁ وV₂، ومقاومتان 5 Ω و4 Ω إلى الأرض، ومصدرا 3 A و14 A خارج الحدود.
    تشمل الحدود البرتقالية المتقطعة V₁ وV₂ ومصدر 10 V ومقاومة 13 Ω، والطرف الموجب للمصدر على جهة V₁.

    1) أحط المصدر والعقدتين

    2) طبّق KCL على تيارات الحدود

    3) أضف قيد قطبية المصدر

    نص الشرح الصوتي

    ثلاث قواعد يجب تذكرها عن العقدة الفائقة. أولاً: عندما يربط مصدر جهد بين عقدتين غير مرجعيتين، أحط كلتا العقدتين والمصدر بحدود واحدة. ثانياً: اكتب KCL للحدود — العناصر الداخلية مثل مقاومة الثلاثة عشر أوم لا تظهر. ثالثاً: مصدر الجهد يقدم معادلة قيد — فرق جهدي العقدتين يساوي جهد المصدر. في الفيديو القادم، سنتدرب على أمثلة عقدة فائقة أخرى.

الفيديو المصدر: طريقة العقدة الفائقة — مثال 1: مصدر جهد بين عقدتين | نظرية الدوائر #12 (5:21)