#15 طريقة تيارات الحلقات — مقدمة والمثال الأول

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. لماذا تيارات الحلقات؟

   

   من جهود العقد إلى تيارات الحلقات

   نخصّص لكل حلقة تياراً مع عقارب الساعة: i₁، i₂، …

   $تيار الفرع المشترك = الفرق الجبري بين تيارات الحلقات$

   نص الشرح الصوتي

   حتى الآن كانت المجاهيل الأساسية هي جهود العقد. اليوم ننتقل إلى منظور مختلف وهو تيارات الحلقات. بدلاً من كتابة قانون كيرشوف للتيار عند العقد، نخصّص لكل حلقة تياراً واحداً، ثم نطبّق قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة. هذه الطريقة تعمل بأفضل شكل مع الدوائر المستوية، حيث تكون الحلقات منفصلة بوضوح على الورقة. والقاعدة الأساسية بسيطة: على أي عنصر مشترك يكون تيار الفرع هو الفرق الجبري بين تيارَي الحلقتين المتجاورتين.

2. 2. تيارات الحلقات والفروع

   

   i₁ وi₂ متغيران مساعدان لتيارَي الحلقتين

   التيار الهابط في المقاومة المشتركة: i₁−i₂

   النتيجة السالبة ⇒ الاتجاه الحقيقي معاكس للسهم المختار

   نص الشرح الصوتي

   هذه هي الفكرة الجوهرية لطريقة تيارات الحلقات. في الصورة اليسرى، i واحد وi اثنان ليسا تيارَي فرعين بعد. إنهما متغيران تخيليان يدوران حول الحلقتين. وفي الصورة اليمنى تظهر تيارات المقاومات الفعلية. فبالنسبة للمقاومة الوسطى المشتركة، يكون تيار الفرع المتجه إلى الأسفل هو i واحد ناقص i اثنان، إذا اخترنا اتجاه كلتا الحلقتين مع عقارب الساعة. هذا النمط المشترك هو ما يخلق الترابط بين معادلات الحلقات. وإذا خرج التيار المحسوب بإشارة سالبة، فهذا يعني فقط أن الاتجاه الحقيقي للتيار معاكس للسهم الذي افترضناه.

3. 3. قراءة دائرة المثال

   

   الحلقة اليسرى: 28 V، 6 Ω، 2 Ω

   الحلقة الوسطى: 2 Ω، 8 V، 4 Ω

   الحلقة اليمنى: 4 Ω، 12 Ω

   المطلوب: i الصاعد في فرع 2 Ω

   نص الشرح الصوتي

   والآن إلى المثال الأول المحلول. الدائرة تحتوي ثلاث حلقات. نختار جميع تيارات الحلقات مع عقارب الساعة، ونسميها i واحد، وi اثنان، وi ثلاثة. الحلقة اليسرى تحتوي مصدر الثمانية والعشرين فولت، والمقاومة ذات الستة أوم، والمقاومة المشتركة ذات الاثنين أوم. والحلقة الوسطى تحتوي المقاومة المشتركة ذات الاثنين أوم، ومصدر الثمانية فولت، والمقاومة المشتركة ذات الأربعة أوم. والحلقة اليمنى تحتوي المقاومة المشتركة ذات الأربعة أوم، والمقاومة ذات الاثني عشر أوم. والمطلوب هو تيار الفرع i المار في المقاومة ذات الاثنين أوم، في الاتجاه الصاعد إلى الأعلى.

4. 4. الحلقة الأولى

   

   $-28+6i_{1}+2(i_{1}-i_{2})=0$

   $-28+8i_{1}-2i_{2}=0$

   $8i_{1}-2i_{2}=28$

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بالحلقة الأولى. عندما نتحرك مع عقارب الساعة، نقابل مصدر الثمانية والعشرين فولت، ثم هبوطَي جهد على المقاومتين. المقاومة ذات الستة أوم تحمل i واحد فقط، لكن المقاومة ذات الاثنين أوم مشتركة، لذلك يكون تيار فرعها هو i واحد ناقص i اثنان. إذن سطر قانون كيرشوف للجهد الأول هو سالب ثمانية وعشرين زائد ستة i واحد زائد اثنين في i واحد ناقص i اثنان يساوي صفراً. الآن نوزّع الحد الخاص بالاثنين أوم بعناية: اثنان في i واحد ناقص i اثنان يصبح اثنين i واحد ناقص اثنين i اثنان. ولذلك تتجمّع حدود i واحد لتصبح ثمانية i واحد. وعند نقل حد المصدر إلى الطرف الآخر تصبح معادلة الحلقة الأولى: ثمانية i واحد ناقص اثنين i اثنان يساوي ثمانية وعشرين.

5. 5. الحلقتان الثانية والثالثة

   

   $2(i_{2}-i_{1})+4(i_{2}-i_{3})-8=0$

   $-2i_{1}+6i_{2}-4i_{3}=8$

   $4(i_{3}-i_{2})+12i_{3}=0$

   $-4i_{2}+16i_{3}=0$

   نص الشرح الصوتي

   ننتقل إلى الحلقة الثانية. كلا المقاومتين في هذه الحلقة مشتركة، فحدود الهبوط تصبح اثنين في i اثنان ناقص i واحد، وأربعة في i اثنان ناقص i ثلاثة. وعند السير مع عقارب الساعة نعبر مصدر الثمانية فولت من طرفه السالب إلى طرفه الموجب، ولذلك فهو ارتفاع في الجهد. فتكون معادلة الحلقة الثانية: اثنين في i اثنان ناقص i واحد زائد أربعة في i اثنان ناقص i ثلاثة ناقص ثمانية يساوي صفراً. وعند التوزيع نحصل على اثنين i اثنان ناقص اثنين i واحد زائد أربعة i اثنان ناقص أربعة i ثلاثة ناقص ثمانية يساوي صفراً. ثم تتجمّع حدود i اثنان لتصبح ستة i اثنان، فتصير الحلقة الثانية: سالب اثنين i واحد زائد ستة i اثنان ناقص أربعة i ثلاثة يساوي ثمانية. أما الحلقة الثالثة، فالمقاومة المشتركة الوحيدة فيها هي ذات الأربعة أوم. لذلك نكتب أربعة في i ثلاثة ناقص i اثنان زائد اثني عشر i ثلاثة يساوي صفراً. وبعد التوزيع يصبح ذلك أربعة i ثلاثة ناقص أربعة i اثنان زائد اثني عشر i ثلاثة يساوي صفراً، وبالتالي فإن المعادلة النهائية للحلقة الثالثة هي سالب أربعة i اثنان زائد ستة عشر i ثلاثة يساوي صفراً.

6. 6. حل نظام المعادلات

   

   $i_{1}=13/3 A, i_{2}=10/3 A$

   $i_{3}=5/6 A$

   $i_{ا}لصاعد=i_{2}-i_{1}=-1 A$

   تيار الفرع الحقيقي: 1 A إلى الأسفل

   نص الشرح الصوتي

   والآن نحل المعادلات الثلاث معاً. من المعادلة الثالثة نستنتج أن i اثنان يساوي أربعة i ثلاثة. نعوّض ذلك في المعادلة الثانية، ثم نستخدم المعادلة الأولى. تكون النتائج: i واحد يساوي ثلاثة عشر على ثلاثة أمبير، وi اثنان يساوي عشرة على ثلاثة أمبير، وi ثلاثة يساوي خمسة على ستة أمبير. جميع تيارات الحلقات الثلاث موجبة، ولذلك تتوافق اتجاهاتها مع الأسهم التي اخترناها مع عقارب الساعة. وتيار الفرع المطلوب في المقاومة ذات الاثنين أوم في الاتجاه الصاعد يساوي i اثنان ناقص i واحد. أي عشرة على ثلاثة ناقص ثلاثة عشر على ثلاثة، وهذا يعطي سالب واحد أمبير بالنسبة إلى المرجع الصاعد. إذن التيار الفيزيائي يساوي واحد أمبير إلى الأسفل.

7. 7. ملخص الطريقة

   

   1) خصّص تياراً واحداً لكل حلقة

   2) اكتب KVL واستخدم فرق التيارات في العنصر المشترك

   3) حل النظام وفسّر كل إشارة فيزيائياً

   نص الشرح الصوتي

   هذا هو سير العمل الكامل لطريقة تيارات الحلقات. أولاً نخصّص تياراً واحداً لكل حلقة. ثم نكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة. وعلى كل عنصر مشترك، نستخدم فرق التيارات بين الحلقتين المتجاورتين. وأخيراً نحل الجملة الخطية ونفسّر إشارة كل نتيجة. تيار الحلقة السالب ليس خطأ، بل يعني فقط أن الاتجاه الحقيقي للتيار معاكس للسهم الذي بدأنا به. وفي الدرس القادم نواصل مع أمثلة إضافية على تحليل الحلقات.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر #15 — طريقة تيارات الحلقات + المثال الأول (6:29)